劉桃花,侯木舟

(1.湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭，411201； 2.中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083 )

經(jīng)典的擴(kuò)散方程已經(jīng)普遍地應(yīng)用于描述粒子的Brown運(yùn)動(dòng),其中,一維擴(kuò)散方程可以寫(xiě)成下列形式：

d為擴(kuò)散系數(shù),f(x,t)為原項(xiàng)。

近十幾年來(lái),分?jǐn)?shù)階在各類學(xué)科中的廣泛應(yīng)用,由于多數(shù)情況下分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解得不到,分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值方法成為求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的主流方法[6-8]。關(guān)于數(shù)值方法,Meerschaert和Tadjeran等人[9-11]用有限差分方法求解了單、雙邊空間的分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程以及用交替方向的隱式差分方法求解了二維空間的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程；王宏等人[12-13]發(fā)展了一系列關(guān)于求解空間分?jǐn)?shù)階微分方程的快速算法,大大降低了計(jì)算量和儲(chǔ)存量。目前,文獻(xiàn)[14]采用了Grünwald改進(jìn)型的離散方法對(duì)帶Neumann分?jǐn)?shù)階邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行離散,構(gòu)造出分?jǐn)?shù)階微分方程的顯式有限差分格式,并證明了顯式格式條件穩(wěn)定和條件收斂;文獻(xiàn)[15]對(duì)帶分?jǐn)?shù)階Dirichelet邊界條件初邊值問(wèn)題的一維分?jǐn)?shù)階滲流方程建立了一種隱式有限差分格式,證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性,驗(yàn)證了數(shù)值格式的有效性。

考慮如下帶分?jǐn)?shù)階邊界條件初邊值問(wèn)題的分?jǐn)?shù)階對(duì)流方程：

(1)

分?jǐn)?shù)階初邊值條件為

(2)

u(x,0)=q(x)，0≤x≤R

(3)

(4)

其中Γ(·)為Gamma函數(shù)。

1 差分格式的建立及其相容性

移位的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子定義為

(5)

Grünwald權(quán)系數(shù)定義為

(6)

它的值只依賴于k和α。

標(biāo)準(zhǔn)的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子定義為

采用移位的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子和標(biāo)準(zhǔn)的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子對(duì)方程中Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)以及分?jǐn)?shù)階邊界條件中Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別進(jìn)行離散,得到：

(7)

(8)

利用向后Euler差分方法離散一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)和一階空間導(dǎo)數(shù),分別得到：

(9)

(10)

對(duì)問(wèn)題(1)-(3)建立差分格式如下：

(11)

(12)

(13)

當(dāng)1≤i≤N-1時(shí),局部截?cái)嗾`差為

(14)

當(dāng)i=N時(shí),局部截?cái)嗾`差為

(15)

因此,綜上可知,建立的隱式差分格式是相容的。

2 差分格式的差分解的存在唯一性及穩(wěn)定性和收斂性分析

(16)

(17)

進(jìn)一步可以將分?jǐn)?shù)階方程改寫(xiě)成下列矩陣的形式：

AUm=Qm-1+Fm,1≤m≤M

(18)

(19)

定理3.1 如果β>0,差分格式(11)-(13)的解存在且唯一。

(20)

(21)

(22)

(23)

定理3.2 如果β>0,差分格式(11)-(13)無(wú)條件穩(wěn)定。

證明：由引理2.1得

(24)

由(21)可得

(25)

可以假設(shè)‖εm‖≤i0≤N-1),由引理2.1,則有

‖εm‖≤

(26)

應(yīng)用(26)m-1次

‖εm‖<‖ε0‖,1≤m≤M。

綜上,差分格式(11)-(13)是無(wú)條件穩(wěn)定的。

‖em‖≤C(Δt+h),1≤m≤M

(27)

證明：假設(shè)‖em‖≥,i=N,由(22)及引理2.1得

(28)

有引理3.1和Stirling定理(見(jiàn)文獻(xiàn)[16]),則有

(29)

當(dāng)N→,結(jié)合(28)和(29),得

(30)

假設(shè)‖em‖≥≤i0≤N-1),則有

‖em‖≤

(31)

運(yùn)用(31)m-1次,則有

‖em‖≤(m-1)ΔtC2(Δt+h)；又因?yàn)?m-1)Δt≤T,所以存在一個(gè)常數(shù)C3=C2T,使得

‖em‖≤C3(Δt+h)

(32)

綜上,‖em‖≤C(Δt+h)。

所以此格式收斂。

3 數(shù)值試驗(yàn)

取擴(kuò)散系數(shù)d(x)=Γ(2-α)xα-1；原項(xiàng)

分?jǐn)?shù)階初邊值條件為

圖1 數(shù)值結(jié)果Fig.1 Numberical results

圖1為Δt=h=2-6的網(wǎng)格上,T=1時(shí)刻,格式(11)-(13)所得到的數(shù)值解以及精確解的圖像；從圖像可以看到,在本例中數(shù)值解可以很好的擬合精確解。

表1表示當(dāng)T=1時(shí)，α分別取1.95,1.85,1.65時(shí)算例的數(shù)值解與解析離散解之差的最大誤差及誤差階。在表1中，當(dāng)空間步長(zhǎng)、時(shí)間步長(zhǎng)減半時(shí)，格式誤差接近原來(lái)的1/2，這就驗(yàn)證了這個(gè)格式的收斂階為O(Δt+h)。

表1 當(dāng)T=1時(shí)隱式差分格式的誤差值
Table1Errorbehaviorsforimplicitfinitedifferencescheme(16)attimeT=1

Δt=hα=1.95α=1.85α=1.65‖emh‖呂誤差階‖emh‖呂誤差階‖emh‖呂誤差階2-40.02820.03220.04892-50.01461.93150.01681.91610.02641.85232-60.00741.97300.00871.93100.01391.89932-70.00192.00000.00441.97730.00721.9306

4 結(jié)論

考慮了在有界區(qū)域里帶分?jǐn)?shù)階邊界條件的一維空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,建立了經(jīng)典的隱性差分格式,證明該格式的解的存在唯一性，無(wú)條件穩(wěn)定性,也證明了這個(gè)隱式差分方法收斂于空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解,且具有O(Δt+h)收斂階。