彭榮榮，鞏長芬，王國威，秦梅寶

1 引言

冷連軋機(jī)的振動問題一直頗受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，加之隨著當(dāng)代生產(chǎn)技術(shù)水平的不斷提高，鋼鐵行業(yè)對軋制速度、產(chǎn)品質(zhì)量和精度等的要求也隨之提高，而冷連軋機(jī)輥系的振動會造成帶材質(zhì)量、精度等下降，嚴(yán)重時可導(dǎo)致帶材斷裂、設(shè)備損壞、次品積累，給企業(yè)造成困擾和經(jīng)濟(jì)損失[1-3]。

海內(nèi)外學(xué)者對冷連軋機(jī)的振動形式和機(jī)理從各種角度、不同影響因素進(jìn)行了分析探究，建立了多種振動模型，對抑制軋機(jī)振動取得了很好成果。文獻(xiàn)[4-5]建立了受前后張力和軋制速度影響的軋機(jī)垂直振動模型，分析了帶鋼動態(tài)運(yùn)動的穩(wěn)定性，提出了相應(yīng)的抑制措施；文獻(xiàn)[6]探討了摩擦因數(shù)對軋機(jī)垂直振動的影響，得出了軋制乳化液的潤滑性能與摩擦因數(shù)之間的非線性關(guān)系；文獻(xiàn)[7-9]對四輥板帶冷軋機(jī)在輥縫變形較大情況下的振型做了詳細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)在某些特定頻率下軋機(jī)工作輥和支承輥在垂直方向上的振動幅度較大，且在這個過程中摩擦力的影響極大；近年來，研究人員對影響軋制力的種種因素進(jìn)行了深入分析，通過考慮軋輥及軋件的彈塑性變形、帶鋼厚度、張力、輥縫接觸弧長、軋制速度、潤滑等不同因素影響下的軋制力模型，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[10-13]提出了動態(tài)軋制力這一概念，其更加符合軋機(jī)實(shí)際振動過程中的動態(tài)變化。在動態(tài)軋制力的基礎(chǔ)之上，考慮了冷連軋機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)、輥系間的阻尼及非線性剛度、周期性外激力等因素，建立了基于動態(tài)軋制力的冷鏈軋機(jī)振動模型，得到了相應(yīng)的動力學(xué)方程，研究了在不同參數(shù)變化下的冷連軋機(jī)3次超諧共振和1/3亞諧共振幅頻特性，仿真分析給出了這兩種具有不同振動特性下軋機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行和發(fā)生失穩(wěn)時的參數(shù)區(qū)域，可以避免參數(shù)的選取不合理而導(dǎo)致的軋機(jī)劇烈振動。

2 軋機(jī)振動系統(tǒng)動力學(xué)建模

四輥冷連軋機(jī)的簡化模型，如圖1所示。將上支承輥等效稱成一個集中質(zhì)量塊[13]，且考慮軋機(jī)到上、下輥系以及沿軋件運(yùn)動方向的上、下兩部分振動具有高度對稱性[10]，建立了基于動態(tài)軋制力下的冷連軋機(jī)非線性振動動力學(xué)模型，如圖2所示。

圖1 四輥冷連軋機(jī)簡化模型Fig.1 The Simplified Model of Four-High Cold Rolling Mill

圖2 冷連軋機(jī)非線性振動動力學(xué)模型 Fig.2 The Nonlinear Vibration Dynamic Model of Cold Rolling Mill

圖中：m—冷連軋機(jī)工作輥的等效質(zhì)量；c—其結(jié)構(gòu)阻尼，用Duffing振子ka+kbx2表示支承輥與工作輥之間的非線性剛度[14-15]，ka，kb—靜態(tài)及動態(tài)剛度；ΔF—軋制力的動態(tài)變化部分，是關(guān)于振動位移 x的非線性函數(shù)[10]，ΔF=b1x+b2x3。b1，b2—待定常數(shù)。由圖2的力學(xué)模型可得冷連軋機(jī)動力學(xué)振動方程為：

式中：F cosωt—冷連軋機(jī)受到的周期性外激力，且令式（1）中：

式（2）為考慮軋機(jī)結(jié)構(gòu)，輥系間的非線性剛度，動態(tài)軋制力以及周期性外激力影響的冷連軋機(jī)動力學(xué)方程，是研究分析軋機(jī)振動特性的基礎(chǔ)。

3 軋機(jī)振動系統(tǒng)響應(yīng)求解

式（2）中的冷連軋機(jī)動力學(xué)方程屬于弱非線性系統(tǒng)，對其中非線性項(xiàng)同時冠以小參數(shù)ε，則式（2）可進(jìn)一步寫為：

對式（3）運(yùn)用多尺度法求解，此時引入不同尺度的時間變量，即：

對時間t的微分可利用復(fù)合函數(shù)微分公式按ε的冪次展開：

式中：Dn—偏微分算子符號，此時，關(guān)于式（3）的解可以表示為：

將式（5）代入式（3），且比較方程兩邊小參數(shù)ε的同次冪系數(shù)，整理可得：

設(shè)零次近似方程（6）的解為：

式中：A—復(fù)數(shù)形式的振動振幅；Λ—振動振幅的實(shí)數(shù)形式，且有：

將零次近似解代入式（7），整理后可得：

從上式各項(xiàng)中可以看到，含有的eiω0T0項(xiàng)可引起久期項(xiàng)，產(chǎn)生主共振，而e3iω0T0和ei（ω-2ω0）T0項(xiàng)在滿足3ω=ω0或ω=3ω0時也能產(chǎn)生久期項(xiàng)，從而產(chǎn)生超諧和亞諧共振。下面主要討論在動態(tài)軋制力下冷連軋機(jī)振動系統(tǒng)發(fā)生3次超諧共振和1/3次亞諧共振的情形。

3.1 超諧共振幅頻特性方程

設(shè)ω0與3ω的差別為ε的同階小量，即3ω=ω0+εσ，σ為調(diào)諧參數(shù)，為了消除式（10）中的久期項(xiàng)，必須使：

令 A＝a（t）eiθ（t）/2，其中 a（t）和 θ（t）是均為時間變量 t的實(shí)函數(shù)，將其代入式（11），整理后分離方程的實(shí)部、虛部，便可得到冷連軋機(jī)振動系統(tǒng)在極坐標(biāo)下的平均方程：

式中：γ1=σT1-θ，對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有a˙＝θ˙=0，消去式（12）中的 θ可得動態(tài)軋制力下冷軋機(jī)系統(tǒng)超諧振動的幅頻特性響應(yīng)方程為：

3.2 亞諧共振幅頻特性方程

設(shè)ω與3ω0的差別為ε的同階小量，即ω＝3ω0+εσ，σ為調(diào)諧參數(shù)，為了消除式（10）中的久期項(xiàng)，必須使：

令 A=a（t）eiθ（t）/2，其中 a（t）和 θ（t）是皆為 t的實(shí)函數(shù)，將其代入式（14），并分離實(shí)部與虛部，可得到系統(tǒng)極坐標(biāo)下的平均方程。

式（5）中 γ2=σT1-3θ，對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有a˙＝θ˙=0，消去式（15）中的θ可得動態(tài)軋制力下冷軋機(jī)系統(tǒng)亞諧振動的幅頻特性響應(yīng)方程為：

4 超亞諧共振特性分析

以某鋼廠1780型冷連軋機(jī)的軋制參數(shù)為例，取如下近似值進(jìn)行仿真計算，分別為：α=2.320，μ=1.225，ω=1.21，F(xiàn)=0.832。

不同軋制參數(shù)變化時的冷連軋機(jī)超諧共振幅頻特性曲線，如圖3～圖5所示。由圖3可知，隨著F的增大，冷連軋機(jī)的振動區(qū)域、振動幅值變化較為微弱，可知外激力變化對系統(tǒng)的影響較小，這是由于動態(tài)軋制力適時調(diào)節(jié)，使軋機(jī)系統(tǒng)受到的外激力始終保持合適量值，從而避免軋機(jī)的劇烈振動，從而驗(yàn)證了動態(tài)軋制力這一概念的有效性。圖4中，隨著線性阻尼μ的增大，系統(tǒng)的振動幅值不斷減小，同時振動區(qū)域也不斷縮小，直至系統(tǒng)無振動現(xiàn)象發(fā)生，獲得平穩(wěn)運(yùn)行，利于生產(chǎn)出高質(zhì)量、高精度軋制產(chǎn)品。描繪了非線性剛度變化下的系統(tǒng)的超諧共振現(xiàn)象，如圖6所示。隨著參數(shù)的增大，共振區(qū)域和振幅同時增大，可見，動態(tài)剛度系數(shù)與動態(tài)軋制力組成的非線性參數(shù)項(xiàng)的波動對軋機(jī)系統(tǒng)的振動影響較大，在實(shí)際軋制過程中，要注意控制好這兩項(xiàng)參數(shù)的量值，以保證冷連軋機(jī)的平穩(wěn)運(yùn)行。

圖3 外激力變化下的超諧共振幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 The Curve of Super-Harmonic Vibration Amplitude-Frequency with Disturb Force

圖4 線性阻尼變化下的超諧共振幅頻響應(yīng)曲線 Fig.4 The Curve of Super-Harmonic Vibration Amplitude-Frequency with Linear Damping

圖5 非線性剛度變化下的超諧共振幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 The Curve of Super-Harmonic Vibration Amplitude-Frequency with Nonlinear Stiffness

圖6 外激力變化下的亞諧共振幅頻響應(yīng)曲線 Fig.6 The Curve of Sub-Harmonic Vibration Amplitude-Frequency with Disturb Force

描繪了含動態(tài)變化量的外激力、線性阻尼、非線性剛度發(fā)生改變時，冷連軋機(jī)出現(xiàn)亞諧共振現(xiàn)象的相應(yīng)特性，如圖6～圖8所示。

圖6中，隨著外激力F的減小，振動幅值減小，共振區(qū)域縮小，但變化量較為微小，可見外激力對超諧、亞諧共振的影響一致。圖7中，隨著輥系間阻尼系數(shù)的減小，系統(tǒng)的振動幅值不斷增大，同時共振區(qū)域也不斷增大，但振動曲線的彎曲程度依然保持不變，即無跳躍現(xiàn)象發(fā)生，系統(tǒng)較為穩(wěn)定。圖8給出了非線性剛度變化下的亞諧共振幅頻特性，隨著α的減小，振幅和共振區(qū)域隨之增大，且減小到一定值后，將出現(xiàn)跳躍和突變，使系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

圖7 線性阻尼變化下的亞諧共振幅頻響應(yīng)曲線Fig.7 The Curve of Sub-Harmonic Vibration Amplitude-Frequency with Linear Damping

圖8 非線性剛度變化下的亞諧共振幅頻響應(yīng)曲線Fig.8 The Curve of Sub-Harmonic Vibration Amplitude-Frequency with Nonlinear Stiffness

5 結(jié)語

（1）在引入較為接近實(shí)際軋制過程中存在動態(tài)軋制力的基礎(chǔ)之上，建立了含機(jī)械結(jié)構(gòu)、工藝參數(shù)以及周期性外激力的冷連軋機(jī)非線性振動動力學(xué)模型，使軋機(jī)振動模型更進(jìn)一步接近實(shí)際振動狀態(tài)，豐富了軋機(jī)振動模型。應(yīng)用精度較高的多尺度法，得到了基于動態(tài)軋制力下的冷連軋機(jī)超諧共振和亞諧共振幅頻特性方程。（2）以冷連軋機(jī)振動參數(shù)為例，仿真分析了不同軋制參數(shù)變化下的冷連軋機(jī)超諧、亞諧振動特性，從幅值、共振區(qū)域大小、骨干曲線偏移程度等方面給出了抑制軋機(jī)振動的措施與參數(shù)區(qū)域，為軋機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行提供了理論參考。