湖北省襄陽市田家炳中學(441004) 康士瑞

《數(shù)學課程標準》提出“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形,并能分析其中的基本元素及其關(guān)系,利用直觀來進行思考”.“幾何教學從某種意義上講,就是教會學生認識基本圖形的性質(zhì),引導學生用基本圖形去分析問題和解決問題,提高學生邏輯思維和邏輯推理能力”.這明確地要求數(shù)學教師在平時的教學中注重對基本圖形的教學,建立基本圖形的知識體系,有意識地引導學生用基本圖形來解題,形成尋求并創(chuàng)造基本圖形的解題思路,促進學生幾何思維能力和解題經(jīng)驗的發(fā)展.下面談談我的作法

一、建立基本圖形知識體系,提高識圖能力

圖1

我們知道,每一個幾何概念、定理都對應著一個基本圖形,它是概念、定理的載體,于是就建立了幾何概念、定理與基本圖形的一個對應關(guān)系:由概念、定理聯(lián)想基本圖形,也可以由基本圖形聯(lián)想概念、定理.如三角形外角的基本圖形如圖1,看到基本圖形1就想到∠1是△ABC的外角及∠1=∠A+∠B;由三角形外角就聯(lián)想到基本圖形1和它的性質(zhì)∠1=∠A+∠B,如此基本圖形的圖形語言與概念、定理的文字語言以及符號語言三向關(guān)聯(lián),養(yǎng)成三種語言同步思維的習慣,實現(xiàn)直觀與抽象的有機轉(zhuǎn)換.在平時教學中單獨講一個概念或定理及它對應的基本圖形,學生很容易理解,對稍復雜的圖形有些學生就看不出基本圖形,更別想用它的性質(zhì)來解題了,所以教學時通過變式,訓練學生在千變?nèi)f狀的圖形中尋找基本圖形,將主陣地遷移到基本圖形中,尋求問題的本質(zhì),通過觀察、思考、操作等數(shù)學活動練就一雙慧眼,提高識圖能力.如教學內(nèi)錯角定義時,先讓學生讀書中描述性的定義,看圖形進行理解,再與同學交流;教師根據(jù)學生理解的程度在黑板上畫出基本圖形(如圖2),指出內(nèi)錯角的位置是在兩直線內(nèi)部第三條直線兩側(cè),然后變式:指出圖3中的∠1、∠2是否為內(nèi)錯角,

圖2

圖3

再提煉內(nèi)錯角基本圖形的結(jié)構(gòu)特征:呈“Z”字形(如圖4),最后在圖5中找出內(nèi)錯角.

圖4

圖5

運用“基本”、“變式”、“復合”三種圖形相結(jié)合的方式進行教學,揭示了概念的本質(zhì)屬性,提高了學生感知基本圖形和分析基本圖形的能力,發(fā)展了學生直覺思維能力,有利于學生在解題中去發(fā)現(xiàn)真正起決定作用的圖形,從而提高解題效率.

在單元知識教學中用基本圖形及相應的符號語言,將零散的知識以“串”的形式組織起來,形成基本圖形體系,便于學生直觀形象地理解知識的內(nèi)涵與聯(lián)系,可以說“一張基本圖形圖,勝似千言萬語”.

在中考復習尤其是第一輪復習階段,利用基本圖形(如等腰三角形、有特殊角的直角三角形、平行四邊形等),通過圖形變換(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等)進行動態(tài)的圖形組合,建立各基本圖形之間的必然聯(lián)系,在形成模塊思想的同時,體會數(shù)學知識內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一.如在復習相似三角形時對斜交型基本圖形作如下變換:

圖6

圖7

通過平移、旋轉(zhuǎn)變換,將知識、方法、數(shù)學思想形成一個體系,讓學生不僅感到基本圖形將數(shù)學復習內(nèi)容“舊貌換新顏”,而且以全新的視角發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系,把書本讀 ,真正認識形變質(zhì)不變.設置習題應“量不在多,典型就行;題不在難,有思想就靈”

二、尋找基本圖形,破解解題思路,形成解題能力

“類型是模式的骨架,范例是模式的血肉①”.如果將尋找并構(gòu)造基本圖形作為一種解題模式,將要呈現(xiàn)的就是范例,通過對范例的分析,使學生從中領(lǐng)悟到運用基本圖形解決問題的一些方法和技巧,并將范例的解決過程化歸為將所給的圖形分解為或補充為基本圖形的過程,給學生找到一種解決問題的思路.

圖8

(1)以書中的概念、定理及其性質(zhì)的基本圖形為線索,構(gòu)建習題,使學生學會運用基本圖形解決一類問題的方法.如在學習“直角三角形中線性質(zhì)”后,出示例題:如圖8,已知△ABC中,BE、CF是高,M、N分別為BC、EF的中點,求證:MN⊥EF.

當學生思考出現(xiàn)停滯時,可提示:由已知BE是高,圖中有什么基本圖形?它有什么性質(zhì)?點M是BC的中點又想到什么基本圖形?它的性質(zhì)又是什么?經(jīng)提醒學生馬上想到BE是高,有Rt△BEC和Rt△ABE,點M是中點,BC是斜邊,聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線這一知識點,于是,連接ME,有同理,連接MF,則所以FM=EM,得到等腰△EFM,在等腰三角形這個基本圖形中,聯(lián)想三線合一的性質(zhì):N是EF的中點,所以MN是高線,即MN⊥EF.象這樣由題目的已知條件想相應的基本圖形和它的性質(zhì),然后用基本圖形的性質(zhì)進行推理或計算,當圖中的基本圖形殘缺時應補全圖形,構(gòu)造完整的基本圖形進行推理或計算,引領(lǐng)學生的思維進行有序地思考,減少過程中的旁逸,使解題思路產(chǎn)生在學生的最近發(fā)展區(qū),為尋找解題的突破口提供線索.這種解題方法,學生容易接受,也愿意參與到課堂教學中來,只有被學生理解的方法,使用時才會得心應手.

圖9

圖10

(2)以例習題常見的圖形為基本圖形,利用它的性質(zhì)去解決其它題目,能抓住問題的本質(zhì),提高解題效率.書中有一些例習題中的圖形,雖不是概念、定理及推論的基本圖形,而是由基本圖形組合得到的,由于它們在解題中用的較多是研究復雜問題的基礎(chǔ),也相當于基本圖形.如學完“三角形外角”后的例題:如圖11,線段AD、BC相交于點P,連接BC、AD,問:∠A+∠B與∠C+∠D相等?為什么?

圖11

圖12

圖13

一些同學發(fā)現(xiàn)這個圖形是由兩個三角形的基本圖形疊加而成,如圖12,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知:∠A+∠B+∠APB=180°;∠C+ ∠D+∠CPD=180°,由題目條件:線段AD、BC相交于點P,聯(lián)想它的基本圖形及性質(zhì):有兩對對頂角相等:∠APB= ∠CPD,∠APC= ∠BPD,所以∠A+∠B=∠C+∠D.

另一些同學注意到這個圖形是由兩個三角形外角的基本圖形疊加而成,如圖13,∠BPD是△APB的一個外角,有∠BPD=∠A+∠B,∠BPD也是△CPD的一個外角,有 ∠BPD= ∠C+∠D,因為∠BPD= ∠BPD,所以∠A+∠B=∠C+∠D.

像這種有一對對頂角的兩個三角形,我們稱它為”8字形”或”對頂三角形”,也可以作為基本圖形.直接用它的結(jié)論:如果兩個三角形有一個角是對頂角,那么其它兩個角的和相等.在今后解幾何題時,若能從復雜的圖形中找出對頂三角形并用它的結(jié)論求解,往往事半功倍.請同學們試一試下面兩組題

1、如圖 14,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠1= ∠2,求:∠AFC的度數(shù)

圖14

圖15

2、已知:如圖16,AD與BC相交于P,AF為∠BAD的平分線,CF為∠BCD的平分線.探求:∠F與∠B、∠D之間的關(guān)系?

圖16

圖17

圖18

練習1是我們經(jīng)常會遇到的求兩條線段所在直線的夾角,這類問題對相當一部分學生有難度,但當有些同學說出∠1、∠2、∠ABC和∠AFC,都在8字形圖(如圖15)中時他們認識到尋找基本圖形是解題的首選,獲得的解題經(jīng)驗是:找出“隱”在復雜圖形中的基本圖形就架起了已知條件和結(jié)論之間聯(lián)系的橋梁,快速凸顯解題突破口,促進有效地解題.練習2要找的∠F、∠B、∠D三個角好象沒有關(guān)聯(lián),又沒有代換的條件,兩條角平分線也發(fā)揮不了作用,所以對初學者來說難度較大.基本圖形又如草里珠令人視而不見,經(jīng)過一番腦風暴后學生發(fā)現(xiàn)題中有三個8字形,篩選出與∠F有關(guān)的如圖17、如圖18,問題得解:∠BAF+∠B=∠F+∠BCF,∠D+∠FCD=∠F+∠FAD,兩式相加:∠B+∠D=2∠F.

這種設計是強化學生運用基本圖形的意識,促使并提醒學生在解題過程中要不斷控制和調(diào)整自己的思路,堅定地沿著尋找基本圖形的方向展開和延伸.最后給出思考練習

3、如圖19,求:∠A+∠B+∠C+∠D,+∠E的度數(shù).

4、如圖20,求:∠A+∠B+∠C+∠D,+∠E的度數(shù).

圖19

圖20

本組練習省略了8字形基本圖形的關(guān)鍵部分,模糊了基本圖形的輪廓.但是學生只要能抓住該基本圖形的特征,通過添加輔助線CD,讓基本圖形顯現(xiàn)出來,再利用三角形內(nèi)角和定理,順利解決問題.

設計這兩組題是讓學生在新的情境中不斷體驗用基本圖形解題的明快,明確解題流程,形成自己的解題經(jīng)驗,使學生的思維能力在不知不覺中得到提升、發(fā)展與鞏固.

典型基本圖形廣泛存在于各種不同的背景之下,根據(jù)不同的背景,以基本圖形為線索構(gòu)建習題鏈接,展示和體現(xiàn)“運用已積累的知識和經(jīng)驗解決問題”這一策略.僅以全等三角形中的一例來說明8字形基本圖的運用.

5、如圖21,點A在DE上,點F在AB上,AC=CE,∠1=∠2=∠3.找出圖中與DE相等的線段.

圖21

圖22

此題很容易將∠2= ∠3轉(zhuǎn)化為∠ACB= ∠DCE,但∠1= ∠2如何應用是一個難點,有部分學生會放棄,如能發(fā)現(xiàn)8字形圖,如圖22,則有∠B= ∠D.從而△ABC△CDE(AAS),所以DE=BC.

在平時課堂教學中通過“滾雪球”的方式對每一個基本圖形進行“學習基本圖形-初步運用基本圖形-反復運用基本圖形”來解題,使基本圖形和它的運用反復在學生頭腦中呈現(xiàn),形成用基本圖形解題的策略與意識,實現(xiàn)知識的生成和模塊的突破.可將復雜問題簡單化、方向化,提高思維的深刻性、靈活性.

(3)由實際生活中產(chǎn)生,經(jīng)常在習題、考題中出現(xiàn)的圖形,提煉為基本圖形,如“將軍飲馬問題”,實質(zhì)是利用軸對稱將“線段和最短”問題轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短,因此只要符合一條直線同側(cè)有兩個點求線段和最小,都可以用這個知識點來思考,實際也是一種模型化的思考方式.如2010年淮安中考試題:(1)觀察發(fā)現(xiàn):如圖23,點A、B在直線l同側(cè),在直線l上找一點P使AP+BP的值最小.再如圖24,在等邊△ABC中,AB=2,點E是AB的中點,AD是高,在AD上找一點P使AP+PE的值最小.(2)實踐運用:如圖25,已知⊙O直徑CD為4,弧AD的度數(shù)是60°,點B是弧AD的中點,在直徑CD上找一點P,使BP+AP的值最小并求這個最小值.(3)拓展延伸:如圖26,在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P,使∠APB=∠APD.

圖23

圖24

圖25

圖26

本考題先再現(xiàn)了課本的原形,又拓展到等邊三角形、圓、四邊形,旨在考察學生提取基本圖形,建立基本圖形解決實際問題的能力.同時也指出在平時教學中讓學生經(jīng)歷基本圖形的觀察、構(gòu)造、變形,在不同的環(huán)境里不斷地讓學生體味方法的重要,體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學思想方法和思維方式,有助于積累、綜合運用基本圖形解決問題的數(shù)學活動經(jīng)驗,發(fā)展思維能力和創(chuàng)新意思.

三、運用基本圖形破解中考壓軸題,體會用基本圖形解題的優(yōu)越性

圖27

基本圖形具有廣闊的拓展空間,在歷年的中考試題中根植于基本圖形的試題屢見不鮮,題型囊括了選擇、填空和解答題,它們像將軍一樣靜靜地守衛(wèi)在把關(guān)題的崗位上,肩負著為高一級學校選拔優(yōu)秀人才的使命.如2014年廣州中考第25題:如圖 27,梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,點E為線段CD上一動點(不與點C重合),△BCE關(guān)于BE的軸對稱圖形為△BEF,連接CF,設CE=x,△BCF的面積為S1,△CEF的面積為S2.

(1)當點F落在梯形ABCD的中位線上時,求x的值;

(2)試用x表示S2:S1,并寫出x的取值范圍;

(3)當△BEF的外接圓與AD相切時,求S2:S1的值.

本題題設有兩個基本圖形一是直角梯形可由已知求面積,另一個是軸對稱圖形:有兩個全等的直角三角形,Rt△EBCRt△EFB;在這兩個基本圖形中又隱含了多個其它基本圖形,一旦發(fā)現(xiàn)就可以實現(xiàn)基本圖形間的整合和轉(zhuǎn)化.有等腰三角形△EFC與△BFC:EF=EC=x,BF=BC=4,有角平分線:BE是∠FEC和∠FBC的平分線,也有線段的垂直平分線:BE是FC的中垂線,MN是BC的中垂線.設FC與BE相交于G,有S△EFG=S△EGC,S△FGB=S△GBC這兩個基本圖形疊加整合出母子三角形的基本圖形,Rt△EGC∽Rt△GBC∽Rt△ECB,審題至此第二問S2:S1=x2;16,已經(jīng)完成.

第1和3兩問則要另行畫圖,通過折紙操作畫出圖28、29.

圖28

圖29

第1問,方法1:因MN是直角梯形中位線得到MN是BC的中垂線,有FC=FB,所以BF=FC=BC=4,得到△FBC是等邊三角形這一基本圖形,由BE是∠FBC的平分線知∠EBC=30°,在Rt△EBC中求出x的值,從這種行云流水般的分析可知找出MN是BC的中垂線是解題的關(guān)鍵,也是思維的切入點.

方法2:由折疊知EB平分∠CEF,由MN是梯形ABCD的中位線知AB//MN//CD,聯(lián)想“角平分線+平行線必有等腰三角形”這一基本圖形,有CE=EF=FH=x,進而HN是△ECB的中位線,再由直角梯形ABCD中,MN是中位線,MN⊥BC,在Rt△FBN中,由勾股定理得一元二次方程,解方程求出x的值.

圖30

第 3問,因△BEF是直角三角形,斜邊BE的中點O就是外切圓的圓心,BE是直徑,點C在 圓 上,在 Rt△BEC中,點O也在梯形的中位線MN上,得ON是△BEC的中位線,AD是⊙O的切線,OF⊥AD,因為MN//CD,所以∠D= ∠OMF,過A作AP⊥CD,得到相似三角形基本圖形的變式圖形所以AP:AD=OF:OM,由于OF=OE,得到關(guān)于x的一元二次方程,求出x,問題得解.

上述分析完全是學生庖丁解牛般的思維發(fā)散,重現(xiàn)平時學習熟悉的一個個核心基本圖形,在較短時間內(nèi)抓住問題的本質(zhì),既防止無關(guān)信息的負面干擾,又以“塊到塊”的思維模式代替“點到點”的思維模式,從方法論的高度提高思維的敏捷性,開闊了解壓軸題的思維,豐富了學生解壓軸題的創(chuàng)造力,做到“胸有成圖”其樂無窮.

《課程標準》、中考試題都引領(lǐng)我們平時的教學,一方面重視基本圖形的教學,讓基本圖形的尋找與運用成為發(fā)展學生思維能力和創(chuàng)新意識的沃土;另一方面體現(xiàn)教育新理念,通過教師精心設計和組織以基本圖形為鏈接的習題,激發(fā)學生的思考,挖掘?qū)W生的潛能,讓學生充分認識到積累、運用基本圖形蘊藏著無盡的寶藏,從而重視基本圖形,向基本圖形“問道”,從基本圖形“借力”,探尋解題規(guī)律、創(chuàng)新解題方法、優(yōu)化解題策略,建立知識體系,體驗數(shù)學知識內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一等好的學習習慣,使學生具有良好的思維品質(zhì)與素養(yǎng).如此,創(chuàng)造性思維品質(zhì)的形成就成為水到渠成的自然之勢和瓜熟蒂落的必然之果.