衡德正，羊 軍，金愛君 ，金 隼

1 引言

裝配偏差分析作為連接產(chǎn)品設(shè)計(jì)與制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通過將設(shè)計(jì)目標(biāo)與制造能力集成在一個模型，定量化的評估零件制造偏差對產(chǎn)品功能的影響，在滿足產(chǎn)品功能要求的前提下，力爭使產(chǎn)品的制造成本最低。

裝配偏差分析一般包括極值法和統(tǒng)計(jì)法。極值法基于零件滿足100%互換，即在組成環(huán)中增環(huán)為極大（?。┲?、減環(huán)為極?。ù螅┲禃r，封閉環(huán)取得極大（小）值。但實(shí)際尺寸鏈中，各個組成環(huán)一般為不確定量，按照極值法計(jì)算必然帶來分析結(jié)果趨于保守，帶來制造難度提高，制造成本增加。統(tǒng)計(jì)偏差分析考慮了零件尺寸偏差的分布特性，更符合實(shí)際狀況，受到廣泛應(yīng)用。但統(tǒng)計(jì)偏差分析一般基于概率論，將各個偏差變量視為隨機(jī)變量，需要大量的不確定信息來判斷尺寸的統(tǒng)計(jì)分布形式[1]?，F(xiàn)代機(jī)械產(chǎn)品，組成零件多，工藝流程復(fù)雜，各種偏差經(jīng)過復(fù)雜的傳播、耦合，形成最終裝配偏差，一般很難知道偏差變量的具體分布形式。此外，概率模型并不是描述偏差不確定性的唯一模型，而且研究表明，不確定性未必就是隨機(jī)性，也可能是模糊性或未知而有界性。同時，概率模型對于參數(shù)的擾動特別敏感，以至于很小的誤差也會帶來計(jì)算結(jié)果的較大誤差，在缺乏足夠樣本信息時，一旦對這些概率分布的假定和工程參數(shù)的真正分布不符，則統(tǒng)計(jì)偏差分析結(jié)果的合理性與可靠性就失去意義。對此，提出裝配偏差的區(qū)間算法。用區(qū)間的大小度量不確定量的變化程度。區(qū)間法只需要知道尺寸的上下限而不需要知道具體的分布形式，這就大大降低了對裝配偏差分析的數(shù)據(jù)要求[2-3]，更適用于裝配偏差分析。文獻(xiàn)[4]用區(qū)間表示輸入?yún)?shù)，并結(jié)合cost-tolerance模型進(jìn)行公差優(yōu)化；文獻(xiàn)[5]提出用幾何實(shí)體小自由度描述尺寸和形狀公差，特征參數(shù)的不確定用區(qū)間表示，從而進(jìn)行裝配偏差分析；文獻(xiàn)[6]為保證機(jī)器人末端執(zhí)行器的精度，用區(qū)間表示機(jī)器人制造和裝配過程的不確定因素，并進(jìn)行關(guān)節(jié)處的公差優(yōu)化；文獻(xiàn)[7]提出了一種利用區(qū)間數(shù)求解平面尺寸鏈的新方法；文獻(xiàn)[8]提出了一種考慮公差設(shè)計(jì)的區(qū)間優(yōu)化算法，在保證目標(biāo)性能的同時最大化設(shè)計(jì)變量的公差帶，提高制造工藝性和降低制造成本。

上述基于區(qū)間法的參數(shù)計(jì)算與優(yōu)化過程中，沒有考慮區(qū)間擴(kuò)張對最終參數(shù)的影響，對此提出了基于截斷區(qū)間法的裝配偏差分析模型，以有效的減小區(qū)間擴(kuò)張對偏差分析結(jié)果的影響，提高計(jì)算結(jié)果的可靠性與實(shí)用性。

2 區(qū)間法的基本原理

在區(qū)間分析中，結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù)以一個區(qū)間的形式表示，同時結(jié)構(gòu)響應(yīng)也以區(qū)間形式給出。在裝配偏差分析中，我們很容易知道尺寸參數(shù)的上下界，不必再對這些參數(shù)的分布情況做出假設(shè)，下面給出區(qū)間法的基本原理。

定義1.1設(shè)R為實(shí)數(shù)域，對于給定的兩個實(shí)數(shù)x，x∈R，且x≤x ，則 XI=［x，x］，稱為閉區(qū)間，簡稱區(qū)間。

定義1.2對于任意兩個區(qū)間XI=［x，x］，YI=［y，y］，區(qū)間四則運(yùn)算為：

3 區(qū)間上下界的確定

對于一個由不同零部件裝配而成的機(jī)械產(chǎn)品而言，裝配尺寸鏈中各個組成環(huán)的變化區(qū)間均為已知參數(shù)，要想知道封閉環(huán)的變化區(qū)間，最簡單的方法就是根據(jù)公差設(shè)計(jì)函數(shù)，按照上面給出的區(qū)間運(yùn)算的法則進(jìn)行求解。一般而言，當(dāng)組成環(huán)的數(shù)目和封閉環(huán)的變化區(qū)間都較小時，這種區(qū)間運(yùn)算能夠取得比較精確的結(jié)果，但當(dāng)組成環(huán)的數(shù)目和封閉環(huán)的區(qū)間增大時，直接進(jìn)行區(qū)間運(yùn)算得到的結(jié)果往往會有較大誤差，不符合實(shí)際工程要求。造成這類現(xiàn)象的原因，主要是實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則僅有一部分適用在區(qū)間分析，如交換律。而對于分配率僅表現(xiàn)為弱的包含關(guān)系：X（IYI±ZI）?XI×YI±XI×ZI，由上面的運(yùn)算法則可知，當(dāng)輸入變量的數(shù)目以及運(yùn)算次數(shù)增加時，區(qū)間運(yùn)算會帶來較大的區(qū)間擴(kuò)張，甚至失去應(yīng)用價值，為限制這種擴(kuò)張，引入改進(jìn)區(qū)間截斷算法來確定封閉環(huán)尺寸的上下限[9]。假設(shè)兩個組成環(huán)尺寸變量aI=［a，a］，bI=［b，b］，封閉環(huán)尺寸變量 cI=［c，c］，并設(shè) a0=m（aI），b0=m（bI），c0=m（cI），當(dāng) c0很小時，截斷法失效，否則我們可以計(jì)算出c0的相對偏差：

總的偏差為：Δ=Δ1+Δ2，假設(shè)最大偏差Δ為2t，并可通過以下改進(jìn)的截斷區(qū)間［d，d］來求取c的取值上下限：

4 裝配偏差敏感性分析

裝配偏差的敏感性分析指計(jì)算一個或多個組成環(huán)的變化所導(dǎo)致的封閉環(huán)的變化幅度，從而更好的了解各個組成環(huán)對實(shí)現(xiàn)預(yù)期封閉環(huán)目標(biāo)的影響程度。

目前，一般采用直接求導(dǎo)法、差分法或者攝動法求解裝配偏差的敏感性。然而在尺寸鏈的組成環(huán)與封閉環(huán)是隱式函數(shù)時，直接求導(dǎo)法很難應(yīng)用。當(dāng)組成環(huán)與封閉環(huán)是強(qiáng)非線性問題時，差分法或攝動法將嚴(yán)重影響敏感性分析的精度。將以區(qū)間法為基礎(chǔ)，進(jìn)行裝配偏差的敏感性分析。假設(shè)一個結(jié)構(gòu)具有n個組成環(huán)尺寸參數(shù)，這些組成環(huán)尺寸參數(shù)以名義值為中心構(gòu)成一個區(qū)間向量，m 個封閉環(huán)尺寸構(gòu)成另一個區(qū)間向量，那么這個裝配過程構(gòu)成一個組成環(huán)尺寸至封閉環(huán)尺寸的映射：X→Y。根據(jù)區(qū)間數(shù)學(xué)的相關(guān)性質(zhì)，在封閉環(huán)尺寸中，分別對輸入?yún)?shù)X（Iii=1，2，…，n）作區(qū)間擴(kuò)張，可以得到：

式中：XIi—區(qū)間變量，其他參數(shù)均為實(shí)參數(shù)。

基于以上區(qū)間擴(kuò)張等式，將區(qū)間向量XIi=［Xi0，Xi0］，其中 Xj0（j≠i）為組成環(huán)名義值，帶入式（3）～式（1），可得：

式中：XIi0—區(qū)間變量，其他參數(shù)均為組成環(huán)名義值。并定義敏感

通過比較S的大小，即可找出封閉環(huán)尺寸對哪個組成環(huán)參數(shù)更為敏感。

區(qū)間法可以在組成環(huán)任意給定的局部或全局范圍內(nèi)，給出封閉環(huán)的變化量。雖然區(qū)間法給出的界限可能會比較粗糙，但是敏感度分析要求的是一種相對信息，界限的粗糙對相對信息間的比較不會帶來影響。

5 案例分析

為了驗(yàn)證基于區(qū)間分析的裝配偏差分析方法的有效性，以如圖的單向離合器為例進(jìn)行介紹[10]。該單向離合器包括一個內(nèi)星輪、一個外圈和四個滾柱。這是一個常用的僅能在一個方向進(jìn)行傳動的設(shè)備，當(dāng)離合器的外圈順時針旋轉(zhuǎn)時，內(nèi)星輪和外環(huán)中間的滾柱，將會帶動二者一起轉(zhuǎn)動，反向時，滾珠僅僅滑動，因而內(nèi)星輪沒有轉(zhuǎn)動，如圖所示的兩個接觸點(diǎn)之間的壓力角Φ1對于離合器的正確操作至關(guān)重要，如果Φ1過大，將會使離合器鎖住，反之則無法鎖住。這里內(nèi)星輪尺寸為a，滾柱半徑為c，外圈半徑為e，尺寸 b 和壓力角 Φ1則由 a、c、e決定，并要求公差 TΦ1=±0.6°，Tb=±0.5。各個組成環(huán)及封閉環(huán)的尺寸信息，如表1所示。

圖1 單向離合器及矢量環(huán)Fig.1 One-Way Clutch and Vector Loop

表1 尺寸信息Tab.1 Dimension Information

5.1 裝配偏差分析

為了分析單向離合器的裝配偏差，按照如圖所示的矢量環(huán)，建立矢量環(huán)方程：

從而可得：Φ1=a cos（a+c）（e-c））；b=sqrt（（e-c）^2-（a+c）^2）

將組成環(huán)尺寸信息表示為區(qū)間形式：

區(qū)間運(yùn)算過程采用基于Matlab的Intlab工具箱，分別將上述區(qū)間變量帶入可以得到：

在設(shè)計(jì)過程出于保守考慮，我們希望總的偏差Δ大于真實(shí)值，并設(shè)相應(yīng)的最大偏差2t在公差要求極限時取得，帶入式（5）求得：tΦ=0.0855，tb=0.1039

對于壓力角 Φ1，由式（5）可得：Δ1=0.1515＞tΦ，Δ2=0.1315＞tΦ

由截斷算法式（7）可得：ΦI

1=［6.928，7.0966］

同理可得：bI=［4.3108，5.3103］

將極值法、方根法應(yīng)用于該案例，求得裝配偏差區(qū)間，如表2所示。通過表2可以看出，區(qū)間法和方根法求得的壓力角Φ1和b偏差均小于極值法，而且對于壓力角Φ1，區(qū)間法求取的裝配偏差小于方根法，對于b，區(qū)間法求取的裝配偏差和方根法基本相等。考慮到區(qū)間法求取的裝配偏差基于100%置信區(qū)間，而且不考慮參數(shù)的具體分布形式，而方根法給出±3σ的范圍，基于99.73%的置信區(qū)間，從而我們可以認(rèn)為區(qū)間法求取的裝配偏差具有更高的可信性與準(zhǔn)確度。

表2 不同方法偏差分析對比Tab.2 Comparing the Different Methods for Deviation Analysis

5.2 參數(shù)敏感性分析

根據(jù)式（12），分別求解壓力角Φ1和b對幾何參數(shù)a，c，e的敏感性系數(shù)，如圖2、圖3所示。

圖2 壓力角參數(shù)敏感性Fig.2 Sensitivity to Parameter of Pressure Angle

圖3 尺寸b參數(shù)敏感性Fig.3 Sensitivity to Parameter of Dimension b

從圖2、圖3可以看出，壓力角Φ1和b均對幾何尺寸c最為敏感，因而為了更好的控制壓力角和尺寸b，對內(nèi)星輪幾何尺寸c的控制極為重要。

6 結(jié)論

針對極值法計(jì)算趨于保守和統(tǒng)計(jì)法依賴尺寸分布形式的缺點(diǎn)，提出了基于區(qū)間法的裝配偏差分析方法，將零件偏差與裝配偏差均表示為區(qū)間形式，并求解零件偏差的敏感性。通過單向離合器的實(shí)例分析，我們可知：（1）基于區(qū)間法的裝配偏差分析可以有效避免對尺寸信息分布形式以及概率密度函數(shù)的依賴，大大降低了裝配偏差分析對于數(shù)據(jù)的要求。（2）在區(qū)間分析中引入截斷算法，可以有效的避免區(qū)間擴(kuò)張，克服區(qū)間算法的保守性，增強(qiáng)偏差分析結(jié)果的可靠性與實(shí)用價值。（3）傳統(tǒng)的敏感性分析以偏導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)，給出的結(jié)果是某個小鄰域內(nèi)的敏感性信息。基于區(qū)間法的敏感性分析尺寸范圍可以任意給定，滿足裝配偏差敏感性分析的全局性要求。