黃顯斌

摘要：培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)是實(shí)施素質(zhì)教育的需要，是適應(yīng)高考能力要求的需要。本文從培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、廣闊性、深刻性及創(chuàng)造性等方面探討學(xué)生的思維品質(zhì)培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；思維能力；培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)教育方法的一個(gè)重要認(rèn)為和重要目標(biāo)。高考?xì)v來非常重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，“數(shù)學(xué)思想的體操”，而思維則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂。教師在教學(xué)中，要重視、加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)。良好的思維品質(zhì)只要包括思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、廣闊性、深刻性及創(chuàng)造性。下面我例談在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的點(diǎn)滴體會(huì)。請(qǐng)專家斧正。

一、培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)是一門有高度嚴(yán)謹(jǐn)性的科學(xué)。思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指思維 活動(dòng)中能嚴(yán)格控制思維的方向和檢查思維過程的一種思維品質(zhì)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)通過設(shè)問、質(zhì)疑、反例、錯(cuò)例辨析等的訓(xùn)練，使學(xué)生善于訂正和發(fā)現(xiàn)運(yùn)算與推理中的失誤之處，找到癥結(jié)所在，重新進(jìn)行計(jì)算與思考，根據(jù)自己的思維能去偽存真。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中由于年齡點(diǎn)及元認(rèn)知水平的制約，我們常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生考慮問題不周全的現(xiàn)象。如解不等式時(shí)忽視對(duì)a的正負(fù)性和a=0的討論；設(shè)直線方程后忽視斜率不存在的討論；對(duì)已知不等式的解集為R，求m的取值范圍時(shí)忽視對(duì)2m-1=0的討論等等。又如：

例1、已知函數(shù)則f（-2）=

（A）-3 （B）21 （C）0 （D）不存在

這是一次測(cè)驗(yàn)的題，在133人（兩個(gè)班）的答卷中有48.8%的同學(xué)選（C）答案，他們的解答是：

事實(shí)上

如何使學(xué)生思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣呢？在教學(xué)中，教師應(yīng)力求讓學(xué)生對(duì)概念，定理、公式、法則等理解透徹，準(zhǔn)確掌握，有意識(shí)地選擇一些學(xué)生往往考慮不嚴(yán)謹(jǐn)而易出錯(cuò)的習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

二、培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

思維的靈活性是指思維過程中的簡(jiǎn)縮性與快速性，是指思路清晰，解決問題迅速，又能當(dāng)機(jī)立斷，不優(yōu)柔寡斷，又不輕率從事。靈活性使人能夠在緊迫的情況下，迅速作出正確判斷。思維的靈活性也需要知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，通過對(duì)復(fù)雜問題的聚斂演變，引導(dǎo)學(xué)生分析綜合、概括轉(zhuǎn)化、看清問題的基本結(jié)構(gòu)，在腦海里能夠迅速再現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，并不斷積累，形成良性循環(huán)，逐步培養(yǎng)思維的靈活性。數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍很廣泛，要解決的問題各種各樣，這就要求學(xué)生有機(jī)智靈敏的頭腦，隨機(jī)應(yīng)變的能力。在現(xiàn)實(shí)中，學(xué)生容易在解題中形成機(jī)械模仿、被頂記憶的定勢(shì)思維，因此，在教學(xué)中教師應(yīng)避免生搬硬套，思路呆板單一的教學(xué)模式的情形，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，選擇不同的教學(xué)方法，在重視通法的前提下，通過靈活選擇解題妙法或一題多解等對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性。

例2、中心為（0、0），一焦點(diǎn)坐標(biāo)為，截直線

（A） （B）

（C） （D）

這題如果直接求解會(huì)較繁，考慮到選擇題的大前提是“四個(gè)選擇之中有且只有一個(gè)正確答案”，因此，用篩選法求解：焦點(diǎn)在Y軸上，否定（B）（C），又，否定（D），故選擇（A）

例3、求出所有這樣的正整數(shù)a，使得二次方程

此題若按常規(guī)方法，根據(jù)求根式求解，運(yùn)算太大太繁。而用變?cè)ㄇ蠼猓夥▌t更為簡(jiǎn)便。

解：原方程變形為：

（1）因a是正整數(shù)，所以

但，0，1，2，將這些數(shù)代入

（1）可以求得滿足要求的所有正整數(shù)a的值為1，3，6，10，。

例4、設(shè)s、t為實(shí)數(shù)，求

分析：如圖，作直線L：

和橢圓弧C：

顯然，直線L上的點(diǎn)（x，y）到橢圓弧c上的點(diǎn)的距離的平方為（，C上能達(dá)到最小的點(diǎn)為（3，0），所以，d所求的最小值為2.

此題的條件簡(jiǎn)單，式子復(fù)雜，許多同學(xué)無法下手，考慮到所給的式子與兩點(diǎn)間距公式很相似，當(dāng)采用數(shù)形結(jié)合法時(shí)就迎刃而解了。

通過以上引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、聯(lián)想，把握住題目的特點(diǎn)，從而獲得題目的最佳解法，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用善變的觀點(diǎn)看問題，從變中求異，變中求新，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

三、培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

思維廣闊性指的是思路的廣度，既是對(duì)問題進(jìn)行全方位、多角度、多層次的思考，而不是孤立地、局部地、零碎拼湊地思考。要培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題的共性與個(gè)性，迅速找出解決問題突破口的能力。高中數(shù)學(xué)即具有各分科的獨(dú)立性，又具有知識(shí)體系的綜合性，因此它要求學(xué)生的思維具有一定的廣度，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多從不同角度分析問題，橫向聯(lián)想，拓寬思路，力求一題多解，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。

例5、設(shè)x，y，求f（x，y）=的最小值。

分析1：由已知條件，為發(fā)散點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)想：可用三角代換破題。設(shè)，則f（x，y）==（其中）

當(dāng)，f（x，y）=6，

當(dāng)=-1時(shí)，f（x，y）min=4。

分析2：從待求的結(jié)論為散發(fā)點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：復(fù)數(shù)的，模，用復(fù)數(shù)變換法求解。

由題設(shè)，可設(shè)z=（3-4i），由復(fù)數(shù)的性質(zhì)得：所以，f （x，y）=6，f（x，y）=6，f（x，y）=4.

分析3：從待求的結(jié)論為散發(fā)點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：

A （x，y），B（3，-4）兩點(diǎn)間的距離得解法三。

因?yàn)楸硎疽裕?，0 ）為圓心，半徑為1的圓，而表示圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)A（3，-4）的距離，設(shè)直線OA交圓O于P，P兩點(diǎn)，易得f（x，y）==

F（x，y）=

本題從已知或結(jié)論的結(jié)構(gòu)分析可聯(lián)想引用三角、復(fù)數(shù)、解析幾何等多個(gè)角度進(jìn)行求解，尋求解答方案，不僅有利于溝通各分科知識(shí)的聯(lián)系，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。

四、培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。它是指某一數(shù)學(xué)問題提出后，經(jīng)過觀察思考后，能抓住問題的本質(zhì)，而在一般情況下，學(xué)生對(duì)問題的思考往往只停留在初級(jí)階段這需要教師耐心地引導(dǎo)和精心地培植，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能只滿足于一知半解的膚淺認(rèn)知上，而應(yīng)把握知識(shí)的縱向聯(lián)系，透徹理解知識(shí)的本質(zhì)。

例6、已知橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）和一定點(diǎn)A（a，0）（0

分析：

至此，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)一下兩種錯(cuò)誤：

（1）由得

（2） 由-3

又（0，3），本題無解

錯(cuò)誤（1）是由于對(duì)變量的取值范圍的理解不深刻而導(dǎo)致的；

錯(cuò)誤（2）是由于學(xué)生只看問題的表面形式，沒有深刻理解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是需要分類討論所致的。

正確的解法是：

（1）若

（2）若

解得a=4

在教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，逐步誘導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘問題的隱含條件等，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

五、培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

思維的創(chuàng)造性是指通過探索、嘗試發(fā)現(xiàn)“新”的規(guī)律，得出“新”結(jié)論的一種認(rèn)知活動(dòng)。它主要表現(xiàn)為思維的獨(dú)特性、新穎性和創(chuàng)造性。我們?cè)诮虒W(xué)中，首先，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，弘揚(yáng)創(chuàng)新精神，通過模范人物自強(qiáng)不息的創(chuàng)造精神，激勵(lì)學(xué)生樹立時(shí)代的使命感和責(zé)任感，將自己的一生融入不懈的創(chuàng)新實(shí)踐中。其次要培養(yǎng)學(xué)生沖破思維定勢(shì)，大膽爭(zhēng)論質(zhì)疑，獨(dú)立判斷思考，突破從眾心理，敢于直面失敗，勇于探索新知。創(chuàng)造性思維是獲取和發(fā)現(xiàn)新知識(shí)活動(dòng)中所具備的一種重要思維。表現(xiàn)為思維不循常規(guī)，不拘常法，不落俗套，尋求變異，勇于創(chuàng)新他又常以廣泛的聯(lián)想、探知、推廣、及轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)。當(dāng)今時(shí)代，是一個(gè)信息的時(shí)代，是科技迅猛發(fā)展的時(shí)代培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，是實(shí)施素質(zhì)教育、培養(yǎng)跨世紀(jì)人才的需要，由于種種原因，學(xué)生常滿足于常規(guī)方法，而不去探究新法、妙法，這樣，學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)性思維能力是不會(huì)得到提高的，在教學(xué)中，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生敢于標(biāo)新立異，尋求與眾不同的解法，發(fā)現(xiàn)思維的閃光點(diǎn)，即予鼓勵(lì)和支持，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

例7、求值：

分析1：此題的常規(guī)解法是降冪、和積互化求出結(jié)果。在重視通法的前提下，可以引導(dǎo)學(xué)生用善變的觀點(diǎn)看問題，從所給的條件充分發(fā)揮聯(lián)想尋求新的解法。仔細(xì)觀察此題的形式與余弦定理的形式相同，故可以嘗試?yán)萌乔蠼猓瑥亩贸銮擅畹慕夥āＢ越馊缦拢?/p>

構(gòu)造三角形如圖，使，

則 由正弦定理得，BC=

由余弦定理得：

分析2：（用對(duì)稱式解）原式=

設(shè)

則

所以兩式相減得

例8、點(diǎn)P（8，1）平分雙曲線（1）的一條弦，求這條弦所在的直線方程。

這題的常規(guī)解法是用待定系數(shù)法或用“設(shè)點(diǎn)法”求出斜率，早用點(diǎn)斜式求出弦所在的直線方程。但通過細(xì)心觀察，我們發(fā)現(xiàn)（學(xué)生觀察到的）直線上的點(diǎn)A（x，y）關(guān)于點(diǎn)P（8，1）的對(duì)稱點(diǎn)B是（16-x，2-y），將其代入雙曲線方程得：

（2）聯(lián)立（1）（2）消去平方項(xiàng)得：2x-y-15=0即為所求。

這個(gè)解法簡(jiǎn)便多了，雖然學(xué)生對(duì)這種解法的合理性認(rèn)識(shí)不夠充分，但我卻肯定了他們的獨(dú)創(chuàng)精神，并鼓勵(lì)他們繼續(xù)研究這種解法的合理性。事實(shí)上，雙曲線就是雙曲線關(guān)于點(diǎn)P（8，1）的對(duì)稱雙曲線，兩對(duì)稱雙曲線的公共弦必被P點(diǎn)平分，故2x-y-15=0為所求。

總之，各種思維品質(zhì)不是孤立的，而是互相聯(lián)系的，思維能力的培養(yǎng)，不可能一蹴而就，它需要長(zhǎng)期不懈的努力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要轉(zhuǎn)變教育教學(xué)觀念，改進(jìn)教學(xué)方法，營(yíng)造和諧寬松的教學(xué)情境，積極引導(dǎo)學(xué)生不斷探索，創(chuàng)新，積極引導(dǎo)學(xué)生廣泛地、深刻地進(jìn)行思維，適時(shí)的提出假設(shè)，構(gòu)思，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決新的問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)這塊沃土上，只要我們辛勤耕耘，必將能培養(yǎng)出具有良好思維素質(zhì)的人才。

參考文獻(xiàn)：

[1]《中學(xué)數(shù)學(xué)教材分析》（上）（下）

[2]《高考數(shù)學(xué)能力考查與題型設(shè)計(jì)》，高等教育出版社：

[3]周慶軍.《對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)“減輕負(fù)擔(dān)，提高質(zhì)量”的思考》