任利敏 曹瑞峰 洪小瑞 常艷美

(1.黃河交通學院交通工程學院，河南焦作 454950；2.河南大學環(huán)境與規(guī)劃學院，河南開封 475000； 3.鄭州合眾景軒信息技術(shù)有限公司，河南鄭州 450000)

CPⅢ控制網(wǎng)是高速鐵路軌道鋪設(shè)與運營維護的平面及高程基準[1]。CPⅢ 控制點高程可利用CPⅢ 平面網(wǎng)測量的邊角觀測值，采用CPⅢ 控制網(wǎng)自由測站三角高程測量方法獲得[2]。由于數(shù)據(jù)采集量大，CPⅢ三角高程測量過程中出現(xiàn)粗差不可避免，并會直接影響平差結(jié)果的質(zhì)量，必須及時發(fā)現(xiàn)并剔除觀測數(shù)據(jù)中存在的粗差[3]。文獻[4]將單純形法應(yīng)用于測量控制網(wǎng)的解算中，結(jié)果表明，單純形法是一種有效穩(wěn)健的估計方法；文獻[5]將單純形法應(yīng)用于測繪數(shù)據(jù)處理中，相較于牛頓型算法，單純形法可以有效提高測繪數(shù)據(jù)處理效率。

以下介紹數(shù)據(jù)探測法和基于L1范數(shù)的單純形法，采用兩種方法分別對某段高速鐵路CPⅢ三角高程測量實測數(shù)據(jù)進行粗差探測，并對結(jié)果進行分析。

1 粗差探測方法

粗差也叫過失誤差，其僅對個別觀測值存在影響，且其位置及大小無任何規(guī)律可循[6]。國內(nèi)外學者對粗差進行了大量研究，并提出多種粗差探測方法。

1.1 數(shù)據(jù)探測法

對原始數(shù)據(jù)進行平差，計算出各殘差值及其限差，將殘差值最大且超限的觀測值視為粗差并將其剔除，再對剩余數(shù)據(jù)進行平差；仍取殘差值最大且超限的1個觀測值視為粗差并剔除，對剩余數(shù)據(jù)再進行平差，直至所有殘差值均在限差范圍內(nèi)[7-8]。

由最小二乘法平差可得CPⅢ 三角高程測量的高差改正數(shù)，即平差后的殘差值為

V=[B(BTPB)-1BT-Q]Pl

(1)

QVV=Q-B(BTPB)-1BT

(2)

(3)

式中，QVV為殘差的協(xié)因數(shù)陣，DVV為殘差的方差。

(4)

式中，Qii——QVV的第i個對角線元素。

把Wi作為統(tǒng)計量進行粗差判斷。當前國際上公認的是Baarda選擇的顯著性水平α=0.001，由正態(tài)分布表可得[9]

(5)

1.2 基于L1范數(shù)的單純形法

一次范數(shù)最小估計(L1估計)即殘差絕對值最小和法。單純形法是求解L1估計的標準算法。單純形法的基本思想是從變量約束條件可行域的一個基本可行解開始，判斷該解是不是目標函數(shù)(殘差絕對值最小和)的最優(yōu)解，若不是則尋找比該解更“好”的解，直至找到最優(yōu)解為止[11]。

L1估計準則即目標函數(shù)為[12]

(6)

約束條件為

(7)

式中n——觀測值的個數(shù)；

t——為必要觀測數(shù)。

(8)

將式(8)代入式(7)得：

(9)

(10)

由式(9)和式(10)，線性規(guī)劃模型可以表示為

目標函數(shù)

(11)

約束條件為

(12)

將上述線性規(guī)劃模型用單純形算法進行計算，即可得到最優(yōu)解。將解算所得改正數(shù)為零的t個觀測值用lt表示，相應(yīng)系數(shù)用At表示；剩余觀測值和相應(yīng)系數(shù)分別用lr和Ar表示，即

(13)

其中：At為t×t的矩陣，Ar為r×t的矩陣，lt為t×1的矩陣，lr為r×1的矩陣

對式(13)求解可得

(14)

(15)

改正數(shù)為零的lt可看作不受粗差影響，lr可能包含粗差。

有中誤差公式

取3σ0作為限差，若|Vri|<3σ0，即可將觀測值Lri看做不存在粗差；反之，若|Vi|>3σ0，可將觀測值Lri看做存在粗差。

2 應(yīng)用實例

以某段高速鐵路自由設(shè)站CPⅢ 三角高程測量實測數(shù)據(jù)為例，分別用數(shù)據(jù)探測法和單純形法對該段數(shù)據(jù)進行粗差探測。由于數(shù)據(jù)量較大，故利用C#語言在Microsoft Visual Studio.Net平臺上對以上兩種平差方法進行編程。

由粗差的可發(fā)現(xiàn)性和可定位性可知，當一個測量系統(tǒng)中不存在多余觀測時，即使該觀測量中存在粗差但其粗差值不能被發(fā)現(xiàn)；當只有一個多余觀測量時，只能通過兩個觀測量的對比來發(fā)現(xiàn)是否存在粗差，但不能定位粗差存在于哪一個觀測量之中；當存在兩個以上的多余觀測量時，才能對其進行定位[13-14]。

圖1 基于自由設(shè)站的CPⅢ三角高程測量網(wǎng)形示意

圖1為基于自由測站的CPⅢ 三角高程測量網(wǎng)形示意。由圖1可知，每個CPⅢ 點至少有3個測站對其進行觀測。在該測量系統(tǒng)中每個觀測值至少存在2個多余觀測量[15]。用粗差探測法和單純形法對該段CPⅢ 三角高程測量數(shù)據(jù)進行解算，結(jié)果分別列于表1和表 2，由于數(shù)據(jù)較多，僅將部分觀測量的殘差列出，對于超出限差的殘差數(shù)據(jù)加粗并在其限差后加“**”表示。

表1 數(shù)據(jù)探測法 mm

表2 基于L1范數(shù)的單純形法 mm

3 結(jié)果分析

從表1可得，存在粗差的觀測量有：測站A76觀測 點0183314，測站A84觀測 點0183330，測站A88觀測點0183330，測站A101觀測點0184318以及測站A104觀測 點0184318。

從表2可得，存在粗差的觀測量有：測站A76觀測 點0183314，測站A84觀測點0183330和測站A101觀測點0184318。

以該段對應(yīng)的 水準測量數(shù)據(jù)為基準，對本段數(shù)據(jù)中存在的粗差進行檢測[1]，檢測結(jié)果如表3所示。

表3 粗差檢測結(jié)果

從文獻[1]中可知，近似高差較差值的大小反映CPⅢ觀測值中存在的粗差大小。由表3中可得

存在粗差的觀測值有：測站A76觀測點0183314的粗差值約為109.5 mm；測站A84觀測點0183330的粗差值約110.1 mm；測站A104和測站A107觀測點0184318的粗差值分別約為112.2 mm和109.6 mm；測站A76、A80和A84觀測點0184324的粗差值分別約為109.9 mm、109.4 mm和108.7 mm。

以上實例數(shù)據(jù)計算結(jié)果表明：

(1)當由三個測站觀測同一個CPⅢ點的觀測量中存在一個粗差觀測量時(如測站A76觀測點0183314和測站A84觀測點0183330的觀測量含有粗差，測站A70、A74觀測點0183314以及測站A88、A92觀測點0183330的觀測量中不包含粗差)，單純形法探測出測站A76觀測點0183314和測站A84觀測點0183330的觀測量含有粗差，即單純形法能發(fā)現(xiàn)又能定位粗差，且平差所得殘差值與粗差值相近。數(shù)據(jù)探測法探測結(jié)果為測站A84觀測點0183330的觀測量中不僅含有粗差，且測站A88觀測CPⅢ點0183330的觀測量也被判定含有粗差，其原因為數(shù)據(jù)探測法對粗差進行平攤，導致與其具有相關(guān)性的其他觀測量也被誤判為含有粗差。

(2)當由三個測站觀測同一個CPⅢ點的觀測量中存在兩個粗差觀測量時(如測站A104與測站A107觀測的 CPⅢ點0184318均含有粗差，測站A101觀測的 CPⅢ點0184318不包含粗差)，單純形法探測結(jié)果是測站A101對CPⅢ點0184318的觀測量中含有粗差，測站A104與測站A107觀測CPⅢ點0184318的觀測量中不包含粗差，故單純形法僅可發(fā)現(xiàn)卻不能定位粗差。數(shù)據(jù)探測法探測結(jié)果為測站A101與測站A104觀測的CPⅢ點0184318均含有粗差，故數(shù)據(jù)探測法同樣只能發(fā)現(xiàn)但不可定位粗差。

(3)當由三個測站觀測同一個CPⅢ點的觀測量中均存在粗差，如測站A76、A80和A84觀測的CPⅢ點0183324均存在粗差。由表2可得，單純形法探測結(jié)果為測站A76、A80和A84觀測CPⅢ點0183324的觀測量均不存在粗差；由表1可知，數(shù)據(jù)探測法探測結(jié)果為測站A76、A80和A84觀測CPⅢ點0183324的觀測量均不存在粗差。故單純形法與數(shù)據(jù)探測法均不能發(fā)現(xiàn)也不能定位粗差。

4 結(jié)論

(1)當三個觀測量有兩個含有粗差時，單純形法與數(shù)據(jù)探測法均只能發(fā)現(xiàn)但不能定位粗差；當三個觀測量均含有粗差且粗差值相近時，單純形法與數(shù)據(jù)探測法均不能發(fā)現(xiàn)與定位粗差。

(2)單純形法對粗差的探測能力要優(yōu)于數(shù)據(jù)探測法。因平差計算時單純形法僅使用了部分觀測量，所以其求解出的參數(shù)精度低于數(shù)據(jù)探測法。故實際應(yīng)用中，基于L1范數(shù)的單純形法主要應(yīng)用于粗差的探測與剔除，再利用數(shù)據(jù)探測法對剔除粗差后的觀測數(shù)據(jù)進行平差，求解參數(shù)值。