工資與年終獎的最優(yōu)分配機制研究*

2018-08-07 09:12◆吳凱

稅收經(jīng)濟研究 2018年3期

◆吳凱

內容提要：我國的工資、薪金所得與全年一次性獎金采用兩種不同的納稅方法，從而導致兩者存在稅負差異。工資、薪金所得與全年一次性獎金的最優(yōu)分配問題，可以視為兩組存在依賴關系的連續(xù)泛化物品的分組背包問題，通過優(yōu)先選擇各級平均稅率最小的收入形式，使得稅負最輕。以2011年9月個人所得稅修訂前后我國九級和七級超額累進稅率政策為例，通過對增量收入選擇最優(yōu)分配機制，給出了最優(yōu)的分配方案。

一、引言

20世紀80年代，我國相繼開征了對外籍個人的個人所得稅、對國內居民的城鄉(xiāng)個體工商戶所得稅和個人收入調節(jié)稅。1994年將上述三稅合一，頒布實施了新的個人所得稅法，初步建立起個人所得稅制度。我國現(xiàn)階段實行的個人所得稅制是分類稅制，即將個人所得分為工資薪金所得、個體工商戶生產經(jīng)營所得、勞務報酬所得等11個征稅項目，并相應規(guī)定了每個應稅項目的費用扣除標準、適用稅率及計稅辦法。其中工資薪金所得費用扣除標準1994年定為800元，2006年1月1日、2008年3月1日和2011年9月1日，分別提高到1600元、2000元和3500元。工資薪金所得適用5%至45%的九級超額累進稅率，自2011年9月1日起改為3%至45%的七級超額累進稅率。①此次調整取消了15%和40%兩擋稅率，同時適當擴大了低擋稅率和高擋稅率的適用范圍。

勞動者受雇之后，除取得每月工資、薪金所得之外，還可能取得全年一次性獎金。2005年1月21日，國家稅務總局下發(fā)《國家稅務總局關于調整個人取得全年一次性獎金等計算征收個人所得稅方法問題的通知》（國稅發(fā)〔2005〕9號）規(guī)定了全年一次性獎金的納稅方法。按照國稅發(fā)〔2005〕9號文的規(guī)定，全年一次性獎金與工資、薪金所得采用不同的納稅方法。由于兩者存在稅負差異，尋求稅負最小的最優(yōu)工資和獎金的分配方案具有理論和實際意義，本文即針對這一主題進行研究。

目前學者對于工資與獎金最優(yōu)分配問題的研究主要集中在對稅級臨界點的處理和采用線性規(guī)劃的方法兩種思路。賈華芳（2007）指出要盡可能降低年終獎的適用稅率。于淳（2006）、郜林平（2007）均采用在稅級臨界點進行試算的方法，提出年收入在不同范圍下的最優(yōu)分配方案。于淳（2006）按照九級超額累進5%～45%的稅率表，給出了全年一次性獎金的完整分配方案。還有一些學者則采用線性規(guī)劃的方法來進行研究，并用計算機程序求出最優(yōu)結果。賀株莉（2006）利用隱枚舉法進行求解。張海斌和李芳林（2007）則利用Solver Parameters V7.0求解優(yōu)化模型。李偉和李蘭英（2013）則基于工薪所得稅七級超額累進稅率，使用線性模型求出月度工資和獎金之間的最優(yōu)配置狀態(tài)。然而現(xiàn)有的文獻利用經(jīng)驗或試錯的方法處理臨界點，缺乏嚴格的證明，容易丟失最優(yōu)解。此外，如果僅僅借用軟件自動求解則難以給出明確的經(jīng)濟含義。

針對這一問題，本文借用背包算法的思想，通過對增量收入的最優(yōu)分配機制進行分析，求出最優(yōu)的工資和獎金分配方案。本文第二節(jié)進行模型設定，并說明相關變量之間的關系。第三節(jié)說明最優(yōu)原理。工資和獎金的最優(yōu)分配方案受超額累進稅率大小和區(qū)間的影響，不受費用扣除標準影響。第四節(jié)和第五節(jié)分別以2011年9月1日修訂前后的九級和七級超額累進稅率政策為例，通過分析增量收入的最優(yōu)分配機制，找出最優(yōu)的工資和獎金分配方案。

二、模型設定

（一）目標

工資與獎金最優(yōu)分配問題的目標是在給定全年收入總額（以下簡稱“年收入”，記為Y）的情況下，研究如何分配月工資、薪金所得（以下簡稱“月工資”，記為W）和全年一次性獎金（以下簡稱“年終獎”，記為B），能使得所納的個人所得稅應納稅額（PIT）最小。即：

（二）月工資的符號

1.符號設定

對于月工資的相關符號進行如下界定：

（1）月工資：W

（2）費用扣除標準：f

（3）月工資、薪金應納稅所得額（以下簡稱“應稅月工資”）：

（4）第i級應稅月工資的起點：

（5）第i級應稅月工資的終點：

（6）第i級應稅月工資的區(qū)間長度：

（7）第i級應稅月工資的稅率：

（8）第i級應稅月工資的速算扣除數(shù)：①qd是“速算扣除數(shù)”的英文Quick Deduction的縮寫。

2.變量的相互關系

（1）第i級應稅月工資對應的稅率為

（2）第i級應稅月工資的起點等于第i?1級應稅月工資的終點，因此

（3）第i級應稅月工資的區(qū)間長度等于該區(qū)間終點和起點之差，即

（4）第i級應稅月工資的速算扣除數(shù)等于第i?1級的速算扣除數(shù)加上第i級應稅月工資的起點按照第i級稅率和第i?1級稅率計算出來的應納稅額之間的差額，即：

（三）年終獎的符號

1.符號設定

（1）年終獎：B

（2）按照國稅發(fā)〔2005〕9號的規(guī)定，如果在發(fā)放年終獎的當月，雇員當月工資薪金所得低于稅法規(guī)定的費用扣除額，可以將“雇員當月工資薪金所得與費用扣除額的差額”在全年一次性獎金減除，因此定義應納稅全年一次性獎金（以下簡稱“應稅年終獎”）：

2.變量的相互關系

國稅發(fā)〔2005〕9號規(guī)定先將雇員當月內取得的全年一次性應納稅獎金，除以12個月，按其商數(shù)確定適用稅率和速算扣除數(shù)。由此可知：當即當時，對應第i級的工資薪金所得稅率表，對應稅率，速算扣除數(shù)為。由此可以確定年終獎變量間的關系如下：

（1）第i級應稅年終獎的起點：

（2）第i級應稅年終獎的終點：

（3）第i級應稅年終獎的區(qū)間長度：

（4）第i級應稅年終獎的稅率：

（5）第i級應稅年終獎的速算扣除數(shù)：

3.年終獎的跳躍距離

年終獎的計稅方法介于全額累進和超額累進之間，實質上是將其1/12的部分按照超額累進的方式征稅，而剩下的11/12的部分按照全額累進的方式征稅。年終獎的個人所得稅應納稅額在第二級開始出現(xiàn)正跳躍。第i(≥2)級的跳躍距離可以用如下公式計算：

（四）模型簡化

當月工資低于費用扣除標準時W≤f，月工資不需納稅，此外費用扣除標準和發(fā)放獎金當月工資之間的差額f?W還可以在獎金納稅之前扣除。而年終獎沒有費用扣除標準，應當全部納稅。因此，當月工資低于費用扣除標準，即年工資小于12倍的費用扣除標準時，收入全部按照工資發(fā)放，不發(fā)放年終獎，是最優(yōu)的分配方案，此時無須納稅。

因此，僅需研究月工資超過費用扣除標準（W＞f）的情況，即給定超過費用扣除標準后的應納稅全年收入總額（以下簡稱“應稅年收入”，記為y），研究如何分配應稅月工資w和應稅年終獎b，使其稅負最小化。此時優(yōu)化問題轉變?yōu)椋?/p>

值得注意的是，年工資等于12個月的月工資之和，因而最優(yōu)化問題也等價于分析應稅年收入在應稅年工資和應稅年終獎之間如何分配，使其稅負最小。此外，年工資與年終獎各級的起點、終點、區(qū)間長度和稅率都相同，而年工資的速算扣除數(shù)是年終獎的速算扣除數(shù)的12倍。值得注意的是，由于考慮的是應稅年收入在年工資和年終獎之間的分配問題，因而最優(yōu)分配機制不受費用扣除標準的影響。

三、最優(yōu)原理

本文借助背包問題的思想來求解年工資與年終獎的最優(yōu)分配問題。背包問題是指給定N個物品和一個載重量為V的背包。第i（ 1 ≤i≤N）個物品重量為Wi、價值為Pi。要求用物品裝滿背包，且使背包內的物品價值最大。求解背包問題最好是選擇既能使目標函數(shù)的值增加最快，又使背包載重量的消耗較慢的物品裝入背包。達到這一目的的一個方法是優(yōu)先選擇價值重量比最大的物品裝入背包，即采用貪婪法能給出背包問題的最優(yōu)解。①貪婪法能得到背包問題的最優(yōu)解的證明可以參考鄭宗漢和鄭曉明（2005）。求解物品價值最小化問題和求解最大化問題并無本質性差異，只需將優(yōu)先選擇價值重量比最大的物品裝入背包的規(guī)則，相應改為優(yōu)先選擇價值重量比最小的物品裝入背包即可。

由于年工資和年終獎適用不同的計稅方法，因此工資最優(yōu)分配問題，實質是將年收入在兩者之間進行最優(yōu)的劃分，使得稅負最低。這一問題屬于背包問題，而又具有如下特點：

1.年收入要在年工資和年終獎兩者之間進行分配，因此是一個分組背包問題。分組背包問題將傳統(tǒng)背包問題進行擴展，考慮將N個物品劃分為K組，每組中的物品相互沖突，最多選一件的情況。對于分組背包問題的求解，是對所有的組，按背包的容量由大到小，將各組中所有的物品都拿來比較。分組背包問題的擇優(yōu)標準是：判斷選擇某物品后，是否會改進給定容量時物品的價值之和（崔添翼，2011）。

2.此問題是個有依賴的背包問題，即物品之間存在依賴。由于工資采取超額累進稅率的方式征稅，繳納個人所得稅的級次逐漸遞增，呈現(xiàn)出依賴的關系，即高一級與低一級相連，高一級的繳納以低一級為基礎。年終獎與之類似。

3.年工資和年終獎的稅負并非固定，隨著收入而變動，因此是泛化物品。泛化物品并沒有固定的費用和價值，而是它的價值隨著分配給它的費用而變化。即泛化物品是一個定義域為Zn={0 , 1,…,V}中的整數(shù)的函數(shù)h，當分配給它的費用為v時，能得到的價值就是h(v)（崔添翼，2011）。

年收入個人所得稅稅負最小問題的關鍵，在于將年工資應納稅額和終獎應納稅額這兩組泛化物品合并在一起。徐持衡（2008）提出，為求泛化物品之和，即把兩個泛化物品合并成一個泛化物品的運算，就是枚舉體積分配給兩個泛化物品，滿足：

其中，G[j]表示當體積為j(V≥j≥ 0 )的時候相對應的價值。把兩個泛化物品合并的時間復雜度是

綜上所述，年工資所得與年終獎的最優(yōu)分配問題實質上是分為兩組存在依賴關系的連續(xù)泛化物品的分組背包問題。由于年工資和年終獎僅分為兩組，使得問題得到極大的簡化。依賴方面，工資適用稅率的級次呈現(xiàn)單調的依賴關系。由于是超額累進，工資在各級的邊際稅率等于平均稅率，隨著級次的上升而增加。年終獎的邊際稅率隨著級次上升而上升，其平均稅率則受到跳躍和區(qū)間長度的影響，在一個級次內呈現(xiàn)出逐步下降的趨勢。按照貪婪法的思想，為使年收入的應納稅額最小化，應當優(yōu)先選擇各級中價值重量比最小，即各級平均稅率最小的收入形式。按照這一思路，第四節(jié)和第五節(jié)分別以2011年9月個人所得稅修訂前后我國九級和七級超額累進稅率政策為例進行分析。通過對增量收入選擇最優(yōu)分配機制，從而找出最優(yōu)的分配方案。

四、九級超額累進稅率政策的最優(yōu)分配機制

（一）簡介

工資薪金所得費用扣除標準1994年定為800元。2006年1月1日和2008年3月1日，依次提高到1600元和2000元，仍保持的5%至45%的九級超額累進稅率（如表1所示）。由于費用扣除標準的調整不影響最優(yōu)分配機制，本節(jié)研究2009年9月以前的九級超額累進稅率政策的最優(yōu)分配機制。

表1 工資、薪金所得個人所得稅適用稅率（1994年1月1日至2011年8月31日）

5超過20,000元至40,000元的部分 25% 1375 6 超過40,000元至60,000元的部分 30% 3375 7超過60,000元至80,000元的部分 35% 6375 8 超過80,000元至100,000元的部分 40% 10,375 9超過100,000元的部分 45% 15,375

國稅發(fā)〔2005〕9號規(guī)定了年終獎的征稅方法。因為年終獎在各級之間存在跳躍，因此第i級的最低平均稅率等于

由此可以計算出各級年終獎所對應的區(qū)間起點和終點、區(qū)間長度、邊際稅率、速算扣除數(shù)、跳躍距離和最低平均稅率如表2所示。

表2 年終獎適用稅率（1994年1月1日至2011年8月31日）

（二）求解方法

由于工資薪金適用超額累進方式征稅，各級的邊際稅率是單調遞增序列，從而各級的平均稅率等于邊際稅率，也是單調遞增的。從表2可知，年終獎的最低平均稅率呈現(xiàn)逐漸遞增的趨勢。因此，將年收入在年工資和年終獎之間進行分配時，可以從最低的檔次開始，逐步在年工資和年終獎兩組中提高檔次，平均稅率隨之逐步遞增，稅負逐步遞增。對于第m級年工資和第n級年終獎而言，級數(shù)越高，稅負越重，因此盡可能選擇較低級別、平均稅率低的方式以降低稅負。

1.m=n=1：年工資和年終獎無差異

此時年工資和年終獎的邊際稅率相同，在第一級的時候年工資和年終獎無差異。隨后，進入年工資第2級，年終獎第2級進行比較。

2.m=n≥2：全部按年工資分配

3.m＞n≥2

第n≥2級年終獎存在正的跳躍，由于邊際稅率不變，平均稅率呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢。因此，最開始的時候第m(＞n)級年工資的平均稅率將低于第n級年終獎。隨著收入的增加，年工資的平均稅率將趕超年終獎，出現(xiàn)如下幾種可能：

（1）第n級年終獎的最低平均稅率高于第n+1級年工資的平均稅率

此時應當首先選擇第n+1級年工資的方式，其稅負較輕，隨著年收入的上升，第n級年終獎的平均稅率將低于第n+1級年工資，此時則轉為按照年終獎的方式，稅負較輕。即第n+1級年工資和第n級年終獎會出現(xiàn)交點Z*，增量收入在區(qū)間(0 ,z*]上，選擇全部采用第n+1級年工資的方式所納稅額較低；而在區(qū)間上，選擇全部采用第n級年終獎的方式所納稅額較低。m=3,n=2時的情況，如圖1(c)所示。隨著年收入增加，將會超過區(qū)間上限，此時變?yōu)槟旯べY為第n+1級，年終獎為第n+1級時的優(yōu)化問題。

（2）第n級年終獎的最低平均稅率介于第n+1和n+2級年工資的平均稅率之間

此時，變?yōu)樵诘趎級年終獎、第n+1級和第n+2級年工資三者之間選擇最優(yōu)分配方式。由于第n級年終獎的最低平均稅率介于第n+1和n+2級年工資的平均稅率之間，采用第n+1級年工資的方式比第n級年終獎所納稅額較少，因此應當首先選擇全部按照第n+1級年工資薪金的方式。例如m=7,n=6時沒有交點，如圖1(d)所示。隨著收入增加，將會超過第n+1級年工資的區(qū)間上限，進入第n+2級年工資。由于第n級年終獎存在正跳躍，因此優(yōu)先選擇第n+2級年工資。

圖1 年工資和年終獎的幾種形式

由于年工資薪金所得采用超額累進方式征稅，各級次之間存在依賴性，第n+1級到第n+2級年工資逐漸遞增，依次排列，而第n級年終獎可以出現(xiàn)在第n+1級和第n+2級年工資前后和之間的位置，即有3種可能方案，分別為：①第n級年終獎、第n+1級和第n+2級年工資；②第n+1級年工資、第n級年終獎和第n+2級年工資；③第n+1級到第n+2級年工資、第n級年終獎。

第2種分配方案將第n級年終獎放在第n+1和第n+2級年工資之間無法使得稅負最低。因為在整個長度的區(qū)間上，其中：①在區(qū)間上，第2種方案與第3種方案相同，都是選擇第n+1級年工資；②在區(qū)間上，第2種方案與第1種方案起點和終點相同，都是選用了第n級年終獎和第n+1級年工資，區(qū)別在于次序正好相反。此時，既然第1和2兩種方式的起點和終點相同，從后往前看，第1種方案的邊際稅率為第n+1級年工資的邊際稅率，要高于第2種方案中的邊際稅率即第n級年終獎的邊際稅率。因而在此區(qū)間的稅負將比第2種方式輕。從圖像上看，在此區(qū)間，第1種分配方案將處于第2種方式的下方。③在區(qū)間上，第2種方案與第1種方案相同，都是選擇第n+1級年工資。綜上所述，相對于第1和第3種方式，第2種方式的稅負較高，無法使稅負達到最低，因此僅需比較第1和第3種方案。最優(yōu)的分配方案是：

（3）第n級年終獎的最低平均稅率介于第n+k(k≥2)和n+k+1級年工資的平均稅率之間理論上存在這一可能，其分析過程較為復雜。由于我國2011年9月修訂前后的政策均不涉及這一情況，本文從略。

（4）第n級年終獎的最低平均稅率高于最高一級年工資的平均稅率

此時增量部分全部采用年工資的方式。例如第七和八級年終獎最低平均稅率分別為48.8%和58.3%，都高于第九級年工資適用的45%的稅率，增量部分全部按年工資發(fā)放才能使得稅負最低。因此，為使稅負最低，不會采用第七、八和九級年終獎。

（三）交點Z*的確定

如下分為m=n+1和m≥n+2兩種情況，分別給出交點Z*的公式。

1.m=n+1時交點的求法

對于第n+1級年工資和第n級年終獎，由于年終獎存在一個正的跳躍，在區(qū)間的起點處年終獎的應納稅額高于年工資的應納稅額。由于在區(qū)間內函數(shù)是連續(xù)的，因此如果在區(qū)間共同最短終點處，年終獎的應納稅額低于年工資的應納稅額，則存在交點。即存在交點的條件是：

由此可知，給定年終獎處于第n級，如與第m級年工資存在交點，則要求第m級的年工資對應的個人所得稅稅率滿足如下條件：

如果交點z*存在，則可以通過如下方程求出：

由此可得：

各級年終獎對應的年工資最小級數(shù)及其對應的稅率，以及交點Z*見表3。

表3 年工資與年終獎的交點（1994年1月1日至2011年8月31日）

5 240,000 25% 11,000 29.6% 6 30% 220,000 6 240,000 30% 22,000 39.2% 8 40% 200,000 7 240,000 35% 33,000 48.8% 無解無解無解8 240,000 40% 44,000 58.3% 無解無解無解9+∞ 45% 55,000 →45%+ 無解無解無解

2.m≥n+2時交點的求法

假設與第n級年終獎相交的年工資的級次為第m(≥n+2)。由于第n級年終獎的最低平均稅率介于第m-1和m級年工資之間。此時僅需比較兩種方案的稅負大小：（1）第n+1到第m級年工資與（2）第n級年終獎和第n+1到第m-1級年工資。注意到兩種組合的方式都有第n+1至m-1級年工資，求交點時僅需比較兩組方式最短的那組區(qū)間的長度即可，即第二種方案的長度。求交點的方法同上，存在交點的條件是在區(qū)間終點處，年終獎的應納稅額低于年工資的應納稅額。此時，增量部分收入分配在第1種方案第m級工資上的收入是，而第2種方案分配在第m-1級資上的收入是。即：

則上式表明給定年終獎處于第n級,則要求第m級的年工資對應的個人所得稅稅率滿足如下條件：

此處將交點Z*定義為在第1種方式下，在第m級年工資上分配的增量收入，此時從第n+1年工資開始到m級年工資的交點Z*的區(qū)間長度為，因此第2種方式與第m-1級年工資相交的位置是。如果交點Z*存在，則可以通過如下方程求出：

由此可得：

式（8）與式（4）不同的原因在于：當?shù)趎級年終獎的最低平均稅率高于第n+1級年工資的平均稅率，兩者之間不存在交點時，由于第n+1級年工資的邊際稅率（等于平均稅率）高于第n級年終獎的邊際稅率，因此縮短了年工資與年終獎兩種分配方式之間的距離，同時變?yōu)橄噜弮杉壷g的比較。

（四）最優(yōu)的年工資分配方案

確定最優(yōu)的年工資分配方案的方法是：按照第二小節(jié)給出的求解方法，以及表3給出的交點（Z*），逐步確定最優(yōu)的年工資和年終獎分配方案，最終結果如表4所示。

從最優(yōu)分配方案中可以知道，由于年終獎存在正的跳躍，因此年終獎的分配只可能是從某一級次的中間開始，而不可能從某一級次的起點處開始。同時，正的跳躍導致在最優(yōu)分配方案中，年終獎所用到的級次數(shù)少于年工資的級次數(shù)。以2008年3月的政策為例，年工資適用九級超額累進稅率，而最優(yōu)分配方案中，僅使用第一至六級年終獎，而不會發(fā)放第七至九級年終獎。

表4 最優(yōu)年工資和年終獎的分配方案（1994年1月1日至2011年8月31日）

3(,),1()[]W s zB e 30,000 35,500 3 15% 24,000 29,500 1 5% 6000 6000[]2(),2(,)W e B z e 35,500 48,000 2 10% 24,000 24,000 2 10% 11,500 24,000[]3(,),2 )W s e B（e 48,000 84,000 3 15% 24,000 60,000 2 10% 24,000 24,000[]4(,),2()W s zB e 84,000 106,000 4 20% 60,000 82,000 2 10% 24,000 24,000[]3(),3(,)W e B z e 106,000 120,000 3 15% 60,000 60,000 3 15% 46,000 60,000[]4(,),3()W s e B e 120,000 300,000 4 20% 60,000 240,000 3 15% 60,000 60,000[]5(,),3()W s zB e 300,000 355,000 5 25% 240,000 295,000 3 15% 60,000 60,000[]4(),4(,)W e B z e 355,000 480,000 4 20% 240,000 240,000 4 20% 115,000 240,000[]5(,),4()W s e B e 480,000 720,000 5 25% 240,000 480,000 4 20% 240,000 240,000[]6(,),4(W s zB e） 720,000 940,000 6 30% 480,000 700,000 4 20% 240,000 240,000[]5(),5(,)W eB z e 940,000 960,000 5 25% 480,000 480,000 5 25% 460,000 480,000[]6(,),5()W s eBe 960,000 1,200,000 6 30% 480,000 720,000 5 25% 480,000 480,000[]7(,),5()W s eBe 1,200,000 1,440,000 7 35% 720,000 960,000 5 25% 480,000 480,000[]8(,),5()W s zBe 1,440,000 1,640,000 8 40% 960,000 1,160,00 5 25% 480,000 480,000[]7(,),6()W z eB e 1,640,000 1,680,000 7 35% 920,000 960,000 6 30% 720,000 720,000[]8(,),6()W s eB e 1,920,000 +∞ 9 45% 1,200,000 +∞ 6 30% 720,000 720,000 W s eB e 1,680,000 1,920,000 8 40% 960,000 1,200,000 6 30% 720,000 720,000[]9(,),6()

說明：分配規(guī)則使用符號W和B分別代表選擇年工資和年終獎，隨后的數(shù)字代表所使用的級次，之后的括號表示所選用的區(qū)間范圍，分別使用s、e、z代表該區(qū)間的起點、終點和交點。例如[W8 (s,z),B5 (e)]代表從第八級年工資的起點到交點z，而年終獎則保持在第五級的終點。