王強(qiáng)龍，謝軍，宮鵬，2，王曉明，劉震宇

（1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

光電經(jīng)緯儀[1]設(shè)備用于跟蹤和測(cè)量動(dòng)態(tài)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。車載、船載光電經(jīng)緯儀需要結(jié)構(gòu)部分輕量化、動(dòng)態(tài)剛度好，尤其是在快速跟蹤測(cè)量過程中，需要結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)剛度足夠大[2]，光軸扭動(dòng)足夠小。光電經(jīng)緯儀在觀測(cè)狀況下引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)的激勵(lì)來源是電機(jī)或旋轉(zhuǎn)伺服等周期載荷，而有限帶寬諧激勵(lì)下的響應(yīng)峰值影響成像精度和穩(wěn)定性[3-8]。因此，目標(biāo)區(qū)域或指定點(diǎn)的動(dòng)態(tài)柔度特性極小化設(shè)計(jì)是夠保證跟蹤系統(tǒng)跟蹤性能以及光學(xué)系統(tǒng)精度的重要手段。

本工作利用經(jīng)典SIMP拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，以Du[3]等人定義的內(nèi)積平方形式的動(dòng)柔度目標(biāo)作為基礎(chǔ)，提出多工況動(dòng)柔度寬頻激勵(lì)優(yōu)化模型并推導(dǎo)其敏度表達(dá)。通過定義多工況寬頻段激勵(lì)目標(biāo)，利用動(dòng)柔度設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。針對(duì)經(jīng)典的立柱支撐結(jié)構(gòu)，綜合參考結(jié)構(gòu)負(fù)載和激勵(lì)目標(biāo)頻段后對(duì)光學(xué)支撐找準(zhǔn)架三維結(jié)構(gòu)提出多工況優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；并對(duì)兩工況（靜載+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載）以及三工況（靜載+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載+晃動(dòng)動(dòng)載）下的優(yōu)化模型及其優(yōu)化算法進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，獲得了多工況下動(dòng)柔度極小的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型以及間接實(shí)現(xiàn)多特征值極大化優(yōu)化方法，以期為同類負(fù)載下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考。

1 基于動(dòng)態(tài)柔度極小的多工況拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 基于SIMP方法的拓?fù)鋬?yōu)化模型簡(jiǎn)述

基于微結(jié)構(gòu)和均勻化[4，9，10]方法擴(kuò)展的 SIMP[5]（Solid Isotropic Microstructure/Material with Penal?ty）拓?fù)鋬?yōu)化模型，通過帶懲罰項(xiàng)的材料相對(duì)設(shè)計(jì)變量ρ插值。結(jié)合濾波[6]等方法避免掉網(wǎng)格依賴、棋盤格等問題后，通過優(yōu)化迭代將設(shè)計(jì)變量收斂到接近0或者1。本文所使用的單材料SIMP插值模型如下：

1.2 考慮工況的多頻（頻帶）動(dòng)態(tài)柔度最小化拓?fù)鋬?yōu)化模型

對(duì)于光電跟蹤設(shè)備而言，伺服控制頻率通常為某一頻率段的激勵(lì)頻率，有必要考慮在工況激勵(lì)頻率下，綜合分析結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性頻率，對(duì)區(qū)段內(nèi)動(dòng)態(tài)柔度特征進(jìn)行多目標(biāo)極小分析。本文采用Du[3]定義的動(dòng)態(tài)柔度模型，將外載荷幅值和載荷作用點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)位移的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的乘積在整個(gè)作用域的積分作為優(yōu)化目標(biāo)。結(jié)構(gòu)在多頻激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)柔度最小化問題實(shí)則為多目標(biāo)優(yōu)化問題，將各個(gè)頻率下的子目標(biāo)寫成加權(quán)求和形式作為新目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。在指定的頻率區(qū)間內(nèi)選定若干采樣點(diǎn)ωk∈[ ]ωl,ωh,k=1,…,Nω，分別計(jì)算各采樣點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)的頻響，最終的目標(biāo)采用加權(quán)求和的形式表達(dá)。在目標(biāo)頻率區(qū)間內(nèi)的動(dòng)態(tài)柔度最小化拓?fù)鋬?yōu)化模型（忽略阻尼）如下：

其中約束的第二式為結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)方程，ωk為給定簡(jiǎn)諧變化的外載荷的圓頻率，wk為預(yù)先給定的與頻率ωk對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。為動(dòng)態(tài)剛度矩陣；ωk為給定簡(jiǎn)諧變化的外載荷的圓頻率；外載荷表示形式為p(t)=Peiωkt，ωk∈[ωl，ωh]，k=1,…,Nω；對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為x(t)=Ueiωkt。α為材料體積上限V*；相對(duì)于設(shè)計(jì)域體積V0的體積比。其中P和U分別代表有限元離散后的外載荷幅值向量和結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)向量幅值?？紤]到多目標(biāo)優(yōu)化的復(fù)雜性，下文中暫取wk=1。ρe為設(shè)計(jì)變量。對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為x(t)=Ukeiωkt ωk∈[ωl，ωh]，k=1,…,Nω。進(jìn)行優(yōu)化正問題求解時(shí)，進(jìn)行掃頻步進(jìn)諧響應(yīng)分析從而得到待計(jì)算區(qū)段內(nèi)最小柔度累加目標(biāo)。敏度分析后對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代更新。

1.3 多目標(biāo)動(dòng)態(tài)柔度最小化拓?fù)鋬?yōu)化模型敏度分析

目標(biāo)函數(shù)對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量ρe直接求導(dǎo)：

利用優(yōu)化準(zhǔn)則方法（OC）對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行迭代求解。

1.4 靜態(tài)柔度極小目標(biāo)及敏度分析

靜載荷下的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型相當(dāng)式（2）及式（3）中諧激勵(lì)頻率w＝0的情況，其優(yōu)化模型和敏度表達(dá)式只需將ωk置零即可。

2 光電跟蹤設(shè)備找準(zhǔn)架動(dòng)態(tài)剛度極大化設(shè)計(jì)

光電經(jīng)緯儀在其工作運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，光學(xué)主系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)要求其支撐系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)剛度足夠大，否則將對(duì)跟蹤精度和成像質(zhì)量產(chǎn)生明顯的影響。因垂直軸在跟蹤過程中系統(tǒng)激勵(lì)載荷為扭轉(zhuǎn)形式載荷，找準(zhǔn)架（如圖1）承接光學(xué)設(shè)備和立柱，左右立柱的扭轉(zhuǎn)剛度同時(shí)影響伺服系統(tǒng)和光學(xué)成像質(zhì)量。因此找準(zhǔn)架在伺服激勵(lì)輸入下的動(dòng)態(tài)剛度極大十分重要。

圖1 經(jīng)緯儀結(jié)構(gòu)以及找準(zhǔn)架設(shè)計(jì)域和載荷工況示意圖

圖2 載荷工況視圖和約束視圖

2.1 找準(zhǔn)架的跟蹤優(yōu)化模型和負(fù)載設(shè)計(jì)

找準(zhǔn)架計(jì)算模型如圖1所示，網(wǎng)格模型中單元總數(shù)為136224個(gè)，全部采用正六面體網(wǎng)格劃分左右立柱在X和Y方向上的一階動(dòng)態(tài)彎曲動(dòng)剛度影響中間四通的跟蹤穩(wěn)定性和精度，因此下面主要針對(duì)左右立柱進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化。經(jīng)緯儀在跟蹤中，沿X方向和Y方向中的晃動(dòng)對(duì)于跟蹤精度影響最大，四通和鏡筒在跟蹤找準(zhǔn)架下以等效加速度的形式作用于垂直軸上。如圖2所示為半周期載荷作用的工況，載荷加載于軸承座上。其中，支撐靜載荷為立柱負(fù)載載荷，扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷為Y方向左右扭轉(zhuǎn)載荷，晃動(dòng)動(dòng)載荷為X方向彎曲載荷。三個(gè)工況都約束底部邊界進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算正問題時(shí)，針對(duì)半周期下結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，之后將解對(duì)稱求解即可得。

2.1.1 設(shè)計(jì)目標(biāo)

在伺服激勵(lì)跟蹤狀態(tài)下，保證設(shè)備足夠的靜態(tài)剛度之后，需要在伺服激勵(lì)頻段內(nèi)有足夠的剛度以穩(wěn)定光軸。本文選取的初始設(shè)計(jì)域是在經(jīng)典找準(zhǔn)架基礎(chǔ)上提煉而來，根據(jù)以往的測(cè)試和伺服試驗(yàn)，將Y方向也即扭轉(zhuǎn)動(dòng)載Dynamic Load 1（DL1）的優(yōu)化頻段選取為50～60Hz，將X方向也即晃動(dòng)動(dòng)載Dy?namic Load2（DL2）的激勵(lì)頻段選取為20～30Hz。另外，為考慮到設(shè)計(jì)完整性，經(jīng)緯儀結(jié)構(gòu)的主要承載目標(biāo)特性也需要考慮在內(nèi)，也即添加Static Load1靜載，一并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

在靜載荷Static Load1作用下，設(shè)計(jì)目標(biāo)為JST1；在DL1也即扭轉(zhuǎn)動(dòng)載作用下，設(shè)計(jì)目標(biāo)為JDL1：50-60Hz。在晃動(dòng)動(dòng)載DL2動(dòng)載作用下，優(yōu)化目標(biāo)為JDL2：20-30Hz。有鑒于找準(zhǔn)架在扭轉(zhuǎn)載荷下影響更為明顯，下面將對(duì)如下兩個(gè)多工況算例進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)：

兩工況：靜載（ST1）+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載（DL1）

其中，α1和β1為目標(biāo)權(quán)重配比系數(shù)，為使得計(jì)算目標(biāo)在總目標(biāo)中權(quán)重量級(jí)匹配，后文中取α1=100，β1=1。

三工況：靜載（ST1）+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載（DL1）+晃動(dòng)動(dòng)載（DL1）

其中，α2、β2和γ2為目標(biāo)權(quán)重配比系數(shù)，為使得計(jì)算目標(biāo)在總目標(biāo)中權(quán)重量級(jí)匹配，下文計(jì)算中取α2=100，β2=γ2=1。

2.1.2 初始設(shè)計(jì)目標(biāo)的選取

動(dòng)剛度優(yōu)化和靜載荷優(yōu)化所不同，存在目標(biāo)參數(shù)非正定的情況。另外，初值區(qū)間和優(yōu)化路徑嚴(yán)重影響優(yōu)化的結(jié)果[7]。而本文的優(yōu)化目標(biāo)在于，在圖1的初始設(shè)計(jì)域內(nèi)找出目標(biāo)區(qū)間內(nèi)扭轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)剛度極大和晃動(dòng)動(dòng)載剛度極大的設(shè)計(jì)。有鑒于全填充設(shè)計(jì)域內(nèi)扭轉(zhuǎn)剛度已經(jīng)很高，將全填充的設(shè)計(jì)域作為初始設(shè)計(jì)變量顯然并不可取。因此，本文借助于SIMP插值方法找尋初始設(shè)計(jì)點(diǎn)。

Step1：分析全填充情況下圖1中Point A點(diǎn)頻響，此時(shí)在 SIMP 插值模型中，ρe=1,p=1，計(jì)算頻響曲線。

Step2：扭轉(zhuǎn)載荷下，頻響曲線峰值點(diǎn)若不在設(shè)計(jì)目標(biāo)頻段內(nèi)，改變SIMP插值參數(shù)。直到找到合適的插值初始點(diǎn)為止。

設(shè)計(jì)變量改變時(shí)，A點(diǎn)頻響函數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 ρe=0.1，p=3；ρe=0.2，p=3點(diǎn)A頻響曲線

設(shè)計(jì)變量不同時(shí)，A點(diǎn)頻響函數(shù)曲線借助以上設(shè)計(jì)思路，在初值為ρe=0.1，p=3情況下，初設(shè)設(shè)計(jì)域共振頻率見表1所示。其中，與DL1載荷非正交的第1、2、5、6、7、8階模態(tài)可能影響結(jié)構(gòu)在目標(biāo)頻段的動(dòng)柔度設(shè)計(jì)，與DL2載荷方向非正交的第3、4、5、6階模態(tài)可能影響結(jié)構(gòu)在目標(biāo)頻段的動(dòng)柔度設(shè)計(jì)。

表1 ρe=0.1，p=3各階共振頻率

2.2 找準(zhǔn)架優(yōu)化動(dòng)載荷下優(yōu)化分析結(jié)果討論

2.2.1 兩工況優(yōu)化算例結(jié)果

靜載荷ST1和扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷DL1作用，在體積分?jǐn)?shù)約束為Vol=0.1情況下，優(yōu)化結(jié)果如圖4和圖5所示。優(yōu)化設(shè)計(jì)后結(jié)構(gòu)在動(dòng)載荷DL1作用下Point A頻響曲線如圖6所示。從圖4和圖5的ZY投影視圖可以看出，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為Vol=0.1時(shí)，優(yōu)化結(jié)果和二維梁結(jié)構(gòu)基頻極大化設(shè)計(jì)結(jié)果類似[8]，在YZ投影方向呈現(xiàn)X形結(jié)構(gòu)，且僅在另外一個(gè)維度上做平移拓展。而當(dāng)體積分?jǐn)?shù)Vol=0.2時(shí)，優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果雖然在ZY投影方向上仍舊和小體積分?jǐn)?shù)下的結(jié)果類似，但在另外一個(gè)維度上則有所差別。對(duì)比圖4（b）和圖5（b）可以看出，在兩工況下最終優(yōu)化拓?fù)洳⑽疵黠@受到體積分?jǐn)?shù)的影響，也就是在扭轉(zhuǎn)諧激勵(lì)下的優(yōu)化計(jì)算呈現(xiàn)保拓?fù)涮匦浴?/p>

圖4 靜載+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載優(yōu)化結(jié)果Vol=0.1

圖5 靜載+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載優(yōu)化結(jié)果Vol=0.2

圖6的優(yōu)化后頻響曲線表明，在扭轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)載荷（Dynamic Load 1，Y方向）載荷作用下，結(jié)構(gòu)在此方向的共振頻率趨向于遠(yuǎn)離激勵(lì)頻段以降低響應(yīng)幅值。從圖6中可以看出，在100～200Hz之間有較小的峰值，此峰值為軸承孔部位局部模態(tài)導(dǎo)致。而當(dāng)體積分?jǐn)?shù)變?yōu)閂ol=0.2時(shí)，相對(duì)應(yīng)的峰值則上升到300Hz左右。

圖6 靜載+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載優(yōu)化后頻響曲線Vol=0.1&Vol=0.2

2.2.2 三工況優(yōu)化算例

在靜載荷ST1、扭轉(zhuǎn)動(dòng)載DL1以及晃動(dòng)動(dòng)載DL2三工況作用下，優(yōu)化結(jié)果如圖7（體積分?jǐn)?shù)Vol=0.1）和圖8（體積分?jǐn)?shù)Vol=0.2）所示。圖7（c）為ZY方向投影視圖。Vol=0.1時(shí)，三工況優(yōu)化結(jié)果和兩工況結(jié)果類似，以立柱加十字叉形式為主。在另外一個(gè)方向上圖7（b）中，由于晃動(dòng)動(dòng)載Dynamic Load 2諧激勵(lì)作用下正方向和反方向在立柱和回轉(zhuǎn)圓盤連接處的剛度不一致，導(dǎo)致優(yōu)化出的結(jié)構(gòu)并未呈現(xiàn)對(duì)稱X形。

圖7 三工況（靜載+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載+晃動(dòng)動(dòng)載）優(yōu)化結(jié)果Vol=0.1

圖8 三工況（靜載+扭轉(zhuǎn)動(dòng)載+晃動(dòng)動(dòng)載）優(yōu)化結(jié)果Vol=0.2

在體積分?jǐn)?shù)Vol=0.2時(shí)，設(shè)計(jì)材料更傾向于分布在結(jié)構(gòu)內(nèi)側(cè)立柱，而最終呈現(xiàn)的拓?fù)錁?gòu)型則和Vol=0.1時(shí)類似。圖9是體積分?jǐn)?shù)Vol=0.1時(shí)，經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)后結(jié)構(gòu)在扭轉(zhuǎn)動(dòng)載Dynamic Load1和晃動(dòng)動(dòng)載Dynamic Load2作用下的點(diǎn)A頻響曲線。圖10是體積分?jǐn)?shù)Vol=0.2優(yōu)化設(shè)計(jì)后，結(jié)構(gòu)在扭轉(zhuǎn)動(dòng)載Dynamic Load1和晃動(dòng)動(dòng)載Dynamic Load2諧激勵(lì)載荷作用下的頻響曲線。Vol=0.2時(shí)，優(yōu)化設(shè)計(jì)后的結(jié)構(gòu)無論時(shí)在扭轉(zhuǎn)動(dòng)載DL1載荷作用方向上，還是在晃動(dòng)動(dòng)載DL2載荷作用方向上，共振頻率都要高于Vol=0.1激勵(lì)下的設(shè)計(jì)結(jié)果。對(duì)比圖10和圖6，增加工況下，在扭轉(zhuǎn)方向（DL1載荷作用方向）共振頻率要稍低一些以滿足另外一個(gè)工況下的設(shè)計(jì)。

圖9 三工況優(yōu)化設(shè)計(jì)后頻響曲線Vol=0.1，扭轉(zhuǎn)動(dòng)載Dynamic Load 1載荷作用下A點(diǎn)頻響&晃動(dòng)動(dòng)載Dynamic Load 2載荷作用下A點(diǎn)頻響

從表2中對(duì)比兩工況和三工況下的頻率可知，在加入X方向晃動(dòng)動(dòng)載DL2諧激勵(lì)后，X方向一階彎曲基頻相較于兩工況結(jié)果有所提升，而在Y方向則有所降低。更多工況下呈現(xiàn)的結(jié)果以平衡各階響應(yīng)幅值為主。

表2 優(yōu)化設(shè)計(jì)后體積分?jǐn)?shù)Vol=0.2的結(jié)構(gòu)前八階共振頻率

3 結(jié)語

本文給出了利用SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法，以動(dòng)柔度平方形式作為目標(biāo)進(jìn)行的多工況寬頻段三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。目標(biāo)頻段的動(dòng)柔度極小設(shè)計(jì)思路可用于諧激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值極小化的設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)在激勵(lì)頻段下的極小化也意味著振動(dòng)噪聲的降低以及系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制精度的提升。加入靜載工況后，拓?fù)鋬?yōu)化呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)接近于設(shè)備實(shí)際工作狀態(tài)。針對(duì)光電經(jīng)緯儀找準(zhǔn)架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果表明此方法有如下特點(diǎn)：

（1）多目標(biāo)特性下的動(dòng)柔度極小拓?fù)鋬?yōu)化能夠降低特定點(diǎn)的頻響峰值，從而保證在指定諧激勵(lì)下的響應(yīng)量級(jí)極小。

（2）動(dòng)柔度極小拓?fù)鋬?yōu)化使得結(jié)構(gòu)基頻遠(yuǎn)離特定伺服頻率，最終呈現(xiàn)的優(yōu)化結(jié)果和基頻極大化設(shè)計(jì)結(jié)果類似。

利用多工況動(dòng)柔度極小作為目標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，在合適的激勵(lì)頻率以及適當(dāng)?shù)姆钦恢C激勵(lì)載荷下，此方法給出的拓?fù)錁?gòu)型在滿足在動(dòng)柔度極小的情況下能間接實(shí)現(xiàn)多個(gè)特征頻率極大化設(shè)計(jì)，無需考慮重頻以及模態(tài)交換等對(duì)于優(yōu)化過程的干擾。相較于單一基頻極大化設(shè)計(jì)方法，對(duì)于工程設(shè)計(jì)有很好的應(yīng)用參考價(jià)值。