陸有海

一、激活方形周長(zhǎng)的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，引出圓形周長(zhǎng)的測(cè)量問(wèn)題

1．什么是周長(zhǎng)？

一周的長(zhǎng)度。

2．圖形的周長(zhǎng)指什么？

某一圖形一周的線段長(zhǎng)度的總和。長(zhǎng)方形（正方形）的周長(zhǎng)是指四條邊的長(zhǎng)度的總和（兩組邊的長(zhǎng)度的總和）；三角形的周長(zhǎng)是指三條邊的長(zhǎng)度的總和。

3．這些圖形的周長(zhǎng)如何測(cè)量？

長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)：若知道 a、b、c、d，則可算 l=a+b+c+d；若不知道 a、b、c、d，則一定不可算；但是，a、b、c、d是線段，可以通過(guò)測(cè)量把不知道變成知道，也可以直接測(cè)量“繞一周的繩子長(zhǎng)度”。

三角形的周長(zhǎng)：若知道 a、b、c，則可算 λ=a+b+c；若不知道 a、b、c，則一定不可算；但是，a、b、c 是線段，可以通過(guò)測(cè)量把不知道變成知道，也可以直接測(cè)量“繞一周的繩子長(zhǎng)度”。

表1：借助方形構(gòu)造需要研究的圖形知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

二、經(jīng)驗(yàn)引領(lǐng)探索方向，邏輯推動(dòng)方法創(chuàng)新

圖形的周長(zhǎng)可以直接通過(guò)繞繩子的方法直接測(cè)量獲得結(jié)果；根據(jù)圖形的特征可以通過(guò)測(cè)量相應(yīng)邊的長(zhǎng)度（圖形的特征量數(shù)）并通過(guò)計(jì)算獲得結(jié)果；由給定的相關(guān)邊的長(zhǎng)度（圖形的特征量數(shù)）通過(guò)計(jì)算獲得結(jié)果。

這樣，到目前為止，圖形周長(zhǎng)問(wèn)題解決的策略性途徑應(yīng)該有三條：全量途徑、半量半算途徑、全算途徑。顯然，這三條途徑已知條件逐一增加，數(shù)學(xué)的抽象性逐漸增強(qiáng)，數(shù)學(xué)化水平越來(lái)越高，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)不斷地豐富，數(shù)學(xué)水平不斷地得到提升。

第一種解決圓周長(zhǎng)問(wèn)題的思想策略——生活化的測(cè)量方法（度量）

如果不知道圓的周長(zhǎng)，那么我們有什么解決問(wèn)題的策略呢？顯然，不知道圓的周長(zhǎng)，我們可以量嗎？因此，我們必須想方設(shè)法把曲的圓周化為直的線段（曲線段化為直線段），以適應(yīng)度量線段長(zhǎng)度的直尺，或者想方設(shè)法把“直尺”化為“曲尺”，以適應(yīng)需要度量長(zhǎng)度的曲的圓周。

因此，我們有了解決圓周長(zhǎng)問(wèn)題的第一種思想策略：曲化直或直化曲。

我們的教學(xué)就需要圍繞“如何化曲為直？”“如何化直為曲？”而展開(kāi)。顯然，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程而不是學(xué)習(xí)的目的，也不是圓周長(zhǎng)問(wèn)題的學(xué)習(xí)終點(diǎn)。因?yàn)?，我們必然還會(huì)碰上無(wú)法進(jìn)行“直曲”互化的圓周長(zhǎng)的測(cè)量問(wèn)題。

假設(shè)生活中有一個(gè)大的圓形物體，我們需要把它的圓形周長(zhǎng)給測(cè)量出來(lái)，但又無(wú)法通過(guò)“直曲互化”直接測(cè)量圓形周長(zhǎng)。這時(shí)，我們必須充分利用原有的圖形周長(zhǎng)測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，借助數(shù)學(xué)的聯(lián)想與類比，提出需要去嘗試探索的可以求解圓形周長(zhǎng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，即通過(guò)可以測(cè)量的圖形特征量數(shù)，是否可以推算圓形的周長(zhǎng)呢？（經(jīng)驗(yàn)引領(lǐng)探索方向）

第二種解決圓周長(zhǎng)問(wèn)題的思想策略——數(shù)學(xué)化的測(cè)量方法（計(jì)算）

如果圓形的周長(zhǎng)不知道，那么，我們是不是可以直接（或者方便地）測(cè)量圓形的直徑或者半徑呢？如果圓的直徑或半徑能夠方便地測(cè)量，那么，我們是不是由此可以方便地獲得圓形的周長(zhǎng)呢？

顯然，這是在方形周長(zhǎng)問(wèn)題的解決而獲得的經(jīng)驗(yàn)引領(lǐng)下，給了我們確定圓形周長(zhǎng)問(wèn)題的探索研究方向。從而也有了研究的對(duì)象：圓形周長(zhǎng)與圓形直徑（或半徑）之間的關(guān)系，也就是，我們有了去關(guān)注“圓形周長(zhǎng)”與“圓形直徑”的動(dòng)因。

圓的周長(zhǎng)與圓的直徑之間究竟有什么關(guān)系？回答這個(gè)問(wèn)題，（邏輯推動(dòng)方法創(chuàng)新）有兩種思維方式：

一是關(guān)注一個(gè)圓的周長(zhǎng)與直徑，觀察并發(fā)現(xiàn)：1個(gè)直徑與一個(gè)周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？2個(gè)直徑與一個(gè)周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？3個(gè)直徑與一個(gè)周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？4個(gè)直徑與一個(gè)周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？從而提出：一個(gè)圓的周長(zhǎng)究竟有幾個(gè)直徑的長(zhǎng)度呢？因此，就會(huì)去做包含除運(yùn)算“c÷d=”，從而獲得“c÷d=常數(shù)”的結(jié)論。

二是借助科學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)規(guī)范而科學(xué)的方法來(lái)研究圓的周長(zhǎng)與直徑之間的關(guān)系。研究的基本過(guò)程，總是：從已知活動(dòng)中偶遇未知問(wèn)題，然后，讓我們回到已知活動(dòng)中探索發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律，為解決未知問(wèn)題提供有效的解決方法。這種過(guò)程就是科學(xué)研究的一般過(guò)程，這種過(guò)程就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要獲得一些特征量數(shù)，并從這些特征量數(shù)中感知、發(fā)現(xiàn)與證實(shí)特征量數(shù)之間的關(guān)系。

因此，我們引導(dǎo)學(xué)生去測(cè)量各自不同的生活圓形的圓形周長(zhǎng)與直徑。

表2：不同圓形的周長(zhǎng)與直徑的測(cè)量結(jié)果

周長(zhǎng)與直徑之間的關(guān)系需要觀察發(fā)現(xiàn)，觀察發(fā)現(xiàn)的能力基于人的數(shù)感與運(yùn)算能力。通過(guò)5個(gè)具體的圓形周長(zhǎng)與直徑的特征量數(shù)的觀察，我們可以獲得周長(zhǎng)與直徑的大致關(guān)系。

這樣自然就形成了一個(gè)問(wèn)題：周長(zhǎng)是直徑的多少倍？

這樣我們就會(huì)對(duì)周長(zhǎng)與直徑進(jìn)行除法運(yùn)算，從而獲得“c÷d=常數(shù)”的結(jié)論。

這里的“常數(shù)”是個(gè)無(wú)理數(shù)，而且測(cè)量的周長(zhǎng)與直徑也都是近似數(shù)，通過(guò)學(xué)生自己的測(cè)量與計(jì)算很難與“π”保持高度的一致。因此，在教學(xué)過(guò)程中，我們還需要允許存在認(rèn)知過(guò)程中的盲區(qū)，讓教師直接給出圓周長(zhǎng)與直徑之間的除法運(yùn)算的正確結(jié)果（c÷d=π）。

有了“c÷d=常數(shù)”的確定關(guān)系，若有 d，則有 c=dπ；若沒(méi)有，則只要測(cè)量直徑d（直線段）就行了，這樣把測(cè)量曲線長(zhǎng)度的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為測(cè)量直線段長(zhǎng)度的問(wèn)題了。

因此，如何測(cè)量圓形的直徑成為圓形周長(zhǎng)測(cè)量的基本問(wèn)題，同時(shí)，也是圓形的認(rèn)識(shí)教學(xué)活動(dòng)中的重要問(wèn)題。

三、重復(fù)訓(xùn)練鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，概括總結(jié)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

探索發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用活動(dòng)，兩者的目的與功能都不一樣。數(shù)學(xué)知識(shí)的探索發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的目的是獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造，它的作用是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力；數(shù)學(xué)知識(shí)的重復(fù)訓(xùn)練活動(dòng)的目的是鞏固理解數(shù)學(xué)知識(shí)，它的作用是進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與鞏固。

重復(fù)訓(xùn)練的進(jìn)程一般經(jīng)歷形式化應(yīng)用、實(shí)踐性應(yīng)用到發(fā)展性應(yīng)用的過(guò)程。形式化應(yīng)用主要進(jìn)一步理解與鞏固直徑與周長(zhǎng)之間的關(guān)系；實(shí)踐性應(yīng)用主要進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決生活問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；發(fā)展性應(yīng)用主要進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，并為今后的學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)。

1．形式化訓(xùn)練。

說(shuō)一說(shuō)周長(zhǎng)的計(jì)算公式：c=dπ，其中，c表示圓的周長(zhǎng)，d表示圓的直徑。

用一用周長(zhǎng)的計(jì)算公式：已知圓的直徑d或半徑r，求圓的周長(zhǎng)。

2．實(shí)踐性訓(xùn)練。

測(cè)量給定圖形的直徑（或半徑）長(zhǎng)度，計(jì)算圓的周長(zhǎng)；

測(cè)量給定圓形事物（柱子等）的周長(zhǎng)，計(jì)算圓的直徑。

解決生活中圓形建筑與圓形裝飾的用料長(zhǎng)度。

3．發(fā)展性訓(xùn)練。

說(shuō)一說(shuō)圓形周長(zhǎng)計(jì)算公式是怎樣的（結(jié)果性知識(shí)）？說(shuō)一說(shuō)圓形周長(zhǎng)計(jì)算公式是如何獲得的（過(guò)程性知識(shí)）？說(shuō)一說(shuō)獲得圓形周長(zhǎng)計(jì)算公式的體會(huì)是什么（經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)）？說(shuō)一說(shuō)你還知道哪些與圓有關(guān)的知識(shí)（歷史性知識(shí)）？