臧學平,汪賢才

(1.池州學院 機電工程學院，安徽 池州 247000； 2.中國科學技術(shù)大學 材料科學與工程系，安徽 合肥 230026)

量子糾纏在量子通信和量子計算中有重要應(yīng)用，因此量子糾纏吸引了越來越多科研人員的關(guān)注.糾纏的非局域性是量子糾纏態(tài)的典型特征，用于實現(xiàn)多種量子信息處理過程(如量子密集編碼、密鑰分配、量子密碼系統(tǒng)等).兩粒子糾纏是糾纏最簡單的形式，性質(zhì)也較為簡單.多粒子糾纏的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)較為復(fù)雜，相對兩粒子糾纏其有更強的量子非局域性和穩(wěn)定性，對于量子信息處理來說，多粒子糾纏更加重要.多粒子糾纏態(tài)常見的有：Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)態(tài)[1]、W態(tài)[2]、Cluster態(tài)[3]等.研究表明，通過局域操作和經(jīng)典通信不能實現(xiàn)不同類型糾纏態(tài)的相互轉(zhuǎn)換，但量子信息處理過程中需要不同類型的多粒子糾纏態(tài)，如Cluster態(tài)是量子計算的基礎(chǔ)資源[4]、GHZ態(tài)是量子隱形傳態(tài)和量子密鑰分配重要的傳輸信道[5-6]、W態(tài)對量子信息傳輸?shù)陌踩杂绕渲匾?在多粒子糾纏態(tài)中，W態(tài)具有很多特殊的性質(zhì)，在量子信息處理中有廣泛應(yīng)用.相對于其他多粒子糾纏態(tài)，W態(tài)在對抗粒子丟失方面有顯著優(yōu)點[2]，在量子網(wǎng)絡(luò)匿名傳輸中扮演重要角色[7].值得注意的是，通過局域操作和經(jīng)典通信，可將最大糾纏兩粒子態(tài)轉(zhuǎn)化為任意糾纏大小的兩粒子態(tài)；然而，對于多粒子糾纏，由于不同類別的多粒子糾纏態(tài)間的不等價關(guān)系，無法用同樣方法將某一最大糾纏多粒子態(tài)轉(zhuǎn)化為不同類型的多粒子糾纏態(tài).因此，尋找簡單有效的大規(guī)模糾纏W態(tài)的制備方法就顯得格外重要.

大規(guī)模W態(tài)的制備多是通過融合與擴展技術(shù)來實現(xiàn)，實驗已證明融合與擴展是多粒子糾纏態(tài)制備的有效途徑[8-22].通過融合技術(shù)可實現(xiàn)從兩個甚至更多個小規(guī)模的多粒子糾纏態(tài)到更大規(guī)模的多粒子糾纏態(tài)的轉(zhuǎn)化，即從兩個小規(guī)模的最大糾纏多粒子糾纏態(tài)中各取一個粒子，通過不同融合機制實現(xiàn)兩個小規(guī)模多粒子糾纏態(tài)的融合[19].通過這種融合機制，還可實現(xiàn)從3，4個甚至更多個小規(guī)模多粒子糾纏態(tài)到大規(guī)模多粒子糾纏態(tài)的轉(zhuǎn)化[20-22].

擴展技術(shù)也可制備多粒子糾纏態(tài).擴展技術(shù)通過訪問初始糾纏態(tài)的1個量子比特，且添加1個或多個量子比特，便得到更大規(guī)模的糾纏態(tài)[9-16].例如，任意粒子數(shù)目的最大糾纏W態(tài)

(1)

其中的粒子1和k個輔助粒子局域地通過擴展門相互作用后，可概率得到1個(N+k)粒子的最大糾纏W態(tài)|WN+k〉(k=1,2或n).

眾所周知，多粒子的GHZ態(tài)和Cluster態(tài)原則上是通過在1個糾纏量子位和1個添加的新量子位間施加1個控制酉門而擴展得到的[23-24].W態(tài)擴展技術(shù)較復(fù)雜的原因如下：(1)通過訪問N個量子位中的1個量子位來實現(xiàn)對N個量子位的W態(tài)擴展時，剩下的(N-1)量子位的狀態(tài)必須變?yōu)檫m當?shù)臓顟B(tài)，而這取決于擴展輸出的W態(tài)規(guī)模大小，因此原則上酉門不能用于W態(tài)的擴展.(2)W態(tài)的量子位兩兩糾纏，形成量子位的網(wǎng)狀糾纏結(jié)構(gòu)[2,25]，因此多體糾纏結(jié)構(gòu)具有復(fù)雜性.為了在保持這種結(jié)構(gòu)的情況下擴展為N量子位的W態(tài)，新添加的量子位不僅要與初始W態(tài)中被訪問的量子位糾纏在一起，而且還必須與剩下未接觸的(N-1)量子位形成獨立的成對糾纏.由于原則上酉門不能用于W態(tài)擴展，故W態(tài)擴展是概率性的.該文將簡要介紹幾類重要的概率性的W態(tài)擴展方案及其關(guān)系，著重對W態(tài)的確定性擴展方案及其物理原理進行討論，并給出W態(tài)擴展研究的展望.

1 W態(tài)的概率性擴展技術(shù)

1.1 從N粒子W態(tài)到(N+1)粒子W態(tài)的擴展

Heff=g[(a+|g1〉〈e1|+a|e1〉〈g1|)+(a+|g2〉〈e2|+a|e2〉〈g2|)].

(2)

通過控制原子飛行速度，在原子1和處于激發(fā)態(tài)的輔助原子2與真空態(tài)單模腔發(fā)生共振相互作用后探測腔場的狀態(tài)，可概率實現(xiàn)原子W態(tài)的擴展.

1.2 從N粒子W態(tài)到(N+2)粒子W態(tài)的擴展

圖1 文獻[10]中的光子W態(tài)擴展門

圖1中，式(1)中的光子1從模式1輸入，并經(jīng)過50∶50的分束器(BS1)與2個處于水平偏振的輔助光子混合.BS1的一個輸出模式被另一個50∶50的分束器(BS2)進一步分成2種模式.當每個輸出模式的4，5，6都有光子時，則擴展操作成功.相移器(PS)是在水平偏振和垂直偏振間引入π相位相移的半波片，其使輸出的W態(tài)保持標準對稱形式.

該擴展操作有2個基本特征：(1)輸入光子和輔助光子之間是均衡的；(2)水平偏振光子從模式1進入的擴展成功概率(1/16)是垂直偏振光子從模式1進入的擴展成功概率(3/16)的1/3.利用該系統(tǒng)可實現(xiàn)從N光子W態(tài)到(N+2)光子W態(tài)的擴展.

1.3 從N粒子W態(tài)到(N+n)粒子W態(tài)的擴展

圖2 文獻[11]中的光子W態(tài)擴展門

圖2中，在擴展方案中有由L個空間模式組成的2L輸入和輸出模式，每個模式有2個偏振(水平偏振和垂直偏振)模式.式(1)中光子1從空間模式1輸入，n個水平偏振光子Fock態(tài)進入空間模式2，剩下的輸入模式均處在真空態(tài). 利用此擴展門能實現(xiàn)從N光子W態(tài)概率擴展到(N+n)光子W態(tài).

雖然上述方案均能成功實現(xiàn)W態(tài)的擴展，但均只能以概率的方式得到W態(tài) ，而概率性擴展的效率較低.因此，后續(xù)的研究工作主要集中于W態(tài)的確定性擴展技術(shù).

2 W態(tài)的確定性擴展技術(shù)

Yesilyurt，Zang等[12，15]分別基于光學系統(tǒng)、腔QED系統(tǒng)提出了W態(tài)的確定性擴展方案. 確定性擴展包括以下幾個階段：(1)由2個獨立粒子制備1個EPR態(tài)；(2)由EPR態(tài)和2個輔助粒子擴展為4粒子W態(tài)；(3)由此推廣，可實現(xiàn)N粒子W態(tài)確定性擴展為2N粒子W態(tài).

2.1 光子W態(tài)的確定性擴展

Yesilyurt等[12]提出了基于光學系統(tǒng)的W態(tài)確定性擴展方案，文獻[12]中的光子W態(tài)確定性擴展門如圖3所示.

圖3 文獻[12]中的光子W態(tài)確定性擴展門

由圖3可知，此擴展門由1個controlled-Hadamard (CH)門和1個controlled-NOT (CNOT)門組成.從模1，2輸入的態(tài)|a〉1|b〉2，通過擴展門后變?yōu)?/p>

(3)

其中：c=a⊕b.由式(3)知，如果輸入態(tài)為|01〉12或|11〉12，則得到Bell態(tài)

或

而對于其他輸入態(tài)，擴展門的變換可表示為

|00〉12→|00〉1′2′，|10〉12→|11〉1′2′.

當|0〉=|H〉，|1〉=|V〉，該擴展門可制備光子Bell態(tài).基于光子Bell態(tài)和2個輔助水平偏振光子，利用2個擴展門可實現(xiàn)由光子Bell態(tài)到4光子W態(tài)的確定性擴展.依此類推可實現(xiàn)N光子W態(tài)到2N光子W態(tài)的確定性擴展.

(4)

(5)

式(4)，(5)表明已實現(xiàn)確定性擴展.

2.2 原子W態(tài)的確定性擴展

光子W態(tài)的確定性擴展方案需要利用光學CH和CNOT門，這些光學門操作復(fù)雜，為解決上述問題，Zang等[15]提出腔QED系統(tǒng)W態(tài)的確定性擴展方案，該擴展方案基于原子與腔場之間的失諧相互作用，且無須測量.該確定性擴展方案中，2個全同2能級原子與單腔模發(fā)生大失諧相互作用，其哈密頓量為

(6)

圖4為文獻[15]中的原子W態(tài)確定性擴展門。

圖4 文獻[15]中的原子W態(tài)確定性擴展門

由圖4可知，該確定性擴展的過程為：(1)將初始分別處于激發(fā)態(tài)和基態(tài)的原子a2和b2同時送入腔場C，同時控制2原子的飛行速度.基于原子與腔場的大失諧相互作用，制備的原子W態(tài)為

(7)

當原子a2和b2飛出腔場C時，執(zhí)行下一步.(2)引入2個初始都處于基態(tài)的輔助原子a1和b1，并控制它們的飛行速度.原子a1，a2和原子b1，b2分別同時飛入單模腔場A和B，當4個原子飛出腔場A和B后，a1，a2、b1，b2確定性處于4原子W態(tài)

(8)

可以看出，該擴展過程無須任何測量.依此類推，相同的4個并行擴展門可將4原子W態(tài)確定性地擴展為8原子W態(tài)，原則上該方案可從分離狀態(tài)的原子開始，確定性制備任何偶數(shù)個原子W態(tài).

3 總結(jié)與展望

多粒子W態(tài)是量子信息處理重要的物理資源.由于W態(tài)糾纏結(jié)構(gòu)的特殊性，其制備研究進展緩慢.直到量子態(tài)融合和擴展技術(shù)出現(xiàn)，大規(guī)模糾纏W態(tài)制備的理論方案才被提出.該文主要對W態(tài)的擴展技術(shù)研究進行綜述，著重討論W態(tài)的確定性擴展技術(shù).

當前的W態(tài)擴展技術(shù)已經(jīng)取得較大進展，但還有一些問題亟待深入研究：(1)目前已有的W態(tài)確定性擴展方案只能實現(xiàn)由N→2N粒子的W態(tài)擴展，如何實現(xiàn)確定性得到奇數(shù)粒子的W態(tài)值得進一步研究；(2)目前討論的W態(tài)確定性擴展技術(shù)僅僅限于光學系統(tǒng)和腔QED系統(tǒng)，該W態(tài)確定性擴展技術(shù)能否在其他系統(tǒng)實現(xiàn)有待探索；(3)目前確定性擴展技術(shù)僅適用于W態(tài)，其他類型多粒子糾纏態(tài)是否也能確定性擴展有待研究.后續(xù)研究可圍繞這幾點展開.