黃 煒
(寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,陜西 寶雞 721013)
冪級(jí)數(shù)的展開式在數(shù)學(xué)研究及工程計(jì)算等廣泛領(lǐng)域中有著極其重要的作用,人們對(duì)于sinz,cosz冪級(jí)數(shù)的展開式比較熟悉,應(yīng)用自如,但一般的高等數(shù)學(xué)書中都沒有tanz,cotz,secz,cscz函數(shù)在復(fù)數(shù)域上冪級(jí)數(shù)的展開式,是因?yàn)槠涓唠A導(dǎo)數(shù)不好求.即使在工具書[2-6]中查到公式,也感到陌生、困難,望而生畏,一知半解不知來龍去脈,更談不上理解;但這幾個(gè)冪級(jí)數(shù)展開式在數(shù)學(xué)研究,科學(xué)計(jì)算,工程應(yīng)用等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用.本文借助于高階無窮小量在級(jí)數(shù)除法中的應(yīng)用及級(jí)數(shù)遞推公式中的待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)方法和工具,避開求高階導(dǎo)數(shù),給出了tanz,cotz,secz,cscz函數(shù)在復(fù)數(shù)域上冪級(jí)數(shù)展開式的幾種簡(jiǎn)明方法,旨在促進(jìn)工程數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的融合,打通復(fù)雜計(jì)算的瓶頸,建立快速通道.
為了給出冪級(jí)數(shù)展開式幾種簡(jiǎn)明方法,需要下面的引理:
引理1[1]對(duì)于任意復(fù)數(shù)z,|z|<∞,有
下面我們用級(jí)數(shù)除法求tanz,cotz,secz,cscz的冪級(jí)數(shù)展開式.
其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)為伯努利數(shù).
(2)由于cotz函數(shù)在z=0鄰域有一階極點(diǎn),故展開式為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).
其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)為伯努利數(shù),0<|z|<π.
(3)
(1)求secz的冪級(jí)數(shù)展開式
其中En(E1=1/6,E2=1/30,E3=1/42,…)為歐拉數(shù).
(2)求cscz的冪級(jí)數(shù)展開式
其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)為伯努利數(shù).
(待定系數(shù)法只能用于有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)(正冪項(xiàng))的情形).
其中最后一步用到了k+l=n. 比較方程兩邊級(jí)數(shù)的系數(shù),即得
(1)
具體地n=0:a1=1.
……
由于cotz函數(shù)在cotz在z=0鄰域有一階極點(diǎn),故展開式為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).
其中最后一步用到了k+l=n. 比較方程兩邊級(jí)數(shù)的系數(shù),即得
(1)
具體地n=0:a-1=1.
……
secz在z=0的展開式是Taylor級(jí)數(shù).
由此可以求出前五項(xiàng)的系數(shù):E0=1,E1=-1,E2=5,E3=-61,E4=1 385,E5=-50 521.
從上式有:
cscz在z=0鄰域有一階極點(diǎn)的,展開式為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).
zcscz·sinz=z,不妨記
secz在z=0的展開式是Taylor級(jí)數(shù).
=1+2tan2z
En(E1=1/6,E2=1/30,E3=1/42,…)為歐拉數(shù).
cscz在z=0鄰域有一階極點(diǎn)的,展開式為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).
一般有如下的遞推公式:
由于
(3)
(4)
注意到:
(5)
馬上有Euler數(shù)與Bernoulli數(shù)間的關(guān)系:
(6)
由式(4)有
(7)
把式(7)中的z換成iz即得
立即有:
(8)
由tanz=cotz-2cot2z,可推得
ztanz=zcotz-2zcot2z
(9)
(10)
當(dāng)然,對(duì)于基本三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開還有其它種方法,在這里就不一一贅述了.