陳美霞，徐 坤，謝 坤

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074）

0 引 言

功能梯度材料通常是指在厚度方向上材料參數(shù)梯度變化的復(fù)合材料，它實(shí)現(xiàn)了材料內(nèi)部功能的漸變，可滿足結(jié)構(gòu)耐熱、承載等功能的復(fù)合，通常具有緩和熱應(yīng)力、避免或降低應(yīng)力集中等優(yōu)點(diǎn)。作為一種較新的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，功能梯度材料及其復(fù)合板在航天、航空、造船等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，其聲學(xué)性能也越來(lái)越受到人們的關(guān)注。

目前復(fù)合材料板的聲反射及吸聲問(wèn)題研究已較深入[1-5]，主要方法為傳遞矩陣法[1-4]及輸入阻抗遞推方法[5]。對(duì)于功能梯度材料結(jié)構(gòu)的傳聲問(wèn)題，Moghaddam[6]研究了上表面受簡(jiǎn)諧載荷的功能梯度材料板一維應(yīng)力波的傳播。Qian[7]研究了半無(wú)限大基襯上功能梯度材料層結(jié)構(gòu)的表面波傳播。楊德森等[8-9]采用傳遞矩陣法分析了材料阻抗梯度變化介質(zhì)對(duì)一維聲波吸聲性能的影響。尚爾昌[10]研究了漸進(jìn)變化的多層吸收介質(zhì)中的聲反射問(wèn)題。Seyyed等[11]采用傳遞矩陣法研究了功能梯度材料板的隔聲問(wèn)題。文獻(xiàn)[6,8-10]主要研究對(duì)象為聲波垂直或斜入射下梯度介質(zhì)中縱波傳播問(wèn)題，而當(dāng)聲波斜入射固體介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)中的橫波對(duì)傳聲的影響不可忽略。對(duì)于聲波斜入射情況，文獻(xiàn)[11]主要研究了功能梯度材料平板空氣中的隔聲特性。

回傳射線矩陣法最早是由Pao[12]在研究框架結(jié)構(gòu)中的波傳播問(wèn)題中提出的，該方法隨后被用于分析分層流體[13]以及分層固體[14]中的聲波傳播問(wèn)題。陳偉球[15]及郭永強(qiáng)[16]利用回傳射線矩陣法研究了功能梯度材料中彈性波的頻散特性。文獻(xiàn)[12-16]研究對(duì)象分別為分層流體或固體，而目前采用回傳射線矩陣法對(duì)流固介質(zhì)間聲傳播問(wèn)題分析尚比較少。

本文研究了半無(wú)限域彈性基襯上功能梯度材料層結(jié)構(gòu)的聲反射及吸聲性能，將功能梯度材料層沿厚度方向上分層離散等效，并推導(dǎo)了流固界面處及功能梯度層與基襯連接處的聲波局部散射矩陣及各分層的相位偏移矩陣，然后組裝得到關(guān)于各分層材料波幅的總體矩陣方程，最終求解功能梯度材料層的反射系數(shù)及吸聲系數(shù)，拓展了回傳射線矩陣法的應(yīng)用。通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析了材料參數(shù)沿厚度指數(shù)型式變化的功能梯度材料層的材料梯度、入射角、基襯材料參數(shù)等因素對(duì)聲系數(shù)的影響規(guī)律。

1 基本理論

1.1 分層間局部散射矩陣

考察圖1所示的功能梯度材料（FGM）層結(jié)構(gòu)，其中功能梯度材料層厚度為h，功能梯度材料層上表面處于半無(wú)限流體域中，下表面與半無(wú)限域基襯材料理想粘合，厚度方向上材料參數(shù)梯度變化。平面聲波從流體介質(zhì)入射，考察功能梯度材料層合結(jié)構(gòu)的聲反射及吸聲情況。

圖1 功能梯度材料層分層示意圖Fig.1 Division diagram of functionally graded material layer

為便于分析，考慮x-z平面內(nèi)的二維應(yīng)力狀態(tài)，并將梯度材料層沿厚度方向分為若干子層，如圖1（b）所示。當(dāng)分層數(shù)足夠多、每層的厚度足夠薄時(shí)，該層材料參數(shù)變化很小，可視為均勻材料[15]，各子層之間的材料參數(shù)階梯變化，進(jìn)而等效材料的梯度連續(xù)變化。在各分層上下表面建立如圖1（b）的兩個(gè)局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)系x-zii-（）1的上標(biāo)表示該坐標(biāo)系位于第i個(gè)分層界面上，且指向第（i-1）個(gè)分層界面。

根據(jù)彈性介質(zhì)波動(dòng)力學(xué)方程及分層界面處的應(yīng)力及位移協(xié)調(diào)條件，可得介質(zhì)中的聲波在界面處的散射矩陣方程[15]

式中：k為沿x方向的波數(shù)，αi及βi分別為第i層材料縱波和橫波在z方向上的波數(shù)，λi及μi為第i層材料的拉密常數(shù)。各分層縱波及橫波波速分別為和，由 Snell定律，各個(gè)分層中縱波和剪切波在z方向上波數(shù)的分量分別為和，考慮材料的損耗因子時(shí)，將彈性模量復(fù)數(shù)化，即楊氏模量變?yōu)镋?=（1+i ）η E，并計(jì)算材料的拉密常數(shù)。令，則（1）式可寫(xiě)成di=Siai，稱Si為第i個(gè)界面處的局部散射矩陣。

1.2 FGM表層散射矩陣

功能梯度材料層上表面為半無(wú)限域流體，不考慮流體粘性，則聲場(chǎng)中只包含縱波，局部坐標(biāo)系下縱波的標(biāo)量聲勢(shì)為

流場(chǎng)中的質(zhì)點(diǎn)的z向速度及聲壓p為

功能梯度材料層上表面處，由流體介質(zhì)與固體介質(zhì)的法向速度協(xié)調(diào)及聲壓與應(yīng)力的協(xié)調(diào)：

根據(jù)（5）、（6）式，結(jié)合第1分層中的波動(dòng)方程[15]，消去反射聲勢(shì)Φr得到入射聲勢(shì)Φi關(guān)于界面0處分離波與到達(dá)波波幅的關(guān)系

同理，通過(guò)消去入射聲勢(shì)Φi，可以得到反射聲勢(shì)

功能梯度材料層上表面處，由于不考慮流體的粘性，界面處的剪應(yīng)力為零，

式中：矩陣 D0、A0及向量 I0分別為

功能梯度材料層與半無(wú)限域彈性基襯界面處，半無(wú)限彈性體只包含沿x-znn+（）1正向傳播的縱波及橫波，波幅分別為由（1）式消去得到關(guān)于及的矩陣方程。

1.3 分層內(nèi)相位偏移矩陣

根據(jù)1.1及1.2中的波動(dòng)連續(xù)條件建立了關(guān)于功能梯度材料層各分層材料中波幅的矩陣方程，其包含有4n個(gè)方程，8n個(gè)未知變量，要得到各分層的波幅，還需要增加方程個(gè)數(shù)。補(bǔ)充方程主要根據(jù)功能梯度材料層各分層材料內(nèi)部的波幅的相位偏移關(guān)系，即在功能梯度材料層某個(gè)分層中，一側(cè)邊界上的分離波到達(dá)另一側(cè)邊界時(shí)為到達(dá)波，兩者的幅值之間存在著相位偏移的關(guān)系，由此可以建立起各分層內(nèi)到達(dá)波和分離波的幅值關(guān)系，如（13）式所示。對(duì)于n個(gè)分層，可補(bǔ)充4n個(gè)方程

寫(xiě)成矩陣形式如下式所示：

矩陣Pi建立了各分層內(nèi)到達(dá)波和分離波的幅值關(guān)系，稱為局部相位矩陣。

1.4 全局矩陣與聲系數(shù)

1.1～1.3中分別得到分層界面處的聲波散射矩陣Si及分層內(nèi)部的相位偏移矩陣Pi，分別定義波幅向量，如下式所示：

式中：d和a分別為包含所有分層界面處的分離波、到達(dá)波的波幅向量。令則根據(jù)（1）、（10）、（12）式和（14）式，波幅關(guān)系可由下式表示：

S和P為分塊對(duì)角陣，如下式，分別稱為全局散射矩陣及全局相位矩陣：

關(guān)于a和d的方程（17）可以用矩陣形式表示，如下式所示：

矩陣方程 （19）建立了功能梯度材料各分層處的到達(dá)波和發(fā)出波之間的矩陣方程，式中的E為4n×4n的單位陣。求解該矩陣方程，得到d和a，再由（8）式求功能梯度層結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)，反射系數(shù)R及吸聲系數(shù)a的表達(dá)式為

2 數(shù)值分析

2.1 方法驗(yàn)證

考察圖1所示的無(wú)限大功能梯度材料層結(jié)構(gòu)的聲系數(shù)，材料參數(shù)如表1所示，聲入射面材料特性阻抗與水接近，沿厚度z方向材料拉密系數(shù)λ、μ滿足指數(shù)型式函數(shù)分布[7]，材料的特性阻抗為Z。表1中指數(shù)項(xiàng)中的常數(shù)P取不同值，材料參數(shù)隨厚度變化的梯度不同，稱P為梯度指數(shù)。

表1 功能梯度材料層與基襯材料參數(shù)Tab.1 Material property of functionally grade material layer and substrate material

為了驗(yàn)證本文方法，采用本文方法及文獻(xiàn)[5]中的方法計(jì)算表1中P=0的均勻材料層的反射系數(shù)及吸聲系數(shù)，均勻?qū)拥暮穸葹?.1 m，材料參數(shù)見(jiàn)表1，圖2所示的是兩種方法得到的反射系數(shù)及吸聲系數(shù)的曲線對(duì)比。

圖2 文獻(xiàn)方法與本文方法反射系數(shù)與吸聲系數(shù)對(duì)比Fig.2 Comparison of reflection and absorption coefficient in respect to reference and present method

由圖2可見(jiàn)，本文方法得到的反射系數(shù)及吸聲系數(shù)的結(jié)果同文獻(xiàn)方法結(jié)果吻合得較好，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性。為進(jìn)一步驗(yàn)證功能梯度材料層的分層數(shù)n對(duì)聲系數(shù)影響，對(duì)P=10功能梯度材料層結(jié)構(gòu)，分別采用文獻(xiàn)[5]方法及本文方法計(jì)算30 kHz聲波垂直入射時(shí)不同分層數(shù)n時(shí)的反射系數(shù)，如圖3所示。

由圖3可見(jiàn)，本文方法計(jì)算反射系數(shù)收斂較快，當(dāng)n=50時(shí)反射系數(shù)結(jié)果已趨于穩(wěn)定；采用文獻(xiàn)[5]的方法計(jì)算反射系數(shù)隨著n值的收斂緩慢，當(dāng)n=1 000時(shí)才近似收斂于本文方法得到的結(jié)果。對(duì)比表明本文方法不僅結(jié)果準(zhǔn)確，且在較少分層數(shù)即可收斂得到反射系數(shù)的準(zhǔn)確值。

圖3 反射系數(shù)隨分層數(shù)n變化曲線Fig.3 Reflection coefficient change in respect to different layer number n

2.2 垂直入射下梯度指數(shù)影響

以表1中的功能梯度材料層結(jié)構(gòu)為計(jì)算模型，為比較聲波垂直入射時(shí)不同梯度指數(shù)對(duì)反射系數(shù)的影響，分別計(jì)算不同P值的反射系數(shù)和吸聲系數(shù)，如圖4。

圖4 聲波垂直入射不同P值功能梯度材料層結(jié)構(gòu)聲系數(shù)對(duì)比Fig.4 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different P and vertical incident waves

當(dāng)P=0，功能梯度材料層變?yōu)榫|(zhì)材料層，由圖4，在低頻段，聲波波長(zhǎng)相對(duì)于層厚較長(zhǎng)，均質(zhì)材料與功能梯度材料對(duì)聲波傳播的差異并不明顯，反射系數(shù)與吸聲系數(shù)差別較??；隨著頻率增加，由于入射波與反射波的疊加，均質(zhì)材料層結(jié)構(gòu)聲系數(shù)曲線呈周期性振蕩變化，且諧振峰值基本不變。當(dāng)P=15，反射系數(shù)曲線隨頻率增加呈現(xiàn)振蕩衰減的趨勢(shì)，吸聲系數(shù)振蕩上升并趨于穩(wěn)定。在10 kHz以上的較寬頻帶范圍內(nèi)，表層為功能梯度材料層的結(jié)構(gòu)相比于均勻材料層結(jié)構(gòu)反射系數(shù)降低，吸聲系數(shù)增加，且幅值的變化超過(guò)0.3。

圖5給出了材料的梯度指數(shù)P變化時(shí)z方向上材料與水的特性阻抗比（Z/Zw）隨坐標(biāo)變化曲線。由圖5，隨著梯度指數(shù)P增加，功能梯度材料層z=0處的材料特性阻抗與水接近且保持不變，z=h處特性阻抗與水阻抗比隨之增大。

圖5 不同梯度指數(shù)厚度方向材料特性阻抗分布曲線Fig.5 Impedance distribution in thickness direction of different gradient index

由圖5，均質(zhì)材料與功能梯度材料層結(jié)構(gòu)聲系數(shù)的差異主要是由于功能梯度材料層實(shí)現(xiàn)了材料參數(shù)的梯度漸變。功能梯度材料層在迎聲面處的材料特性阻抗與水比較接近，使得聲波更加容易進(jìn)入功能梯度材料層，同時(shí)沿厚度方向上材料阻抗逐漸從迎聲面處的低阻抗過(guò)渡到基襯材料的高阻抗，避免了阻抗突變引起的強(qiáng)反射，且在與背襯材料連接位置由于阻抗的匹配減小了聲波反射，因此具有較小的反射系數(shù)及較大的吸聲系數(shù)。功能梯度材料層厚度方向上相當(dāng)于多層不同阻抗的材料共同作用，這種漸進(jìn)過(guò)渡結(jié)構(gòu)相比于均勻材料層具備寬頻帶的吸聲能力。

此外，P值逐漸增加也會(huì)對(duì)反射系數(shù)產(chǎn)生影響。由圖4，P值逐漸增加對(duì)低頻段內(nèi)的反射系數(shù)及吸聲系數(shù)影響較?。辉谥懈哳l段，P由10增加到15時(shí)反射系數(shù)減小，P值繼續(xù)增加到20時(shí)，反射系數(shù)反而增大。由于聲波入射位置處材料參數(shù)不變，而P主要影響z＞0處材料的參數(shù)分布，當(dāng)P=15時(shí)，功能梯度材料層在z=h處材料的特性阻抗同背襯材料的阻抗差異最小，能夠最大程度減弱該處聲波反射。當(dāng)P值過(guò)大或過(guò)小均會(huì)引起背襯處材料的特性阻抗失配，使梯度層與基襯介質(zhì)連接處反射增加，故P=15時(shí)功能梯度材料層結(jié)構(gòu)具有最佳的聲學(xué)性能。

2.3 斜入射下梯度指數(shù)的影響

以表1中的功能梯度材料層結(jié)構(gòu)為計(jì)算模型，考察聲波斜入射時(shí)不同P對(duì)反射系數(shù)及吸聲系數(shù)的影響。圖6為聲波30°斜入射下P=5、10、15以及20時(shí)反射系數(shù)及吸聲系數(shù)對(duì)比曲線。

圖6 聲波斜入射不同P值功能梯度材料層聲系數(shù)對(duì)比Fig.6 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different P and oblique incident waves

由圖6，聲波斜入射時(shí)，在中高頻段P=15的功能梯度材料層具有最小的反射系數(shù)及最大的吸聲系數(shù)。斜入射聲波在功能梯度材料層及基襯中同時(shí)誘發(fā)橫波及縱波，由于功能梯度材料層中材料參數(shù)沿厚度方向具有非均勻性，橫波及縱波在不同分層間傳播時(shí)會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)化。（12）式中的散射矩陣描述了功能梯度材料層與基襯連結(jié)處的聲波在該位置的散射情況。當(dāng)P=15時(shí)，散射矩陣Sn近似為0矩陣，即功能梯度材料層中的橫波及縱波均能無(wú)反射地穿過(guò)功能梯度材料層與基襯材料的界面(圖1中界面n）入射到基襯材料中，進(jìn)而減小了功能梯度層結(jié)構(gòu)的反射。因此，中高頻段聲波斜入射時(shí)，P=15的功能梯度材料層結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)最小，吸聲系數(shù)最大。

2.4 入射角度的影響

以表1中的功能梯度材料層結(jié)構(gòu)為計(jì)算模型，圖7是入射角分別為0°、30°及60°時(shí)P=15的功能梯度材料層結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)及吸聲系數(shù)對(duì)比曲線。

圖7 不同入射角下功能梯度材料層結(jié)構(gòu)聲系數(shù)對(duì)比Fig.7 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different incident angle

由圖7，當(dāng)入射角從0°增加至30°，反射系數(shù)的諧振峰向高頻偏移，且對(duì)應(yīng)峰值相比于垂直入射時(shí)略??；在1 000 Hz以下的反射系數(shù)隨著入射角度逐漸增大先減小，后增大，吸聲系數(shù)先增大，后較小，表明梯度層的低頻吸聲效果隨入射角并不呈單調(diào)變化，這主要是入射角逐漸增加引起聲波在功能梯度材料層厚度方向的波數(shù)發(fā)生變化，反射聲波與入射聲波的疊加效應(yīng)引起；在10 kHz以上的中高頻段，小角度斜入射吸聲系數(shù)均趨近于1。入射角度60°時(shí)，1 000 Hz以下的較低頻段反射系數(shù)相比于30°斜入射值降低超過(guò)0.1，中高頻段的反射系數(shù)相比于30°斜入射時(shí)增大。圖7表明聲波斜入射角度較小時(shí)，反射系數(shù)及吸聲系數(shù)隨入射角變化不大，在中高頻段功能梯度層對(duì)斜入射聲波有較好的吸收作用。

2.5 梯度材料層厚度影響

假設(shè)基襯材料與功能梯度材料層界面處材料參數(shù)相同，如表2所示，且梯度指數(shù)P=15，考察不同功能梯度材料層厚度對(duì)反射系數(shù)及吸聲系數(shù)的影響。

表2 功能梯度材料層與基襯材料參數(shù)Tab.2 Material property of functionally grade material layer and substrate material

功能梯度材料層厚度h分別取0.05 m、0.10 m及0.15 m，并假設(shè)聲波垂直入射，如圖8所示的是不同h下反射系數(shù)及吸聲系數(shù)的對(duì)比曲線。

圖9給出了功能梯度材料層厚度h變化時(shí)z方向上材料的特性阻抗隨坐標(biāo)變化曲線。隨著功能梯度材料層厚度增加，迎聲面處的材料特性阻抗與水接近且保持不變，而基襯材料的特性阻抗與水阻抗比隨之增大。

由圖8可見(jiàn)，隨著功能梯度材料層厚度的增加，反射系數(shù)及吸聲系數(shù)的諧振峰更加密集，且諧振頻率向低頻偏移。較低頻段內(nèi)功能梯度材料層的厚度越薄，反射系數(shù)越小。由圖9可見(jiàn)，功能梯度層的厚度h還影響到基襯材料的參數(shù)。當(dāng)h=0.05時(shí)，基襯材料的特性阻抗約為水的兩倍，當(dāng)h=0.15時(shí)，基襯材料的阻抗約為水的10倍。低頻段聲波波長(zhǎng)較長(zhǎng)，反射系數(shù)及吸聲系數(shù)主要受到基襯材料特性阻抗的影響，厚度越小基襯材料的特性阻抗與水越匹配，聲波能夠更容易透過(guò)功能梯度層入射到基襯介質(zhì)中，低頻吸聲系數(shù)越大；隨著頻率增加，反射系數(shù)主要受功能梯度材料表層材料的特性阻抗影響，由于表層材料的特性阻抗與水匹配度較好，中高頻下不同厚度功能梯度材料層結(jié)構(gòu)均具有較高的吸聲系數(shù)，不同背襯材料結(jié)構(gòu)的吸聲系數(shù)趨于一致。

圖9 不同h厚度方向材料特性阻抗分布曲線Fig.9 Impedance distribution in thickness direction of different thickness h

3 結(jié)論

本文對(duì)半無(wú)限大基襯上的功能梯度材料層結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)及吸聲系數(shù)進(jìn)行了研究?；诨貍魃渚€矩陣法，建立了聲波經(jīng)由流體介質(zhì)及功能梯度材料層入射到半無(wú)限大基襯材料聲傳播理論模型，推導(dǎo)了功能梯度材料層結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性公式，分析了功能梯度材料層梯度指數(shù)、入射角、厚度等參數(shù)變化對(duì)反射系數(shù)及吸聲系數(shù)的影響，可為水下結(jié)構(gòu)聲隱身覆蓋層材料的參數(shù)設(shè)計(jì)提供參考，并得到以下結(jié)論：

（1）聲波垂直入射時(shí)，功能梯度材料層能夠?qū)崿F(xiàn)流體介質(zhì)與基襯材料介質(zhì)特性阻抗的平穩(wěn)過(guò)渡，使整個(gè)結(jié)構(gòu)在中高頻范圍內(nèi)均具備優(yōu)良的聲學(xué)性能，相比于均質(zhì)材料層結(jié)構(gòu)提高寬頻帶的吸聲特性；

（2）聲波斜入射時(shí)，功能梯度材料層材料參數(shù)的漸變特性消除了橫波和縱波在材料界面處的強(qiáng)反射，使斜入射下的功能梯度材料層結(jié)構(gòu)仍然具有較低的反射系數(shù)及較高吸聲系數(shù)，具備斜入射下較優(yōu)的聲學(xué)性能；

（3）彈性基襯材料主要影響功能梯度層結(jié)構(gòu)的低頻吸聲性能，聲波垂直入射時(shí)，基襯材料的特性阻抗與水越接近有利于提高低頻段吸聲性能，隨著頻率增加，反射系數(shù)主要由功能梯度材料表層材料的特性阻抗決定，中高頻下的不同背襯材料結(jié)構(gòu)的吸聲系數(shù)趨于一致。

附 錄

式中：矩陣元素Dn中的元素分別為：

矩陣元素An中的元素分別為：

式中：λn、μn分別為功能梯度材料層的第n個(gè)分層中的拉密系數(shù)，αn、βn為第n個(gè)分層材料中z方向上縱波及橫波的波數(shù)；λn+1、μn+1分別為基襯材料的拉密系數(shù)，αn+1、βn+1為基襯材料中z方向上縱波及橫波的波數(shù)。