彭 斌，張朋成

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

渦旋膨脹機(jī)是一種借助于容積變化來(lái)實(shí)現(xiàn)氣體膨脹的新型能量轉(zhuǎn)換裝置，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、零部件少、質(zhì)量小等優(yōu)點(diǎn)，目前大量用于制冷、低品位余熱回收等領(lǐng)域，但其轉(zhuǎn)換效率相對(duì)較低的問(wèn)題也一直困擾著研究界和工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域[1-2]。

近年來(lái)關(guān)于渦旋膨脹機(jī)的研究主要集中在幾何型線、動(dòng)力特性、熱力特性、密封和泄漏以及有機(jī)朗肯循環(huán)渦旋發(fā)電系統(tǒng)的性能研究幾個(gè)方面[3]。Bush等[4]對(duì)組合渦旋型線進(jìn)行了詳細(xì)深入的分析，提出了節(jié)曲線的概念，并詳細(xì)闡述了通用渦旋型線的解析式方程；蘭州理工大學(xué)的劉振全等[5]分析了雙頭渦旋齒渦旋壓縮機(jī)的氣體力情況，并給出了數(shù)學(xué)解析式；浙江大學(xué)的陳波等[6]對(duì)渦旋膨脹機(jī)的性能作了系統(tǒng)性的分析，重新定義了渦旋膨脹機(jī)的特定參數(shù)，對(duì)渦旋膨脹機(jī)的膨脹過(guò)程進(jìn)行了深入的理論分析和初步模擬，分析了渦旋膨脹機(jī)的熱力特性并進(jìn)行了試驗(yàn)研究；西安交通大學(xué)的楊驊等[7]全面分析了渦旋壓縮機(jī)的泄漏情況，并對(duì)比了4種切向泄漏模型和2種徑向泄漏模型的優(yōu)缺點(diǎn)，指出了渦旋壓縮機(jī)泄漏研究的方向；上海交通大學(xué)的顧偉等[8]建立了以異丁烷為試驗(yàn)工質(zhì)，凈輸出功率最大為0.74kW的有機(jī)朗肯循環(huán)渦旋膨脹機(jī)發(fā)電系統(tǒng)，得出變頻控制下工質(zhì)泵存在最佳頻率使系統(tǒng)的輸出功率最大和存在最佳蒸發(fā)壓力使系統(tǒng)的第一定律效率最高。根據(jù)“十三五”生態(tài)環(huán)境保護(hù)規(guī)劃的要求，加快補(bǔ)齊生態(tài)環(huán)境短板是當(dāng)前核心任務(wù)之一。其中充分利用好廢棄的余熱資源就是實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排的一個(gè)重要途徑和方法。膨脹機(jī)作為有機(jī)朗肯循環(huán)發(fā)電系統(tǒng)的核心設(shè)備，直接影響整個(gè)系統(tǒng)的性能和效率，因此開(kāi)發(fā)一款高效率的膨脹機(jī)具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義[9-11]。

1 型線方程

根據(jù)共軛曲線嚙合原理，選用圓漸開(kāi)線Ⅰ、高次曲線、圓漸開(kāi)線Ⅱ作為基線，齒頭部分采用雙圓弧加過(guò)渡直線來(lái)進(jìn)行修正。型線方程如下：

(1)

式中：θ為主軸轉(zhuǎn)角。

(2)

3)外圈高次曲線(θ∈(2.5π,4.5π])：

(3)

其中：

Rg=C1+2C2(θ-0.5π)+3C3(θ-0.5π)2

(4)

Rs=C0+C1(θ-0.5π)+C2(θ-0.5π)2+C3(θ-0.5π)3

(5)

式中：Rg為任意漸開(kāi)線基圓半徑；Rs為展弦；C0，C1，C2，C3為常數(shù)。C0，C1，C2，C3根據(jù)下列邊界條件求解：

(6)

式中：a為圓漸開(kāi)線基圓半徑。計(jì)算得：C0=114.660 1，C1=-38.235 4，C2=4.978 9，C3=-0.176 1。

4)內(nèi)圈高次曲線(θ∈(2.5π,4.5π])：

(7)

5)外圈圓漸開(kāi)線Ⅱ(θ∈(6.5π,8.5π]),型線方程同式(1)。

6)內(nèi)圈圓漸開(kāi)線Ⅱ(θ∈(6.5π,7.5π]),型線方程同式(2)。

7)修正大圓弧(θ∈(-0.646,1.047])：

(8)

8)修正小圓弧(θ∈(2.566,4.136])：

(9)

9)過(guò)渡直線方程(θ∈(0.980,3.524])：

(10)

渦旋型線示意圖如圖1所示。

圖1 渦旋型線示意圖

文獻(xiàn)[12]比較了用積分法和等距法兩種方法計(jì)算造成的誤差，得出法向等距法誤差比積分法誤差小，更接近真實(shí)樣機(jī)的結(jié)論。具體結(jié)論為：法向等距法計(jì)算結(jié)果與真實(shí)樣機(jī)相關(guān)數(shù)據(jù)相對(duì)誤差最大為8.76%，而積分法計(jì)算結(jié)果與真實(shí)樣機(jī)相關(guān)數(shù)據(jù)相對(duì)誤差最大為15.95%。因此本文采用法向等距法計(jì)算容積。

2 熱力學(xué)模型

基于能量守恒方程、質(zhì)量守恒方程和熱力學(xué)第一定律，建立變截面渦旋膨脹機(jī)的熱力學(xué)方程。采用控制變量的方法，對(duì)變截面渦旋膨脹機(jī)整個(gè)膨脹過(guò)程進(jìn)行熱力學(xué)分析[13]。在分析整個(gè)膨脹過(guò)程之前，提出以下假設(shè)：

1)變截面渦旋膨脹機(jī)的氣體工質(zhì)為理想氣體，比熱容恒定不變；

2)同一個(gè)工作腔內(nèi)的氣體工質(zhì)狀態(tài)參數(shù)相同；

3)不考慮氣體的勢(shì)能和動(dòng)能，并忽略氣體工質(zhì)的流動(dòng)損失；

4)整個(gè)工作過(guò)程中，動(dòng)靜渦旋盤(pán)不發(fā)生受力變形和受熱變形。

根據(jù)以上假設(shè)和能量守恒方程，控制容積內(nèi)的氣體工質(zhì)：

(11)

根據(jù)質(zhì)量守恒方程得到：

(12)

式中：U為內(nèi)能；Q為熱量；W為做功；hin為流入的氣體的比焓；hout為流出的氣體的比焓；min為流入的氣體工質(zhì)的質(zhì)量，為正值；mout為流出的氣體工質(zhì)的質(zhì)量，為負(fù)值；m為氣體質(zhì)量。在整個(gè)膨脹過(guò)程中，氣體工質(zhì)吸收熱量，Q為正值；氣體工質(zhì)在膨脹時(shí)對(duì)外做功，W為正值。因?yàn)榧僭O(shè)氣體工質(zhì)為理想氣體狀態(tài)，所以可得到熱力學(xué)方程關(guān)系式：

(13)

式中：cV為氣體恒定容積比熱容；P為氣體壓力；V為工作腔容積；R為氣體常數(shù)；T為氣體溫度；h為氣體的比焓；cP為氣體恒定壓力比熱容；k為氣體的比熱容比；D為當(dāng)量直徑。

將式(13)代入式(11)中，可得到：

(14)

式中：Tin為流入的氣體的溫度；Tout為流出的氣體的溫度。

式(14)可以寫(xiě)成：

(15)

又由于

(16)

得到變截面渦旋膨脹機(jī)工作腔內(nèi)氣體溫度隨主軸轉(zhuǎn)角的變化為：

(17)

式中：ω為變截面渦旋膨脹機(jī)的角速度。

以上給出的是熱力學(xué)模型的一般形式，在具體求解時(shí)，進(jìn)出口傳熱采用Dittus-Boelter公式求解；工作腔傳熱采用螺旋板換熱器模型求解[14-15]。

3 氣體力模型

渦旋膨脹機(jī)主要靠高壓氣體工質(zhì)推動(dòng)動(dòng)渦旋盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)外膨脹做功[16]。動(dòng)渦旋盤(pán)上受到的氣體力可分為徑向氣體力Fr、軸向氣體力Fa和切向氣體力Ft。切向氣體力Ft是推動(dòng)動(dòng)渦旋盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的作用力，進(jìn)而對(duì)外輸出轉(zhuǎn)矩做功。本文僅對(duì)切向氣體力Ft做詳細(xì)分析。

圖2 動(dòng)渦旋盤(pán)切向氣體力受力示意圖Ⅰ

①吸氣腔。

(18)

Ft0=hzRb(π-2θ)P0

(19)

式中：hz為渦旋齒齒高；P0為進(jìn)氣壓力，也是吸氣腔的壓力；Rb為基圓半徑；Ror為偏心半徑；Ft0為吸氣腔的切向氣體力。

②第一膨脹腔。

(20)

(21)

式中：P1為第一膨脹腔的壓力；Ft1為第一膨脹腔的切向氣體力。

③第二膨脹腔。

(22)

(23)

式中：P2為第二膨脹腔的壓力；Ft2為第二膨脹腔的切向氣體力。

總的切向氣體力：

Ft=Ft0+Ft1+Ft2

(24)

①吸氣腔。

(25)

Ft0=hzRb(5π-2θ)P0

(26)

圖3 動(dòng)渦旋盤(pán)切向氣體力受力示意圖Ⅱ

②第一膨脹腔。

(27)

Ft1的計(jì)算公式同式(21)。

總的切向氣體力：

Ft=Ft0+Ft1

(28)

變截面渦旋膨脹機(jī)主軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)外輸出的切向力矩可由式(29)算得。

Mt=FtRor

(29)

變截面渦旋膨脹機(jī)輸出功率的算式如下：

W=Mtωη

(30)

式中：Mt為切向力矩；η為摩擦損失效率。

4 模擬求解

根據(jù)上述模型的關(guān)系式，運(yùn)用MATLAB、Fortran軟件進(jìn)行編程，求解出工作腔內(nèi)容積、壓力、溫度和輸出功率等參數(shù)隨主軸轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律。模擬運(yùn)行工況：膨脹機(jī)進(jìn)口壓力為0.700 0MPa；膨脹機(jī)進(jìn)口溫度為293.0K。

圖4所示是變截面渦旋膨脹機(jī)的容積變化曲線示意圖。從圖4可以看出：當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角θ∈(θ*,2π+θ*](即吸氣腔和第一膨脹腔)時(shí)，容積隨主軸轉(zhuǎn)角增大而增大，且增大的速度逐漸增大；主軸轉(zhuǎn)角θ∈(4π+θ*,5π](即第二膨脹腔)時(shí)，容積隨主軸轉(zhuǎn)角增大而增大，但增大的速度逐漸減小；當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)到5π時(shí)，開(kāi)始排氣，因?yàn)榕艢饪谑侵饾u打開(kāi)的，容積持續(xù)增大，直到排氣口完全打開(kāi)，容積開(kāi)始減小，且減小速度先增大后減小。

圖5所示是假設(shè)進(jìn)口壓力為0.700 0MPa時(shí)，壓力隨主軸轉(zhuǎn)角的變化曲線。當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角θ∈(θ*,2π+θ*](即吸氣腔)時(shí)，壓力為0.700 0MPa，吸氣完成，工作腔閉合，開(kāi)始膨脹，壓力逐漸降低。在理想絕熱狀態(tài)，進(jìn)口壓力為0.700 0MPa，出口壓力為0.156 4MPa，理論膨脹比為4.476；考慮到傳熱、泄漏等因素，模擬膨脹狀態(tài)，進(jìn)口壓力為0.700 0MPa，出口壓力為0.184 4MPa，模擬膨脹比為3.790。兩者出口壓力之差為0.028 0MPa，模擬膨脹狀態(tài)的膨脹比是理論絕熱狀態(tài)的0.85倍。

圖5 壓力隨主軸轉(zhuǎn)角變化曲線

圖6所示是模擬運(yùn)行工況下，變截面渦旋膨脹機(jī)進(jìn)口壓力為0.700 0MPa時(shí)，輸出功率隨主軸轉(zhuǎn)角變化曲線(一個(gè)周期)。圖中低谷為開(kāi)始吸氣(也是吸氣完成時(shí)刻)的位置。輸出功率最大為425.5W，最小為274.3W，平均功率為338.0W。

圖6 輸出功率隨主軸轉(zhuǎn)角變化曲線

圖7所示是模擬運(yùn)行工況下，變截面渦旋膨脹機(jī)溫度隨主軸轉(zhuǎn)角變化曲線。假設(shè)進(jìn)氣溫度為293.0K，考慮到傳熱、泄漏等因素，出口溫度為275.3K，低于外界溫度。

圖7 溫度隨主軸轉(zhuǎn)角變化曲線

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

測(cè)試平臺(tái)如圖8所示，儲(chǔ)氣罐內(nèi)存有高壓氣體，由一臺(tái)大功率壓縮機(jī)提供高壓氣源。壓力控制器可調(diào)節(jié)進(jìn)口壓力，變化范圍為0.300 0MPa～0.700 0MPa，高壓氣體推動(dòng)動(dòng)渦旋盤(pán)做周期性運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)與膨脹機(jī)相連的三相發(fā)電機(jī)進(jìn)行發(fā)電。膨脹完畢的氣體，排到外界環(huán)境中。圖中壓力傳感器和溫度傳感器安裝在膨脹機(jī)的進(jìn)出口處，測(cè)得進(jìn)出口壓力、溫度；輸出功率由三相發(fā)電機(jī)輸出的電壓、電流值求得。

圖8 測(cè)試平臺(tái)原理圖

圖9展示了一部分試驗(yàn)設(shè)備，分別為變截面渦旋膨脹機(jī)、三相發(fā)電機(jī)、壓力傳感器、流量計(jì)、電壓電流表、負(fù)載等。

圖9 試驗(yàn)設(shè)備

圖10為試驗(yàn)樣機(jī)的排氣壓力隨進(jìn)氣壓力變化示意圖，排氣壓力隨著進(jìn)氣壓力的逐漸增大而增大。進(jìn)氣壓力為0.300 0MPa時(shí)，排氣壓力為0.110 0MPa，膨脹比最小(2.73)；進(jìn)氣壓力為0.700 0MPa時(shí)，排氣壓力為0.210 0MPa，膨脹比最大(3.34)。模擬進(jìn)氣壓力為0.700 0MPa時(shí)，排氣壓力為0.190 0MPa，膨脹比為3.79。試驗(yàn)測(cè)得的排氣壓力與模擬時(shí)的排氣壓力相差0.020 0MPa，試驗(yàn)測(cè)得的膨脹比是模擬時(shí)的0.89倍，相差11%，主要是因?yàn)椴y管之間的連接處有泄漏，但這是很難避免的。試驗(yàn)結(jié)果證明模型基本正確。

圖10 排氣壓力隨進(jìn)氣壓力變化示意圖

圖11為試驗(yàn)樣機(jī)的輸出功率隨進(jìn)氣壓力變化示意圖，輸出功率隨著進(jìn)氣壓力的逐漸增大而增大。進(jìn)氣壓力為0.700 0MPa時(shí)，輸出功率最大為286W。模擬進(jìn)氣壓力為0.700 0MPa時(shí)，輸出功率為338W。試驗(yàn)測(cè)得的輸出功率與模擬時(shí)的輸出功率相差52W，相差18.2%，其原因主要是三相發(fā)電機(jī)的發(fā)電效率不能達(dá)到100%。試驗(yàn)結(jié)果證明模型基本正確。

圖11 輸出功率隨進(jìn)氣壓力變化示意圖

圖12為試驗(yàn)樣機(jī)的排氣溫度隨進(jìn)氣壓力變化示意圖(進(jìn)口溫度為293.0K)，排氣溫度隨著進(jìn)氣壓力的逐漸增大而減小。進(jìn)氣壓力在0.3MPa時(shí)，排氣溫度最高，為284.0K；進(jìn)氣壓力為0.700 0MPa時(shí)，排氣溫度最低，為277.0K。模擬進(jìn)氣壓力0.700 0MPa時(shí)，排氣溫度為275.3K。試驗(yàn)測(cè)得的排氣溫度與模擬時(shí)的排氣溫度相差1.7K，與模擬工況基本吻合，證明模型基本正確。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種變截面渦旋膨脹機(jī)模型，并開(kāi)發(fā)試驗(yàn)樣機(jī)對(duì)模型的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證，對(duì)優(yōu)化渦旋膨脹機(jī)有一定的指導(dǎo)作用。但在經(jīng)濟(jì)成本、批量化制造等方面未作考慮，要真正在實(shí)踐中應(yīng)用本文成果，需對(duì)經(jīng)濟(jì)成本核算、工藝BOM搭建等方面做進(jìn)一步的分析研究。

圖12 排氣溫度隨進(jìn)氣壓力變化示意圖