☉重 慶 復(fù) 旦 中 學(xué) 丁慶彬

☉重慶市第二十九中學(xué)校 鄭 莎

以課時(shí)為單位的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)于合理把握每節(jié)課的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程、優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)具有重要意義.但其自身也存在不足之處：易使學(xué)生的知識(shí)割裂，不利于形成一個(gè)完整的知識(shí)鏈條和結(jié)構(gòu)體系，而且過(guò)多地關(guān)注知識(shí)與技能，忽略了學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).銳角三角函數(shù)是人教版教科書(shū)九年級(jí)下冊(cè)第二十八章第一節(jié)內(nèi)容，該內(nèi)容既是對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的深入研究，又是對(duì)函數(shù)關(guān)系的進(jìn)一步深化，對(duì)以后高中階段學(xué)習(xí)三角函數(shù)起著鋪墊性作用.本設(shè)計(jì)充分遵循學(xué)生的認(rèn)知水平，通過(guò)對(duì)學(xué)材資源的重組建構(gòu)單元教學(xué)體系，真正落實(shí)以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心的教學(xué)觀，多維度提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，從而實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo).

一、課堂導(dǎo)入，知識(shí)與方法兼顧

師生一起回憶已學(xué)過(guò)的有一個(gè)銳角為30°或45°的特殊直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生探究并計(jì)算出這些特殊角所對(duì)直角邊與斜邊的比值.在此基礎(chǔ)上，保持角度不變，將三角形放大，如圖1，再讓學(xué)生思考其比值情況.

圖1

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生很容易得出結(jié)論：在一個(gè)Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A=30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，是一個(gè)固定值；當(dāng)∠A=45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值.教師再提出問(wèn)題：當(dāng)∠A取其他的一個(gè)固定度數(shù)時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？教師先借助幾何畫(huà)板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，用幾何畫(huà)板畫(huà)出Rt△ABC，保持∠A的大小不變，拖動(dòng)三角形至任意大小，其對(duì)邊與斜邊的比值a）大小不變，如圖2.

圖2

圖3

演示后，學(xué)生初步感知當(dāng)一個(gè)直角三角形的銳角固定，其對(duì)邊與鄰邊的比值是不變的事實(shí).在觀察完圖形后，教師引導(dǎo)學(xué)生還要通過(guò)已學(xué)過(guò)知識(shí)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，并提出如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：如圖3，任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么與′有什么關(guān)系.你能解釋一下嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分組探究，并利用相似來(lái)證明結(jié)論的正確性.

設(shè)計(jì)意圖：改變千篇一律的情景引入方式，以復(fù)習(xí)切入，直截了當(dāng).通過(guò)對(duì)特殊銳角的對(duì)邊與斜邊比值不變性推廣到一般銳角，分別借助幾何畫(huà)板這一多媒體資源進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示和利用相似進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，不僅體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法，同時(shí)也將直觀的圖形觀察與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明巧妙的結(jié)合起來(lái).對(duì)學(xué)材資源進(jìn)行挖掘和重組，讓課堂導(dǎo)入層層遞進(jìn)，嚴(yán)謹(jǐn)而又自然.

二、新知探究，知識(shí)與方法融合

1.正弦

在探究當(dāng)一個(gè)銳角固定時(shí)其對(duì)邊與斜邊的比值不變性的基礎(chǔ)上給出正弦的定義，教師在黑板上結(jié)合圖形（如圖4）寫(xiě)出如下內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在教材中勾畫(huà)出相應(yīng)內(nèi)容.

圖4

就概念的理解，教師做以下說(shuō)明：

（1）sinA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正弦，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”，當(dāng)角是用三個(gè)字母表示時(shí)，“∠”不能省去；

（2）sinA表示一個(gè)比值，沒(méi)有單位.

結(jié)合課前導(dǎo)入給出如下兩個(gè)小問(wèn)題，讓學(xué)生自主完成，以此鞏固概念.

（1）當(dāng)∠A=30°時(shí)，則sinA=sin30°=______；

（2）當(dāng)∠A=45°時(shí)，則sinA=sin45°=______.

2.余弦

在引入銳角∠A的余弦時(shí)，可以改變通過(guò)繼續(xù)探究比值的方式，引導(dǎo)學(xué)生在原有圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步表示出sinB==.根據(jù)已學(xué)過(guò)的正弦知識(shí)，顯然這個(gè)比值也是不變的.再回到圖形上，引導(dǎo)學(xué)生觀察邊AC、邊AB和∠A的位置關(guān)系，易知邊AC是∠A的鄰邊，邊AB仍然是斜邊，這樣就可以得到∠A的鄰邊與斜邊的比值也是不變，我們把這個(gè)比值叫作∠A的余弦，可表示為：cosA=

此時(shí)，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生觀察sinB與cosA的關(guān)系，并嘗試給出如下一般的結(jié)論：

在Rt△ABC中，若∠A+∠B=90°，則sinB=cosA或sinA=cosB.

3.正切

回到圖形上，以∠A為參照角，引導(dǎo)學(xué)生思考除了對(duì)邊、鄰邊和斜邊之間的比值外，還可能會(huì)遇到哪些邊的比？學(xué)生會(huì)想到對(duì)邊與鄰邊、鄰邊與對(duì)邊、斜邊與對(duì)邊、鄰邊與斜邊等四種情況.教師可以做如下處理：

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想∠A的斜邊與對(duì)邊的比以及斜邊與鄰邊的比，數(shù)值上與∠A的正弦和余弦分別有什么關(guān)系？

生：互為倒數(shù)的關(guān)系.

師：很好，由于在數(shù)值上具有簡(jiǎn)單的倒數(shù)關(guān)系，因此在初中階段我們就不做特殊的學(xué)習(xí)，到了高中后，這兩種比值也會(huì)有新的定義.我們?cè)賮?lái)探究一下兩條直角邊的比值情況.

這樣就自然的引出了正切的定義：tanA=∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊=

設(shè)計(jì)意圖：正弦的概念是師生經(jīng)歷一系列探究之后給出的，采用了常見(jiàn)的講授方式.余弦和正切的給出改變了傳統(tǒng)的方式，緊緊抓住“比值不變性”層層推進(jìn)，自然生成.通過(guò)∠B的正弦得出∠A的余弦，不僅教會(huì)學(xué)生通過(guò)已知探究未知的方法，同時(shí)也得到互余兩角正余弦的特殊關(guān)系，為高中階段的學(xué)習(xí)鋪墊了思想方法.同時(shí)，本環(huán)節(jié)還充分考慮學(xué)生的認(rèn)知和思維習(xí)慣，余弦和正切的引入并沒(méi)有沿用正弦的引入方式，而是在學(xué)生列舉出所有可能出現(xiàn)的比值情況下教師加以引導(dǎo)自然生成，同時(shí)對(duì)學(xué)生可能產(chǎn)生的疑惑（為什么只研究三種比值）給予很好的說(shuō)明.這種“大學(xué)材”觀不僅培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散性的思維方式，同時(shí)也滲透了整體教學(xué)的思想.

三、概念延伸，知識(shí)與文化并舉

本節(jié)課的課題是銳角三角函數(shù)，而很多教師往往局限于正弦、余弦和正切的概念講授及簡(jiǎn)單運(yùn)用.很少會(huì)涉及到函數(shù)層面，即便有也是一帶而過(guò).事實(shí)上，從知識(shí)的功能來(lái)看，本節(jié)課的一項(xiàng)重要任務(wù)就是通過(guò)對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)來(lái)達(dá)到對(duì)函數(shù)的再延伸、再深入，而在教科書(shū)上也有一處旁白（如圖5）提示，值得我們?nèi)リP(guān)注和思考.

1.用列表的方式引入三角函數(shù)

以sinA為例，讓學(xué)生回憶幾個(gè)特殊角的正弦值.

∠A 30° 45° 60°sinA

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想如果不是一個(gè)特殊角，我們又如何求出其正弦值呢？

生1：根據(jù)角度畫(huà)出直角三角形，測(cè)量該角對(duì)邊和斜邊后再計(jì)算比值.

生2：借助計(jì)算器計(jì)算.

師：測(cè)量法求值是一種很煩瑣的方法，而且還有誤差.使用計(jì)算器計(jì)算比較精準(zhǔn)而且很快.無(wú)論采用那種方式，只要給出一個(gè)銳角就一定會(huì)有唯一的正弦值與之對(duì)應(yīng).這種對(duì)應(yīng)關(guān)系和之前學(xué)習(xí)的函數(shù)是一樣的.因此，我們通常把sinA叫作A的函數(shù)，即為正弦函數(shù).同理，也把cosA和tanA分別叫作A的余弦函數(shù)和正切函數(shù).

2.從圖像的角度認(rèn)識(shí)三角函數(shù)

圖5

教師利用幾何畫(huà)板畫(huà)出y=sinA（0≤∠A≤3π）的圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察和認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)圖像，如圖6.并補(bǔ)充說(shuō)明：我們也可以用同樣的方法畫(huà)出余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像，也可以像研究其他函數(shù)一樣去研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)入高中后我們會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí).

圖6

3.從歷史發(fā)展的角度了解三角函數(shù)

用幻燈片呈現(xiàn)出教材P70“閱讀與思考”材料——一張古老的“三角函數(shù)”，以此增進(jìn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的發(fā)展歷史和應(yīng)用領(lǐng)域的了解，增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，提升文化素養(yǎng).

設(shè)計(jì)意圖：在教材旁白的提示下，以特殊角的正弦值為切入，通過(guò)簡(jiǎn)單的列表形式讓學(xué)生感受到角度的變化引起正弦值變化的事實(shí).類比已學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)，讓學(xué)生很容易接受三角函數(shù)這一新概念.借助幾何畫(huà)板現(xiàn)場(chǎng)畫(huà)出正弦函數(shù)圖像，讓學(xué)生從形的角度感知三角函數(shù).這樣多維度的探究和學(xué)習(xí)，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性.本環(huán)節(jié)還鏈接了課后資源“閱讀與思考”，其在教學(xué)過(guò)程中起著拓展視野和提升文化素養(yǎng)的作用.

四、習(xí)題設(shè)置，知識(shí)與能力共生

課堂上，習(xí)題的設(shè)置既為了鞏固知識(shí)，更為提升學(xué)生的能力.可是，我們的課堂上往往只關(guān)注了知識(shí)的運(yùn)用，卻忽略了能力的培養(yǎng).新課標(biāo)指出：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力（以下簡(jiǎn)稱“四能”）是數(shù)學(xué)課堂的重要使命.為此，本環(huán)節(jié)做了大膽的嘗試，不給學(xué)生預(yù)設(shè)固有的題目，只給出題目的基本條件和圖形（如圖7），讓學(xué)生以小組為單位利用剛學(xué)過(guò)的知識(shí)各自提出2-3個(gè)問(wèn)題，每個(gè)小組代表向同學(xué)們展示本組所提出的問(wèn)題，發(fā)動(dòng)其他小組的同學(xué)去思考并嘗試解決.

例 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高，BC=5，AC=12.

各小組經(jīng)過(guò)探究后，依次展示自己的問(wèn)題，并給出解題思路.許多問(wèn)題大大超出了預(yù)設(shè)，生成了許多寶貴的資源.這些問(wèn)題的生成成為課堂上重要的學(xué)材資源，極大地提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)了合作學(xué)習(xí)的能力.

展示環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師應(yīng)給予點(diǎn)評(píng)和歸納，引導(dǎo)學(xué)生如何在直角三角形中利用勾股定理和三角函數(shù)建立邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系.并指出在五個(gè)元素（兩個(gè)銳角和三條邊）中，如果知道其中兩個(gè)元素（至少有一條邊），可以求出其他元素.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)課堂不僅只關(guān)注知識(shí)本身，還要通過(guò)知識(shí)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用提升學(xué)生的“四能”.僅有預(yù)設(shè)的問(wèn)題就無(wú)法實(shí)現(xiàn)”四能”的全面協(xié)調(diào)發(fā)展.本環(huán)節(jié)，學(xué)生在現(xiàn)有條件的基礎(chǔ)上提出許多寶貴的問(wèn)題，增加了許多寶貴的課堂資源，不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)新知識(shí)的鞏固和運(yùn)用，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性和學(xué)科素養(yǎng).

圖7