李秀

【摘要】本文在考慮爆破震動的基礎(chǔ)之上，運用結(jié)構(gòu)震動方面的最新理論，討論了結(jié)構(gòu)在爆破震動激勵下的響應(yīng)情況，并據(jù)此提出用數(shù)值求解系統(tǒng)頻響函數(shù)（傳遞函數(shù)）的方法來求解結(jié)構(gòu)在爆破震動激勵下的響應(yīng)。由于結(jié)構(gòu)震動理論是以諧激勵為基礎(chǔ)的，而爆破震動并不是簡單的諧激勵，因而本文先介紹爆破震動的傅氏變換，以便于分解爆破震動中的諧成份，然后重點介紹了用模態(tài)理論求解結(jié)構(gòu)對爆破震動響應(yīng)的問題，提出了用頻響函數(shù)（傳遞函數(shù)）來求解系統(tǒng)響應(yīng)的方法。文中的結(jié)構(gòu)響應(yīng)模型能夠適應(yīng)于一部分結(jié)構(gòu)抗爆破震動的情況，比如房屋建筑、煙囪水塔以及大壩等一系列地上結(jié)構(gòu)。然而其實際可模擬性還需要檢驗。

【中圖分類號】TU311.3 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）13-0288-03

前言

結(jié)構(gòu)對爆破震動響應(yīng)的實質(zhì)是結(jié)構(gòu)在爆破過程當(dāng)中產(chǎn)生的沖擊波的激勵下發(fā)生的物理狀態(tài)的變化。而一般震動問題是由激勵（輸入）、震動結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）和響應(yīng)（輸出）三部分組成。

對于結(jié)構(gòu)的響應(yīng)問題來說，爆破震動速度一般可以用儀器測定，而所要監(jiān)測的結(jié)構(gòu)也是己知的。所以結(jié)構(gòu)對爆破震動的響應(yīng)問題屬于己知激勵和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，求系統(tǒng)響應(yīng)的一類震動問題。求解這一類問題就是根據(jù)已知的載荷條件和問題的實際情況對震動結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化而得到可以求解的數(shù)學(xué)模型，然后通過一定的數(shù)學(xué)方法求解出震動結(jié)構(gòu)上我們所關(guān)心的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等。所以要得到結(jié)構(gòu)對爆破震動的響應(yīng)，除需要知道爆破震動激勵之外，還需要知道結(jié)構(gòu)本身的自振特性，如結(jié)構(gòu)的自由度、結(jié)構(gòu)剛度以及結(jié)構(gòu)的自振頻率和模態(tài)矢量等。

對于爆破震動激勵，可以是質(zhì)點震動速度、加速度、位移等，也可以是爆破激振力。在現(xiàn)階段的情況下，我們得到的往往是爆破震動波在時間域上的波形，而不知道其頻率成份，這就要求對震動波形進(jìn)行變換以得到其頻譜特性。

一、爆破震動激勵

在通常情況下，我們所測定的或預(yù)測的爆破震動是震動質(zhì)點的震動速度或加速度。而結(jié)構(gòu)受爆破震動影響的主要因素是震動波的質(zhì)點震動速度、頻率以及作用時間等。質(zhì)點震動速度和作用時間在實際當(dāng)中比較容易得到，關(guān)鍵是爆破震動波的頻率特性比較復(fù)雜，因為爆破地震波是一種含有多種頻率成分的隨機震動波。為了掌握地震波的頻率、幅值、相位等參數(shù)，進(jìn)而分析爆破地震波在介質(zhì)中的傳播和衰減情況，需要了解其各頻率成分的幅值分布和能量分布情況。因此有必要對采用的震動波進(jìn)行頻譜分析，找出其頻率成分及其相應(yīng)的頻域參數(shù)。

在一般求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的文獻(xiàn)中，大多是假設(shè)結(jié)構(gòu)受到簡諧激勵的，但是對于爆破震動激勵F（t）而言，往往并不是簡單的震動—諧和運動，而是有幾種頻率同時存在的周期性震動或非周期性震動，因此不能用一項正弦或余弦函數(shù)來描述他們的運動規(guī)律。但是我們可以用傅立葉譜來對之進(jìn)行爆破震動分析，先對一般意義上的周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換，由級數(shù)知識可以知道，如果周期震動的時間函數(shù)為f（t），其周期為T，則函數(shù)f（t）的傅立葉級數(shù)展開式為：

（1）

式中ω為震動系統(tǒng)的圓頻率。由上式可知用傅氏級數(shù)來表示一個周期函數(shù)，其關(guān)鍵在于求出傅氏系數(shù)A0、An、Bn。雖然爆破震動效應(yīng)引起的質(zhì)點運動過程是一個非常復(fù)雜的非周期運動過程，它的震動頻率并不離散，而是由0到∞之間連續(xù)變化。因此就不能用上面的方法來得到爆破震動的頻譜特性，但我們可以把震動波形分解成為非常小的小段來確定它們的震動參數(shù)，然后再用傅立葉積分的形式來表示。

化簡后可得：

（2）

根據(jù)狄義赫利條件，函數(shù)f（t）的絕對值的積分存在，當(dāng)t→∞時：，現(xiàn)在引用一個新變量，在區(qū)間（0→∞）上取等距離的值：

第n個諧和頻率與相鄰諧和頻率之間的間隔為：

則式（4-2）可簡化為：

上式用變量ω代替α，可以改寫為：

（3）

而傅立葉系數(shù)A（ω）和B（ω）為：

（4）

可以將式（4-3）變?yōu)閺?fù)數(shù)形式，根據(jù)傅立葉復(fù)數(shù)變換關(guān)系式，并由被積函數(shù)為奇函數(shù)則其在對稱區(qū)間上的積分為零的條件，可得出：

將上式代入（4-3）式，即得到爆破震動激勵的傅立葉積分的復(fù)數(shù)形式：

（5）

在上式中令，則有：

而函數(shù)F（ω）一般是復(fù)數(shù)形式，可表示為：

所以有：

將以上兩式相互比較可得：

φ（ω）稱為震動函數(shù)f（t）的傅立葉振幅譜，φ（ω）稱為震動函數(shù)f（t）的傅立葉相位譜。在計算傅立葉譜的時候，由于系統(tǒng)的阻尼作用，系統(tǒng)的受迫震動過程的持續(xù)時間總是有限的，因此在計算傅立葉系數(shù)時，只需要在震動持續(xù)時間根據(jù)精度需要選定時段求積即可。由此就可以將爆破震動激勵的頻域特性用傅立葉譜的形式表現(xiàn)出來，在爆破震動波形當(dāng)中，每一個頻率成分ωi，其對應(yīng)的震動強度為。在整個頻率范圍內(nèi)其所占的成分D（ωi）為：

二、結(jié)構(gòu)對爆破震動響應(yīng)的模態(tài)計算方法

1.基本假設(shè)與理論

對于爆破震動過程，首先假定它是一個平穩(wěn)隨機過程，即由爆破產(chǎn)生的震動激勵是有限的，這符合實際情況。對于震動系統(tǒng)來說，假定系統(tǒng)是定常穩(wěn)定的，即線性不變系統(tǒng)。所謂線性是指描述系統(tǒng)震動的微分方程為線性方程，其響應(yīng)對爆破震動激勵具有疊加性；所謂定常是指震動系統(tǒng)的動態(tài)特性（比如質(zhì)量、阻尼、剛度等）不隨時間變化，即具有頻率保持性；所謂穩(wěn)定是指系統(tǒng)對有限的激勵將產(chǎn)生一個有限的響應(yīng)，即系統(tǒng)滿足傅氏變換和拉氏變換的條件。

2.爆破隨機震動激勵下結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)

對于爆破震動來說，前面已經(jīng)介紹過，那就是其震動波具有復(fù)雜的頻率成分，并不是簡單的簡諧震動，而應(yīng)將其視為一種隨機震動形式。由于系統(tǒng)在隨機激勵下的響應(yīng)也是隨機的，而它們一般不滿足傅氏變換的條件，所以不能直接用傅氏變換得到頻響函數(shù)，因此計算在爆破震動激勵下的頻響函數(shù)，而只能采用譜密度函數(shù)來定義。

假設(shè)單自由度系統(tǒng)的隨機激勵f（t）和隨機響應(yīng)X（t）都是平穩(wěn)隨機過程，則其相關(guān)函數(shù)是時間延遲τ的與t無關(guān)的函數(shù)。

爆破震動激勵f（t）的自相關(guān)函數(shù)定義為f（t）f（t+τ）的總體平均：

（6）

它是τ的實偶函數(shù)，，且在τ=0處有最大值。

激勵f（t）與X（t）的互相關(guān)函數(shù)定義為的總體平均：

（7）

且，它是τ的實值函數(shù)。

相關(guān)函數(shù)從時域內(nèi)描述了隨機信號的特性，但在很多情況下使用描述隨機信號頻域特性的功率譜密度函數(shù)將更加方便。

（1）功率譜密度函數(shù)定義為相關(guān)函數(shù)的傅氏變換。自相關(guān)函數(shù)的傅氏變換稱之為自功率譜密度函數(shù)，簡稱自功率譜或自譜，表達(dá)式為：

（8）

互相關(guān)函數(shù)的傅氏變換稱為互功率譜密度函數(shù)，簡稱為互功率譜或互譜，表達(dá)式為：

（9）

（2）在理論上看來，一個隨機樣本函數(shù)X（t）定義在t∈（-∞～∞）上，所以X（t）不能絕對的可積，也就是說不能得到X（t）的傅氏變換。但是在實際當(dāng)中，所有的樣本函數(shù)都是有限長的，其延續(xù)時間不會達(dá)到無窮，而是在一定的范圍以內(nèi)。因此可以計算樣本函數(shù)X（t）的有限傅氏變換：

（10）

這樣在有限傅氏變換下，就可以討論隨機過程樣本函數(shù)的傅氏譜，進(jìn)而得到有限傅氏變換表示的功率譜密度函數(shù)。設(shè)平穩(wěn)隨機激勵與隨機樣本函數(shù)f（t）、X（t）的有限傅氏變換分別為FT（ω）、XT（ω），則針對這一樣本函數(shù)的自譜與互譜定義為：

（11）

通過對這兩個隨機過程樣本函數(shù)的互譜和自譜的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計平均），并令T→∞，可得到與式（4-8），（4-9）同樣精確的功率譜密度函數(shù)：

（12）

由上式可知功率譜密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：

自譜為實偶函數(shù)，互譜為復(fù)函數(shù)。

（3）功率譜密度還可用帕賽瓦爾定理定義，帕賽瓦爾定理為：信號按時域計算的平均功率等于按頻域計算的平均功率。平穩(wěn)隨機過程中一個樣本函數(shù)x（t）的平均功率為：

（13）

此公式的意義為用Sxx（f，k）曲線與頻率軸之間的面積表示信號的平均功率。單位頻率上的平均功率即為功率譜密度函數(shù)Sxx（f，k），k代表樣本號。

同理，樣本函數(shù)x（t），f（t）的互功率譜由下式定義：

（14）

如果是各態(tài)歷經(jīng)過程，上述Sxx（f，k）、Sfx（f，k）就是隨機過程的自譜與互譜。

如果是一般平穩(wěn)隨機過程，則尚需對式（4-13），（4-14）做集合平均：

這種定義方式適用于模擬濾波器求功率譜密度函數(shù)，它與另外兩種方式不同。第一種定義給出了功率譜密度函數(shù)與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，二者可以通過傅氏變換互相求出，第二種定義是數(shù)值信號處理的重要基礎(chǔ)，在應(yīng)用中最為重要。

以上給出了功率譜密度函數(shù)的意義，下面就由功率譜密度函數(shù)來求頻響函數(shù)。設(shè)多自由度震動系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)隨機激勵f（t）作用下的穩(wěn)態(tài)隨機響應(yīng)為x（t）均為平穩(wěn)隨機過程。對其樣本函數(shù)作有限傅氏變換，分別記為FT（ω）、XT（ω），

則由頻響函數(shù)定義有：

（15）

兩端均右乘，取時間平均及集合平均，又由于H（ω）與平均無關(guān)，則有：

（16）

即為：

（17）

（18）

由此便得到譜密度函數(shù)下結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。

自此就求得了震動系統(tǒng)在爆破震動下的頻響函數(shù)，似乎就可以用來求結(jié)構(gòu)的響應(yīng)了，然而在實際工程當(dāng)中，由傅氏變換來求解系統(tǒng)頻響函數(shù)條件將高，因而人們采用了另一種變換方法一拉氏變換。

3.傳遞函數(shù)

在上面的計算當(dāng)中，對震動激勵與結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號都是采用傅氏變換來進(jìn)行的。而在實際工程運用當(dāng)中，常用拉普拉斯變換來求系統(tǒng)的頻響函數(shù)，因為震動激勵和系統(tǒng)響應(yīng)滿足拉氏變換的條件比傅氏變換的要低得多，并且當(dāng)t≥0時，在虛數(shù)軸（頻率軸）上的拉氏變換就是傅氏變換，具有單自由度的粘性阻尼系統(tǒng)的震動微分方程：

（19）

如果初始條件為零，即對上述方程做拉氏變換，則有：

（20）

可寫成： （21）

或者： （22）

式中： （23）

稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

（24）

稱為系統(tǒng)阻抗。

如果s=jω，上述過程將完全是傅氏變換過程，得到的傳遞函數(shù)即為頻響函數(shù)，即：

（25）

這就是傳遞函數(shù)與頻響函數(shù)的關(guān)系。

如果初始條件不為零，式（3.5-2）將包含初始條件，即X（s）中包含初始條件引起的自由響應(yīng)。但由于阻尼的存在，這一自由響應(yīng)將很快消失，X（s）將只剩下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，所要求的傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)也是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)。故無論初始條件是否為零，傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)的形式都如式（24）、（25），所示。

4.爆破震動激勵下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)

由頻響函數(shù)的定義可知，如果能求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)和系統(tǒng)所受到的震動激勵，那么就可以據(jù)此來求得震動系統(tǒng)的響應(yīng)情況了。用頻響函數(shù)（傳遞函數(shù)）來計算結(jié)構(gòu)對爆破地震動的響應(yīng)可用以下的步驟：

1）預(yù)測結(jié)構(gòu)所會受到的爆破震動激勵大小，并對之作傅氏（拉氏）變換，得到震動的頻譜特性；

2）將防震結(jié)構(gòu)離散，用有限元的方法計算出結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量及阻尼矩陣，得到結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)（傳遞函數(shù)）；

3）用頻響函數(shù)和震動激勵得到整個結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

在爆破震動波可以經(jīng)過傅氏變換找出其頻率成份，對應(yīng)于每一諧分量，其對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)為，由前面的知識可得在其激勵之下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)為：

（26）

其中Xi為系統(tǒng)在頻率為ωi的諧激勵下t時刻的位移響應(yīng)。則系統(tǒng)在t

時刻總的響應(yīng)為：

（27）

對于傳遞函數(shù)來說，其計算方法大致相同。根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，式（22）

給出了輸入激勵的拉氏變換、輸出響應(yīng)的拉氏變換與傳遞函數(shù)的關(guān)系。將式（22）展開得：

（28）

則對于任意物理坐標(biāo)位移響應(yīng)xi（t）的拉氏變換均可表示為：

（29）

它表明，該系統(tǒng)第i個物理坐標(biāo)位移響應(yīng)的拉氏變換等于各作用力的拉氏變換與其對應(yīng)的傳遞函數(shù)的代數(shù)和。由此就可以求得結(jié)構(gòu)各個質(zhì)點的震動響應(yīng)。

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