賈寶惠，耿喆元，藺越國，王毅強(qiáng)

（中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

偶然損傷是飛機(jī)結(jié)構(gòu)損傷的三大來源之一[1]，是飛機(jī)在使用期間受到隨機(jī)事件或非計(jì)劃事件影響而造成飛機(jī)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷，其表現(xiàn)為變形、開裂、穿孔或其它受損結(jié)構(gòu)、分層或脫膠。民用飛機(jī)維修大綱的制定有利于對飛機(jī)的偶然損傷進(jìn)行恰當(dāng)?shù)木S修和維護(hù)，其具有重要意義[2]。偶然損傷貫穿民用飛機(jī)使用的全過程，具有隨機(jī)性和偶然性，因而維修大綱中偶然損傷的維修等級和維修間隔較難界定。

民航事故征候，是指在航空器運(yùn)行階段或在機(jī)場活動區(qū)內(nèi)發(fā)生的與航空器有關(guān)的、不構(gòu)成事故但影響或可能影響安全的事件[3]。ICAO安全管理手冊中描述了事故、事故征候及近似事故征候之間的關(guān)系，即每一起事故發(fā)生前，平均有29起事故征候和300起近似事故征候發(fā)生[4]。因此對偶然損傷事故征候的分析和預(yù)測與航空安全息息相關(guān)。

灰色系統(tǒng)理論是由鄧聚龍[5]提出的一種新方法，主要研究“小樣本、貧信息”的不確定性系統(tǒng)，目前已廣泛應(yīng)用于電力、生物醫(yī)學(xué)、機(jī)械等領(lǐng)域[6-9]。GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)中最常用的一個(gè)模型，其本質(zhì)是以指數(shù)型曲線去擬合原始數(shù)據(jù)，繼而預(yù)測出一條較為平滑的曲線。但GM（1，1）模型對于波動性較大的數(shù)據(jù)列擬合較差、預(yù)測精度較低，而Markov預(yù)測理論以其獨(dú)有的無后效性，即系統(tǒng)將來所處狀態(tài)只與系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而與系統(tǒng)過去的狀態(tài)無關(guān)，可對灰色模型進(jìn)行修正?；疑R爾可夫模型，一方面利用GM（1，1）模型使數(shù)據(jù)序列滿足了馬爾可夫的前提條件，即無后效性和平穩(wěn)過程等均值特點(diǎn)；另一方面，馬爾可夫模型又解決了對隨機(jī)波動性較大序列的預(yù)測問題，提高了預(yù)測精度，在交通、商業(yè)、林業(yè)、能源等領(lǐng)域得到應(yīng)用[10-12]。

偶然損傷事故征候受到天氣因素、機(jī)械、地面保障、機(jī)組、機(jī)務(wù)、空管或其他不可控因素影響，屬于動態(tài)的時(shí)變系統(tǒng)。利用灰色馬爾可夫模型建立偶然損傷事故征候的預(yù)測模型，并利用新陳代謝法進(jìn)行改進(jìn)，避免了專家打分帶來的主觀影響，可以對短期和中長期的偶然損傷事故征候進(jìn)行預(yù)測，為偶然損傷的預(yù)防性維修方案提供預(yù)測模型支持。

1 灰色馬爾可夫模型的建立

1.1 灰色 GM（1，1）模型

灰色系統(tǒng)預(yù)測模型具有所需信息較少、計(jì)算簡便、精度較高等特點(diǎn)?；疑獹M（1，1）模型建模過程如下：

1）給定原始的數(shù)據(jù)序列

3）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量Y，即

4）由累加生成的數(shù)列X（1）得到白化微分方程

5）根據(jù)最小二乘估計(jì)算法得到白化微分方程中的參數(shù)a、u為

6）將求解出的參數(shù)向量代入微分方程，對微分方程進(jìn)行求解，得到 GM（1，1）模型

7）將上式進(jìn)行累減還原，得到預(yù)測值

其中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。

8）對預(yù)測值進(jìn)行精度檢驗(yàn)：

殘差公式為

相對誤差公式為

9）后驗(yàn)差檢驗(yàn)：

a）原始數(shù)列的均值為

b）原始數(shù)列的方差為

c）殘差的均值為

d）殘差的方差為

e）后驗(yàn)差比值為

f）小誤差概率為

表1給出了各指標(biāo)值的大小與模型精度之間的關(guān)系，如果一個(gè)灰色模型的相對誤差△t、后驗(yàn)差比值C、小誤差概率P都處于“好”的等級，則認(rèn)為該模型精度較高，適合應(yīng)用。灰色模型建立的流程圖如圖1所示。

表1 模型精度檢驗(yàn)等級Tab.1 Model accuracy testing level

圖1 灰色GM（1，1）模型預(yù)測體系Fig.1 Forecast system based on GM（1，1）model

1.2 狀態(tài)劃分

馬爾可夫模型中狀態(tài)劃分常用樣本均方差法、模糊聚類法和有序聚類法這三種方法來定義狀態(tài)區(qū)間，實(shí)際問題中統(tǒng)計(jì)指標(biāo)值均按一定次序排列，在劃定狀態(tài)時(shí)不能隨意調(diào)整。偶然損傷事件事故征候的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與年份緊密相關(guān)，打亂順序會破壞事實(shí)原有的客觀性。因此采用有序聚類的方法將偶然損傷事故征候分成n個(gè)狀態(tài)。其任意一個(gè)狀態(tài)可表示為

馬爾可夫鏈的最終預(yù)測值也一定落在某個(gè)[⊕1i，⊕2i]區(qū)間內(nèi)，因此可用區(qū)間的中值去估計(jì)預(yù)測值，即

1.3 灰色馬爾可夫模型

已知過程在t0時(shí)刻所處的狀態(tài)，系統(tǒng)在t＞t0所處狀態(tài)的分布及過程與t0之前所處的狀態(tài)無關(guān)，只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，則稱之為馬爾可夫過程。而時(shí)間和狀態(tài)都離散的馬爾可夫過程稱作馬爾可夫鏈。依據(jù)C-K方程

可以根據(jù)已知現(xiàn)在的分布和構(gòu)造轉(zhuǎn)移矩陣的方法來預(yù)測未來狀態(tài)。一般地，用fij表示從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的頻數(shù)。根據(jù)概率的穩(wěn)定性，可以近似地用轉(zhuǎn)移頻率來估計(jì)轉(zhuǎn)移概率，即，其中Pij為轉(zhuǎn)移概率，表示從狀態(tài)i到狀態(tài)j的概率。由Pij組成的矩陣就是馬爾可夫鏈中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即

圖2 灰色馬爾可夫鏈模型建模流程圖Fig.2 GM（1,1）chain modeling flowchart

2 偶然損傷事故征候預(yù)測實(shí)例

采用《中國民用航空安全信息分析報(bào)告》，針對2005—2014年偶然損傷事故征候的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如表2所示，檢驗(yàn)灰色馬爾可夫模型的精度并對偶然損傷事故征候進(jìn)行預(yù)測。

表2 2005—2014中國偶然損傷事故征候事件數(shù)Tab.2 Accidental damage incidents in China 2005—2014

2.1 建立 GM（1，1）模型

根據(jù)1.1節(jié)中的GM（1，1）模型，用Matlab編寫程序求得系數(shù)矩陣為

將 a=-0.150 2，u=83.139 2代入式（7）得

表3 灰色模型預(yù)測值與實(shí)際值對照及狀態(tài)劃分Tab.3 Comparison and state devision between GM（1,1）forecast and actual values

對灰色模型進(jìn)行精度校核，分別計(jì)算殘差檢驗(yàn)Δt、后驗(yàn)差檢驗(yàn)C和小誤差概率P，結(jié)果如表4所示。

表4 精度檢驗(yàn)Tab.4 Accuracy test

根據(jù)表1中的精度標(biāo)準(zhǔn)，表4中的后驗(yàn)差比值C=0.182 6，小于 0.35，小誤差概率 P=1，大于 0.95，所以GM（1，1）模型在偶然損傷事故征候中的應(yīng)用程度為“好”。

2.2 狀態(tài)劃分

依據(jù)1.2節(jié)中灰色模型的狀態(tài)劃分方法，根據(jù)實(shí)際值與預(yù)測值的比值，得到灰色GM（1，1）模型預(yù)測的相對變化率，依據(jù)相對變化率將偶然損傷事故征候轉(zhuǎn)化為⊕1、⊕2、⊕3這3個(gè)狀態(tài)，如表5所示。

表5 偶然損傷事故征候狀態(tài)劃分Tab.5 State division of accidental damage incidents

根據(jù)表5的狀態(tài)劃分區(qū)間，2002—2012中的數(shù)據(jù)狀態(tài)劃分結(jié)果如表3所示。

2.3 計(jì)算預(yù)測值

由表3得到馬爾可夫模型的一步轉(zhuǎn)移矩陣為

因?yàn)?014年的狀態(tài)處于⊕1，所以初始概率矩陣為Pa（0）=（1 0 0），則根據(jù)C-K狀態(tài)方程，2015年的狀態(tài)分布概率為

因此，2015年的狀態(tài)有66.67%的可能性處于狀態(tài) 1，根據(jù)⊕1的比值范圍是⊕1=[0.819 0，0.999 6]，結(jié)合灰色GM（1，1）模型對2015年的預(yù)測數(shù)值為419.197 6，可以求得2015年偶然損傷事故征候的事件數(shù)（0）（11）∈（343.322 8，419.029 9），而 2015 年偶然損傷事故征候的實(shí)際值為394，取值顯然在上述區(qū)間內(nèi)?？捎脜^(qū)間的中值381.18去估計(jì)2015年偶然損傷事故征候的預(yù)測值，但利用馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣對灰色模型預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行修正，可以得到精度更高的預(yù)測值。

圖3顯示了灰色模型與灰色馬爾可夫模型對偶然損傷事故征候的預(yù)測結(jié)果。由圖3可知，灰色模型在2005—2014年期間對偶然損傷總數(shù)事故征候趨勢的預(yù)測與實(shí)際值基本吻合，2011年、2013年的預(yù)測結(jié)果和真實(shí)值幾乎重合。但從2015年的預(yù)測結(jié)果看，灰色馬爾可夫模型的預(yù)測結(jié)果更接近真實(shí)值，也就是預(yù)測更加精準(zhǔn)。

圖3 偶然損傷事故征候的預(yù)測及實(shí)際值Fig.3 Accidental damage incident forecast and actual values

下面預(yù)測2016年的偶然損傷事故征候所處的狀態(tài)。根據(jù)C-K狀態(tài)方程，由于2016年位于最后一個(gè)年份及2014年之后的第2個(gè)時(shí)刻，所以考慮用兩步轉(zhuǎn)移矩陣，即

則2016年的狀態(tài)分布概率為

所以，根據(jù)馬爾可夫鏈的預(yù)測結(jié)果，2016年的偶然損傷事故征候狀態(tài)應(yīng)該處于狀態(tài)⊕1，但實(shí)際上2016年的偶然損傷事故征候數(shù)為548，與灰色模型在2016年預(yù)測值的比值是1.125 0，已超出了之前劃分的狀態(tài)，更不可能在狀態(tài)⊕1。造成這種結(jié)果的原因不是由于模型出現(xiàn)了錯(cuò)誤，而是在2005年航空安全信息網(wǎng)的使用還沒有普及，僅依靠各大航空公司自覺上傳數(shù)據(jù)，很多數(shù)據(jù)不完全。而2016年全新的航空信息安全平臺上線后，樣本數(shù)據(jù)量增加了，2005年的數(shù)據(jù)顯得過于陳舊，因此，在預(yù)測新一年的事故征候時(shí)，使用新陳代謝的灰色馬爾可夫模型進(jìn)行修正和預(yù)測。

2.4 改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型的預(yù)測

新陳代謝GM（1，1）模型的建模思路是，去除原始數(shù)據(jù)中最舊數(shù)據(jù)（即2005年的數(shù)值），補(bǔ)充通過GM（1，1）模型剛剛預(yù)測出的2015年的事故征候值419，計(jì)算出新的GM（1，1）模型的系數(shù)矩陣為

新的預(yù)測模型為

根據(jù)新的 GM（1，1）模型，計(jì)算出 2006—2016年的偶然損傷事故征候的預(yù)測值如表6所示。

改進(jìn)模型的精度檢驗(yàn)如表7所示，后驗(yàn)差比值C=0.149 9，小于 0.35，小誤差概率 P=1，大于 0.95，所以GM（1，1）模型在偶然損傷事故征候中的應(yīng)用程度為“好”。依據(jù)相對變化率將偶然損傷事故征候轉(zhuǎn)化為⊕1、⊕2、⊕33個(gè)狀態(tài)，如表 8 所示。

依據(jù)表8的狀態(tài)劃分區(qū)間，將2005—2014年的數(shù)據(jù)狀態(tài)劃分結(jié)果列于表6。由表6得到計(jì)算所得新轉(zhuǎn)移概率矩陣為

表6 新陳代謝灰色模型預(yù)測值與實(shí)際值對照及狀態(tài)劃分Tab.6 Comparison and state devision between metabolism GM(1,1)forecast values and original data

表7 改進(jìn)模型精度檢驗(yàn)Tab.7 Accuracy test of advanced model

表8 改進(jìn)模型偶然損傷事故狀態(tài)劃分Tab.8 State division of accidental damage incidents for advanced model

由于2015年新的GM（1，1）模型的預(yù)測值為421，而真實(shí)值為394，其相對變化率為0.934 2，因此2015年的偶然損傷事故征候在新陳代謝灰色馬爾可夫模型處于狀態(tài)⊕2，所以初始概率矩陣為Pa（0）=（0 1 0），則根據(jù)C-K狀態(tài)方程，2016年的狀態(tài)分布概率為

因此，2016年的狀態(tài)有50%的可能處于狀態(tài)3，根據(jù)⊕3的比值范圍是⊕3=[1.082 4，1.121 3]，結(jié)合灰色GM（1，1）模型對2015年的預(yù)測數(shù)值為491.052 8，可得2016年的預(yù)測區(qū)間為（531.458 4，550.617 5），而2016年偶然損傷事故征候的實(shí)際值為548，顯然在此區(qū)間內(nèi)，用中值去估計(jì)預(yù)測值為541.07，顯然利用新陳代謝灰色GM（1，1）模型可以抵消陳舊數(shù)據(jù)對模型的影響，也可以對未來年份的預(yù)測得到更精確的結(jié)果，其精度亦得到了提高。GM（1，1）模型、灰色馬爾可夫模型和改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型的預(yù)測結(jié)果和精度比較如表9所示，新的模型曲線如圖4所示。

表9 三種模型的預(yù)測結(jié)果和精度比較Tab.9 Comparison of forecast results and accuracy by three models

圖4 3種模型對偶然損傷事故征侯的預(yù)測與實(shí)際值Fig.4 Accidental damage incident forecast and actual values by three models

其中預(yù)測精度的計(jì)算公式為

由圖4可知，GM（1，1）模型的預(yù)測曲線與偶然損傷原始數(shù)據(jù)的趨勢大致相同，可以較好地?cái)M合偶然損傷的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。灰色馬爾可夫模型通過轉(zhuǎn)移矩陣對灰色模型進(jìn)行修正，得到了更為接近真實(shí)值的結(jié)果。改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型通過新陳代謝的方法，去掉舊的數(shù)據(jù)，加入灰色模型預(yù)測出的新數(shù)據(jù)，曲線趨勢并沒有明顯變化，但是恰恰可以彌補(bǔ)灰色馬爾可夫模型對中長期預(yù)測的不足，使2016年的預(yù)測精度達(dá)到98%以上。

3 結(jié)語

偶然事故征候?qū)儆谏贅颖?、貧?shù)據(jù)的隨機(jī)系統(tǒng)。GM（1，1）模型對以年份作為基本時(shí)刻的偶然損傷事故征候預(yù)測效果較好，某些年份的預(yù)測值和真實(shí)值近似重合，表明利用GM（1，1）模型預(yù)測偶然損傷事故征候是有效的。灰色馬爾可夫模型是在GM（1，1）模型預(yù)測的基礎(chǔ)上，憑借馬爾可夫模型對無后效性事件預(yù)測上的優(yōu)勢，利用轉(zhuǎn)移矩陣對GM（1，1）的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正。修正之后精度明顯提升，可以有效地估計(jì)未來一年的偶然損傷事故征候數(shù)量。新陳代謝的灰色馬爾可夫模型，抵消了陳舊數(shù)據(jù)對模型預(yù)測的影響，改進(jìn)之后可以預(yù)測未來中長期的發(fā)展趨勢，為偶然損傷可能性等級的評定以及預(yù)防性維修大綱的制定提供參考。