陳小蕾 鄭立飛

【摘要】研究無(wú)窮大概念案例教學(xué)的微課教學(xué)設(shè)計(jì)，基于微課的教學(xué)特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)案例，通過(guò)電子教學(xué)手段的演示，實(shí)例應(yīng)用講解，多角度多環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】無(wú)窮大 微課 案例 教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】O171 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）02-0023-01

微課作為現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)相融合的教學(xué)方式在教學(xué)過(guò)程中已被廣泛應(yīng)用。與傳統(tǒng)的講授式課堂比較，微課具有主題突出、針對(duì)性強(qiáng)、精致緊湊、資源豐富、短小精煉等優(yōu)勢(shì)。將微課融入高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)和教學(xué)中，能有效的利用學(xué)生的空余時(shí)間，更加生動(dòng)形象的對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行多角度的剖析和講解，從而提升課程的整體教學(xué)效果。案例教學(xué)是對(duì)某些抽象的具體概念，用更為直觀簡(jiǎn)單的方式，從而讓學(xué)生能夠深入淺出的了解和建立正確的理論概念?，F(xiàn)在很多定義都是以案例教學(xué)進(jìn)行引入，并結(jié)合現(xiàn)代信息教學(xué)手段，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并富于思考和啟發(fā)，能更好的引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性和探索性[1]。

以案例教學(xué)[2]引入，整個(gè)教學(xué)過(guò)程包括：實(shí)例引入→概念講解→應(yīng)用舉例→應(yīng)用拓展→小結(jié)思考五個(gè)環(huán)節(jié)，教學(xué)時(shí)常約12分鐘。

一、以問(wèn)引入 實(shí)例解答

1.問(wèn)題：什么是無(wú)窮大？如何正確理解無(wú)窮大定義？

2.引例：希爾伯特?zé)o窮旅館-希爾伯特旅館與別的旅館不同的地方是：它的房間數(shù)目是無(wú)限多（即無(wú)窮多房間）。其他的旅館如果客滿了，那就再也不能接受新客人了?？煞块g數(shù)目無(wú)限多的旅館不一樣，“客滿”不等于“不能接受新客人”！希爾伯特?zé)o窮旅館對(duì)多一個(gè)新客人，經(jīng)理將原來(lái)1號(hào)房間的客人移到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人移到3號(hào)房間，……，第n號(hào)房間的客人移到第n+1號(hào)房間去。這樣移動(dòng)的結(jié)果將會(huì)空出第1號(hào)房間，這樣便能住下新來(lái)的客人了。

提問(wèn)：如果再來(lái)無(wú)限多個(gè)客人，希爾伯特?zé)o窮旅館是否也可以接待？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)PPT動(dòng)畫演示以及現(xiàn)實(shí)住宿經(jīng)歷，使學(xué)生直觀理解 “無(wú)窮大”本質(zhì)，讓課堂生動(dòng)活潑，吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生探討和解決問(wèn)題的積極性，并能將抽象和形象的具體定義進(jìn)行區(qū)分和聯(lián)系。

二、概念學(xué)習(xí) 給出本質(zhì)

1.無(wú)窮大的定義

語(yǔ)言描述性定義：亦稱“無(wú)限大”。一個(gè)變量在變化過(guò)程中其絕對(duì)值永遠(yuǎn)大于任意給定正數(shù)，一般用符號(hào)∞來(lái)表示。

2.從數(shù)列到函數(shù)

顯然，希爾伯特?zé)o窮旅館描述的是數(shù)列為無(wú)窮大的一個(gè)過(guò)程，能直觀反映出，無(wú)窮大是一個(gè)極限為無(wú)窮的變量，而非一個(gè)具體的值，與現(xiàn)實(shí)中很大的數(shù)必須加以區(qū)分，才能正確建立無(wú)窮大的正確概念。

借助數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系，以具體數(shù)列為例進(jìn)行直觀引入，后將數(shù)列換成為函數(shù)，最終給出函數(shù)結(jié)構(gòu)下的無(wú)窮大的精確定義。

數(shù)學(xué)精確定義[3]：設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某一個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義）。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（不論它多大），總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），只要適合不等式0<|x-x0|<δ（或|x|>M），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）總滿足不等式|f（x）|>M，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或→∞）時(shí)的無(wú)窮大。

設(shè)計(jì)意圖 在討論無(wú)窮大概念時(shí)，利用數(shù)列和函數(shù)之間的相互關(guān)系進(jìn)行逐層引入，結(jié)合常數(shù)運(yùn)算法則，將無(wú)窮大與常數(shù)進(jìn)行直觀區(qū)別，由形象到抽象，符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，能較好的對(duì)抽象定義進(jìn)行分析和理解。

三、應(yīng)用舉例 鞏固概念

例1 已知數(shù)列{xn}，且xn=n，證明。

例2 證明。

強(qiáng)調(diào)無(wú)窮大是極限為無(wú)窮的變量，在敘述時(shí)必須有自變量的變化過(guò)程，不可直接說(shuō)數(shù)列或函數(shù)為無(wú)窮大。例1的結(jié)論就給出希爾伯特旅館的特殊性。

設(shè)計(jì)意圖 作為概念的應(yīng)用，選擇簡(jiǎn)單又具有代表性的兩個(gè)例子，包含數(shù)列和函數(shù)兩類結(jié)構(gòu)，利用板書給出完整證明過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范書寫的能力。

四、應(yīng)用拓展 豐富教學(xué)

1.在電學(xué)中，有許多和無(wú)窮大相關(guān)的定義。利用萬(wàn)用表測(cè)電阻斷路時(shí)萬(wàn)用表會(huì)顯示1.（借助于PPT演示具體的實(shí)際圖例），表示電阻無(wú)窮大，電路斷路或者超量程。

2.科赫雪花曲線

任意畫一個(gè)正三角形，并把每一邊三等分；取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉；重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形。一直重復(fù)，直到無(wú)窮，所畫出的曲線叫做科赫曲線。曲線任何處不可導(dǎo)，即任何地點(diǎn)都是不平滑的，總長(zhǎng)度趨向無(wú)窮大，曲線上任意兩點(diǎn)沿邊界路程無(wú)窮大。

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)具體的應(yīng)用舉例和經(jīng)典的數(shù)學(xué)案例-科赫雪花曲線的周長(zhǎng)討論，讓理論與具體實(shí)踐相結(jié)合，一方面展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的趣味性，一方面讓學(xué)生了解大學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，豐富數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)。

五、小結(jié)思考 深化學(xué)習(xí)

1.小結(jié)課程的主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)。

2.預(yù)留思考：未給出自變量變化方式的函數(shù)是正確的描述方式嗎？例如：是無(wú)窮大，對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)給出對(duì)的敘述方式。

3.復(fù)習(xí)無(wú)窮小和無(wú)窮大的定義，預(yù)習(xí)其相關(guān)運(yùn)算。

設(shè)計(jì)意圖 小結(jié)本次微課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于無(wú)窮大概念的理解和在應(yīng)用中的注意事項(xiàng)。告知課程結(jié)束之后復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容，有助于建立完善的知識(shí)體系。思考題的作用是對(duì)內(nèi)容的復(fù)習(xí)和延續(xù)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主思考和學(xué)習(xí)。

本次案例教學(xué)的微課設(shè)計(jì)從實(shí)例出發(fā)，引出問(wèn)題，分析問(wèn)題，圍繞問(wèn)題展開具體討論，給出抽象的數(shù)學(xué)概念，深入了解問(wèn)題本質(zhì)，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，豐富課堂教學(xué)形式。同時(shí)結(jié)合傳統(tǒng)的課堂講授模式，以教師為主，引導(dǎo)學(xué)生從淺到深，從形象到抽象，從實(shí)際到理論遞進(jìn)式學(xué)習(xí)。本文研究的僅是在大學(xué)數(shù)學(xué)中最為基礎(chǔ)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，希望能夠通過(guò)此類案例的微課教學(xué)，有選擇性、針對(duì)性的將微課等在線課程手段結(jié)合案例教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)模式，更好的提高大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]馮穎.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念的微課教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高等數(shù)學(xué)研究.2017，20（3）：17-19.

[2]熊傳霞.淺析案例教學(xué)法在數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用[J].科技教育.2015（24）：140.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.