孫雙雙，曲文月

(青島科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266061)

近些年來，隨著化工塔等高聳圓柱塔器高徑比的增大，化工塔的風(fēng)振變得更加劇烈，給正常生產(chǎn)帶來了嚴(yán)重的危害[1]。由于形狀記憶合金(SMA)具有可恢復(fù)應(yīng)變大、輸出力大等優(yōu)點(diǎn)，將SMA用于化工塔的振動(dòng)控制成為研究的熱點(diǎn)。SMA主要包括溫控形狀記憶合金(TSMA)和磁控形狀記憶合金(MSMA)。TSMA易受溫度的影響，導(dǎo)致響應(yīng)頻率比較低[2]。MSMA不僅具有傳統(tǒng)SMA的優(yōu)點(diǎn)，而且具有磁控形狀記憶效應(yīng)，它的可恢復(fù)應(yīng)變可達(dá)8%～15%、響應(yīng)頻率最高為5 000Hz[3-4]。因此，利用MSMA對(duì)高聳化工塔進(jìn)行振動(dòng)控制具有很重要的意義。

目前，各國的研究人員對(duì)以Ni2MnGa為代表的MSMA提出了多種不同的本構(gòu)關(guān)系，例如：Gebbia等[5]在考慮Ginzburg-Landau彈性自由能、各向異性能和材料內(nèi)部各結(jié)構(gòu)間的相互作用的基礎(chǔ)上，結(jié)合微磁理論，提出了Ginzburg-Landau/微磁模型；Zhu等[6-8]以Mori-Tanaka場(chǎng)平均的方法、Eshelby等效夾雜理論為基礎(chǔ)，建立了Ni2MnGa馬氏體再取向時(shí)的本構(gòu)模型，隨后又基于漢密爾頓變分原理，提出了適用于有限元分析的Ni2MnGa三維準(zhǔn)靜態(tài)等溫增量本構(gòu)模型；龔臣成等[9]基于熱力學(xué)及耗散的概念，采用內(nèi)變量演化描述材料微結(jié)構(gòu)的演化，建立了一種描述Ni2MnGa的三維力磁耦合唯象本構(gòu)模型；Couch等[10]在Brinson和Tanaka 的SMA本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，建立了NiMnGa磁控記憶合金的準(zhǔn)靜態(tài)模型。目前，關(guān)于MSMA本構(gòu)關(guān)系的理論較為完善，大多集中于分析材料內(nèi)在機(jī)理，由于MSMA有重要的實(shí)用價(jià)值，研究人員開展了對(duì)MSMA實(shí)際應(yīng)用的研究。

基于MSMA的優(yōu)良特性，研究人員開始嘗試將MSMA應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制中，例如：Majewska等[11]建立了MSMA的唯象一維模型，并將MSMA致動(dòng)器應(yīng)用于梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制，分析了MSMA致動(dòng)器的各種驅(qū)動(dòng)參數(shù)對(duì)梁橫向振動(dòng)的控制和調(diào)諧的影響；Lu等[12]基于MSMA的逆效應(yīng)，制作了MSMA振動(dòng)傳感器，提出了振動(dòng)傳感器的感應(yīng)電壓模型，并驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性；王社良等[13]基于MSMA變形率大和反應(yīng)迅速的特性，設(shè)計(jì)了一種MSMA主動(dòng)桿件，將其應(yīng)用到1個(gè)4層的空間桿系模型結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中，并取得了良好的減振效果。但是，目前還沒有將MSMA應(yīng)用于高聳化工塔振動(dòng)控制的研究，由于該材料具有TSMA和磁致伸縮材料共同的優(yōu)點(diǎn)，將其應(yīng)用于高聳化工塔的振動(dòng)控制具有很高的價(jià)值。

本文將在Zhu等[6-7]建立的Ni2MnGa細(xì)觀力學(xué)模型基礎(chǔ)上，分析Ni2MnGa的馬氏體再取向過程，建立Ni2MnGa的主動(dòng)控制系統(tǒng)的理論模型，然后將該模型應(yīng)用在高聳化工塔上，分別對(duì)塔頂端施加簡(jiǎn)諧載荷和衰減振蕩載荷，用Simulink模擬塔的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，以期為MSMA在高聳化工塔風(fēng)振控制中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 Ni2MnGa的細(xì)觀力學(xué)模型

本節(jié)所使用的Ni2MnGa馬氏體變體再取向的模型取自文獻(xiàn)[14]。 Ni2MnGa的平均應(yīng)變的表達(dá)式為：

(1)

Ni2MnGa馬氏體變體再取向的本構(gòu)模型表達(dá)式為：

(2)

式中：T為實(shí)際溫度；T0為參考溫度；ΔSM1→M2為材料從馬氏體變體1到馬氏體變體2的熵變量；σ0和ε0分別為無異性夾雜時(shí)材料受外力時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變；Ku為磁晶各向異性常數(shù)；β為初始位置與磁化矢量的夾角；μ0為真空磁導(dǎo)率；H為磁場(chǎng)強(qiáng)度；Msat為飽和磁化矩；α4為磁疇4體積分?jǐn)?shù)；γ為馬氏體變體的表面能密度；t為有夾雜相時(shí)材料的厚度；D和b為待定常數(shù)。

Ni2MnGa馬氏體相為四方晶體，材料常數(shù)為C11=39GPa、C12=30GPa、C13=27.6GPa、C33=28GPa、C44=51GPa、C66=49GPa[15]。變體1和2的剛度矩陣可以表示為：

(3)

(4)

為了便于分析，引入Lame常數(shù)將各向異性材料簡(jiǎn)化為各向同性材料。Lame常數(shù)的表達(dá)式如下：

(5)

(6)

選取球型Eshelby張量S，其表達(dá)式如下：

(7)

2 基于Ni2MnGa的主動(dòng)控制系統(tǒng)模型

2.1 基于Ni2MnGa的主動(dòng)控制系統(tǒng)工作原理

基于Ni2MnGa的主動(dòng)控制系統(tǒng)主要包括：傳感器、A/D轉(zhuǎn)換器、PID控制器、D/A轉(zhuǎn)換器、功率放大器、Ni2MnGa拉索、線圈。工作原理為：當(dāng)外力為零時(shí)，化工塔兩側(cè)Ni2MnGa拉索都處于飽和磁場(chǎng)下，此時(shí)Ni2MnGa應(yīng)變最大。當(dāng)受到動(dòng)載荷作用時(shí)，激光位移傳感器會(huì)測(cè)得化工塔的頂端位移，產(chǎn)生隨位移變化的電流。然后經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)化后變?yōu)閿?shù)字信號(hào)并傳輸給PID控制器，由PID控制器提高信號(hào)的穩(wěn)定性。最后通過D/A轉(zhuǎn)換器將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化為模擬信號(hào)，經(jīng)過開關(guān)功放的作用放大信號(hào)后，輸出電流。電流經(jīng)過激勵(lì)線圈后會(huì)在Ni2MnGa拉索周圍產(chǎn)生磁場(chǎng)使Ni2MnGa拉索收縮，控制化工塔的振動(dòng)。當(dāng)外力消失時(shí)，Ni2MnGa拉索在穩(wěn)定磁場(chǎng)作用下恢復(fù)到原來的狀態(tài)。

2.2 磁控形狀記憶合金主動(dòng)控制系統(tǒng)建模

主動(dòng)控制系統(tǒng)的性能優(yōu)劣將直接影響高聳化工塔的振動(dòng)響應(yīng)，因此設(shè)計(jì)合理的Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)非常關(guān)鍵。而為了研究該系統(tǒng)的性能，必須明確主動(dòng)控制系統(tǒng)各部分的數(shù)學(xué)模型，建立傳感器、PID控制器、功率放大器、Ni2MnGa拉索的傳遞函數(shù)或狀態(tài)空間。

1)確定激光位移傳感器傳遞函數(shù)。

激光位移傳感器可以將位移信號(hào)轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，為了方便計(jì)算，現(xiàn)將傳感器等效為比例環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)可以表示為：

G1(s)=20V/m

(8)

式中：s為變量。

2)確定控制器傳遞函數(shù)。

控制器包括數(shù)字和模擬控制器兩大類[16]。在現(xiàn)有的控制器中PID控制器應(yīng)用比較廣泛，其作用是調(diào)節(jié)信號(hào)，提高信號(hào)的穩(wěn)定性，現(xiàn)選用數(shù)字型的PID控制器，它的傳遞函數(shù)為：

G2(s)=KP+KI/s+KDs

(9)

式中：KP為比例系數(shù)；KI為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)。

3)確定功率放大器傳遞函數(shù)。

功率放大器中電壓-電流型功率放大器算法比較簡(jiǎn)單，易于PID控制。為了便于計(jì)算，將功率放大器簡(jiǎn)化成比例環(huán)節(jié)，則傳遞函數(shù)為：

G3(s)=0.8A/V

(10)

4)明確A/D和D/A轉(zhuǎn)換器的作用。

A/D轉(zhuǎn)換器的作用是把檢測(cè)到的電壓或電流信號(hào)(模擬量)轉(zhuǎn)換成PID控制器能夠識(shí)別的等效數(shù)字量，并利用PID控制器的進(jìn)行調(diào)節(jié)，然后通過D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)變?yōu)殡妷夯螂娏餍盘?hào)的模擬量，并輸送到執(zhí)行機(jī)構(gòu)，達(dá)到控制的目的。

5)確定線圈匝數(shù)與磁場(chǎng)和電流的關(guān)系。

線圈選用銅線制作，根據(jù)安倍環(huán)路定律確定線圈匝數(shù)：

N=Hmax·LN/Imax

(11)

LN=1.1L

(12)

式中：Hmax為最大磁場(chǎng)強(qiáng)度；Imax為最大電流；L為拉索的長度。

6)安裝Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)后對(duì)化工塔建模[17]。

在外載荷作用下，化工塔位移狀態(tài)空間為：

(13)

則化工塔線性振動(dòng)微分方程可以用狀態(tài)空間來表示，如下：

(14)

式中：Y為輸出向量；C1為輸出矩陣；D為前饋矩陣。

安裝Ni2MnGa拉索后化工塔線性振動(dòng)微分方程為：

(15)

則系統(tǒng)整體線性振動(dòng)微分方程可以用狀態(tài)空間來表示。

(16)

利用式(1)、(2)和(16)，先計(jì)算出化工塔在力作用下的位移，再求出Ni2MnGa的應(yīng)變，然后兩者矢量求和，得出安裝Ni2MnGa控制系統(tǒng)后化工塔的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

根據(jù)上述推導(dǎo)，先通過兩個(gè)算例驗(yàn)證Simulink模擬和建立的狀態(tài)空間的準(zhǔn)確性，然后利用Simulink對(duì)簡(jiǎn)諧載荷和衰減振蕩載荷下的高聳化工塔的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行模擬，并研究和分析了Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)對(duì)高聳化工塔振動(dòng)控制的效果。

3 算例驗(yàn)證

1)算例 1。

算例的材料為Ni2MnGa，參數(shù)取自文獻(xiàn)[18]。現(xiàn)對(duì)材料施加1MPa均勻壓力，用MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬，圖1給出了在1MPa壓力下材料應(yīng)變與磁場(chǎng)的關(guān)系，并與文獻(xiàn)[18]中的模擬結(jié)果和文獻(xiàn)[19]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

由圖1可以看出，從磁場(chǎng)強(qiáng)度為238.8kA/m時(shí)開始，隨磁場(chǎng)的增強(qiáng)材料由馬氏體變體1向馬氏體變體2轉(zhuǎn)化，在宏觀上表現(xiàn)為材料的應(yīng)變逐漸變大，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度為1 250.0kA/m時(shí)，材料的應(yīng)變達(dá)到最大，減小磁場(chǎng)至398.0kA/m時(shí)變體2開始向變體1變化，變化的速度比前者快，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度為15.9kA/m時(shí)材料恢復(fù)原狀。模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[18]吻合較好，與文獻(xiàn)[19]實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比有些差異，這是由于實(shí)驗(yàn)過程中各種環(huán)境因素造成的，總體來看選取的模型比較準(zhǔn)確。

圖1 磁場(chǎng)強(qiáng)度和應(yīng)變的關(guān)系對(duì)比

2)算例2。

假設(shè)在化工塔頂端受簡(jiǎn)諧載荷F=F0sin(ωt)的作用，其中F0=100kN，ω=10rad/s。根據(jù)高聳化工塔建立的狀態(tài)空間，分別用ANSYS和Simulink計(jì)算化工塔頂端位移并進(jìn)行對(duì)比，化工塔的尺寸和模型取自文獻(xiàn)[20]，圖2給出了化工塔頂端水平位移曲線。

圖2 無控狀態(tài)下的化工塔頂端位移

從圖2可以看出，由于化工塔頂端初始位移為零，開始加載時(shí)頂端位移較大，在0.1s時(shí)用ANSYS和Simulink計(jì)算的化工塔頂端位移分別為0.056m和0.057m，隨著時(shí)間的增加，化工塔頂端的位移逐漸達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)(與正弦載荷變化規(guī)律相同)，這時(shí)用兩種方式獲得的化工塔頂端位移響應(yīng)的最大值為0.040m，在采樣時(shí)間內(nèi)，化工塔頂端位移隨時(shí)間變化的曲線吻合較好，說明所建立的狀態(tài)空間具有較高的精度。

4 Ni2MnGa的磁控特性模擬

1)恒磁場(chǎng)下Ni2MnGa壓應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系。

仿真材料為Ni2MnGa，材料參數(shù)取自文獻(xiàn)[21]、[22]，在MATLAB中對(duì)材料進(jìn)行加卸載，模擬在一個(gè)加卸載過程中材料應(yīng)變與壓應(yīng)力的關(guān)系。圖3給出了在0.51T、0.60T和0.90T磁場(chǎng)下的材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

圖3 材料的壓應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系

從圖3可以看出，當(dāng)磁場(chǎng)恒定時(shí)，在加載和卸載過程中，材料的應(yīng)力應(yīng)變形成了封閉環(huán)，并且在磁場(chǎng)增強(qiáng)的過程中，隨應(yīng)力的增大材料的應(yīng)變?cè)龃蟮姆仍絹碓叫?。將材料分別放入0.51T、0.60T和0.90T的恒定磁場(chǎng)中，并施加相同的載荷，當(dāng)應(yīng)力分別大于2.88MPa、2.30MPa和2.70MPa時(shí)，材料開始出現(xiàn)變形，隨后的應(yīng)變迅速增大，當(dāng)材料應(yīng)變?yōu)?.057時(shí)材料不再變化。在卸載過程中，當(dāng)應(yīng)力小于1.46MPa、1.70MPa和2.00MPa時(shí)，材料應(yīng)變會(huì)逐漸減小，當(dāng)應(yīng)力為0時(shí)，材料恢復(fù)原狀。對(duì)比3種情況下Ni2MnGa的應(yīng)力應(yīng)變情況可知，在一定范圍內(nèi)，恒磁場(chǎng)的強(qiáng)度越大，材料具有相同可恢復(fù)應(yīng)變時(shí)所承受的壓力越大。

2)恒拉力下Ni2MnGa磁場(chǎng)強(qiáng)度與應(yīng)變的關(guān)系。

仿真材料為Ni2MnGa，材料參數(shù)取自文獻(xiàn)[6]，在MATLAB中設(shè)應(yīng)力為常量，通過改變磁場(chǎng)，模擬材料應(yīng)變與磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系。圖4給出了在0MPa、0.40MPa和0.80MPa磁場(chǎng)下的材料磁場(chǎng)強(qiáng)度與應(yīng)變的關(guān)系。

從圖4可以看出，在0MPa、0.40MPa和0.80MPa的恒拉應(yīng)力下，增大磁場(chǎng)強(qiáng)度，材料會(huì)發(fā)生馬氏體再取向，該過程表現(xiàn)為馬氏體變體1開始向馬氏體變體2變化，會(huì)使材料產(chǎn)生應(yīng)變，隨磁場(chǎng)強(qiáng)度增大材料的應(yīng)變不斷增大，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度為0.628T時(shí)，材料應(yīng)變達(dá)到極限，材料的應(yīng)變分別為0.062，0.050和0.044。此時(shí)減小磁場(chǎng)強(qiáng)度，材料應(yīng)變不會(huì)立即發(fā)生變化。當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度小于0.188T時(shí)，材料會(huì)發(fā)生馬氏體變體2向變體1的變化，材料的應(yīng)變會(huì)逐漸減小。對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可知，隨拉應(yīng)力的增大,材料的最大應(yīng)變減小，馬氏體變體變化的過程變慢。

圖4 材料的磁場(chǎng)強(qiáng)度與應(yīng)變的關(guān)系

5 安裝Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)的化工塔動(dòng)力特性研究

現(xiàn)對(duì)安裝Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)后的高聳化工塔動(dòng)力特性進(jìn)行模擬，化工塔的尺寸和TSMA參數(shù)取自文獻(xiàn)[20]。單晶Ni2MnGa 的參數(shù)為：飽和磁場(chǎng)為0.7T，飽和磁化強(qiáng)度Mmax為570kA/m，最大應(yīng)變?yōu)?.2%。在磁場(chǎng)下Ni2MnGa的長度為10m，直徑為40mm。

1)化工塔頂端受水平簡(jiǎn)諧載荷F=F0sin(ωt)的作用，其中F0=3 000kN，ω=3rad/s。用Simulink模擬安裝Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)后化工塔頂端的水平位移和速度，并將結(jié)果與無控和TSMA拉索作用下頂端的水平位移和速度進(jìn)行對(duì)比，圖 5和圖 6給出了0～30s化工塔塔頂水平位移和速度隨時(shí)間變化的曲線。

圖5 簡(jiǎn)諧載荷作用下的化工塔頂端位移

從圖5可以看出，采樣時(shí)間內(nèi)，在簡(jiǎn)諧載荷作用下，化工塔開始位移比較大，頂點(diǎn)的最大振幅為0.30m，在7s后逐漸趨于平穩(wěn)，振幅為0.20m。安裝Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)后，化工塔位移變化規(guī)律與無控狀態(tài)時(shí)相同，但塔頂位移減小，開始最大振幅約為0.11m，平穩(wěn)時(shí)位移為0.10m，位移減小了大約50%。安裝TSMA拉索后塔頂位移平穩(wěn)時(shí)最大值為0.13m，而且出現(xiàn)滯后現(xiàn)象。造成這種現(xiàn)象的原因是Ni2MnGa響應(yīng)頻率較高，能對(duì)外界的激勵(lì)做出實(shí)時(shí)的反應(yīng)，而TSMA受環(huán)境的影響大，對(duì)于外界的激勵(lì)做出反應(yīng)需要一定的時(shí)間。經(jīng)過對(duì)比可得，Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)能有效地降低塔頂?shù)恼穹?，抑制化工塔的振?dòng)。

圖6 簡(jiǎn)諧載荷作用下的化工塔頂端速度

從圖6可以看出，在簡(jiǎn)諧載荷作用下，塔頂點(diǎn)速度開始比較大，從17s開始塔頂?shù)乃俣戎饾u趨于平穩(wěn)，此時(shí)速度的幅值為0.70m/s。安裝Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)后，化工塔頂點(diǎn)速度變化規(guī)律與無控時(shí)相同，在平穩(wěn)狀態(tài)下塔頂速度幅值為0.35m/s，比無控時(shí)減小了50%。安裝TSMA拉索后，塔頂?shù)乃俣确禐?.45m/s，比無控時(shí)減小了36%。開始時(shí)Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)與TSMA拉索控制效果差別很小，在塔頂速度變化平穩(wěn)之后，主動(dòng)控制系統(tǒng)作用下的塔頂速度明顯小于TSMA拉索控制下的塔頂速度。通過對(duì)比可得，Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)能明顯地減小塔頂速度，與TSMA拉索的控制效果相比有一定的優(yōu)勢(shì)。

2)化工塔頂端受水平方向衰減振蕩載荷F=F0sin(ωt)·e-t/5的作用，其中F0=5 000kN，ω=3rad/s。用Simulink模擬安裝Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)后化工塔頂端的位移和速度，并將結(jié)果與無控和TSMA拉索下塔頂位移和速度的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，圖7和圖 8給出了0～30s化工塔頂端位移和速度隨時(shí)間變化的曲線。

從圖7可以看出，在衰減振蕩載荷的作用下，塔頂位移逐漸減小。開始時(shí)，無控狀態(tài)下塔頂位移最大值為0.32m。在TSMA拉索作用下塔頂位移最大值為0.21m，比無控時(shí)減小了34.4%；在主動(dòng)控制系統(tǒng)作用下塔頂位移的最大值為0.17m，比無控時(shí)減小了47%。在12s左右時(shí)，化工塔頂點(diǎn)位移大約為0.02m，TSMA拉索和Ni2MnGa控制系統(tǒng)作用下的結(jié)果差別不大。在整個(gè)采樣時(shí)間內(nèi)在TSMA拉索作用下，塔頂位移比無控時(shí)小，但出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，而Ni2MnGa控制系統(tǒng)作用下塔頂位移變化規(guī)律與無控狀態(tài)下相同，相比之下Ni2MnGa控制系統(tǒng)能更好地抑制高聳化工塔在衰減振蕩載荷作用下的振動(dòng)。

圖7 衰減振蕩載荷作用下的化工塔頂端位移

圖8 衰減振蕩載荷作用下的化工塔頂端速度

從圖8可以看出，無控狀態(tài)下，塔頂速度開始比較大，大約為1.1m/s。在TSMA作用下塔頂速度為0.5m/s，在Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)作用下塔頂速度為0.6m/s，隨后在Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)作用下塔頂速度變化比較平穩(wěn)，但在TSMA拉索作用下塔頂速度比前者要大一些?？傮w來說Ni2MnGa主動(dòng)控系統(tǒng)抑制化工塔振動(dòng)的能力比較好。

6 結(jié)束語

本文給出的Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)對(duì)高聳化工塔振動(dòng)控制的效果比較好，為高聳化工塔的振動(dòng)控制提供了一種新的方法。但是，目前的研究工作僅在理論上對(duì)Ni2MnGa主動(dòng)控制系統(tǒng)及可行性進(jìn)行了設(shè)計(jì)和仿真，具有一定的局限性，需要在后續(xù)在工作中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，以實(shí)現(xiàn)該主動(dòng)控制系統(tǒng)的實(shí)用價(jià)值。