◇邊 靖

在我的理解中，應(yīng)用意識(shí)是一種主動(dòng)建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系的意識(shí)，是一種數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)用意識(shí)主要體現(xiàn)為：面對(duì)現(xiàn)實(shí)，有從數(shù)學(xué)的視角提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)；面對(duì)問(wèn)題，有用數(shù)學(xué)的方式思考和表達(dá)的意識(shí)，有用數(shù)學(xué)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力；面對(duì)數(shù)學(xué)，有主動(dòng)應(yīng)用于生活的意識(shí)。

為體現(xiàn)這樣的理解，我以北師大版教材六年級(jí)上冊(cè)“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用（一）”為載體，嘗試引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)可感的學(xué)習(xí)體驗(yàn)中發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。從教材的內(nèi)容呈現(xiàn)看：“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用（一）”的數(shù)量關(guān)系是“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)增加百分之幾”。這樣的關(guān)系在生活中可以刻畫很多現(xiàn)象或事實(shí)，只是存在的形式不太一樣。這樣的內(nèi)容如果只是當(dāng)作數(shù)量關(guān)系來(lái)學(xué)習(xí)，而學(xué)生不知道知識(shí)的來(lái)龍去脈，則學(xué)生很難感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，更不能發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。北師大版教材在情境創(chuàng)設(shè)上，提供了一個(gè)很好的素材，即“水結(jié)成冰，體積增加百分之幾”的實(shí)際情境。我想“增加百分之幾”的數(shù)量關(guān)系恰好可以很好地刻畫水結(jié)成冰體積的變化，讓學(xué)生感受百分?jǐn)?shù)在刻畫生活現(xiàn)象或作出某種判斷的過(guò)程中發(fā)揮的作用，進(jìn)而體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

怎樣從數(shù)學(xué)的視角引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“水結(jié)成冰，體積增加”這樣一個(gè)習(xí)以為常的生活現(xiàn)象，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的方式刻畫這一變化呢？為此，我選擇了讓學(xué)生親歷水結(jié)成冰的情境。讓學(xué)生在課前親自將水結(jié)成冰，并記錄水和冰的體積數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生帶著自己的真情實(shí)感，關(guān)注水結(jié)成冰后體積的變化和解決水結(jié)成冰現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、結(jié)合操作實(shí)際，聚焦數(shù)學(xué)問(wèn)題

1.關(guān)注生活實(shí)驗(yàn)，收集數(shù)學(xué)信息。

學(xué)生興致勃勃地帶著自己課前結(jié)成的冰和記錄單走進(jìn)課堂，但冰有點(diǎn)兒化了，學(xué)生有點(diǎn)兒失望，我順勢(shì)鼓勵(lì)他們：“冰雖然有點(diǎn)兒化了，但不要緊，因?yàn)槟銈兌际怯行娜耍P(guān)注到了水結(jié)成冰過(guò)程中的變化，也記錄了數(shù)據(jù)?！?/p>

之后組織學(xué)生反饋他們記錄的數(shù)據(jù)。板書：

2.分析生活現(xiàn)象，聚焦數(shù)學(xué)問(wèn)題。

這些數(shù)據(jù)來(lái)自學(xué)生真實(shí)的實(shí)驗(yàn)，他們很愿意反饋?zhàn)约旱男畔?。通過(guò)反饋，學(xué)生很容易關(guān)注到“水結(jié)成冰，體積增加了”這一生活現(xiàn)象，此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角觀察這個(gè)現(xiàn)象。

師：原來(lái)水的體積是這么多，結(jié)成冰之后，體積變成了這么多，我們從數(shù)學(xué)的視角來(lái)看看，你想研究什么？

學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從對(duì)直觀、表面的現(xiàn)象的感性關(guān)注，轉(zhuǎn)變?yōu)殚_(kāi)始將零散的信息進(jìn)行整合，進(jìn)行理性思考。學(xué)生能夠提出可研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用意識(shí)在悄然發(fā)展。

生1：水結(jié)成冰，體積能增加多少？

生2：體積增加了幾分之幾？

生3：體積增加了百分之幾？

學(xué)生的思考已經(jīng)從兩個(gè)單獨(dú)的量，進(jìn)入了量與量之間的關(guān)系，在他們關(guān)注的關(guān)系中，有“多少”這樣的具體數(shù)量關(guān)系，也有“分率”這樣的倍比關(guān)系。具體數(shù)量關(guān)系可以直接刻畫多少，而倍比關(guān)系則刻畫兩個(gè)量之間的相對(duì)關(guān)系。在刻畫“水結(jié)成冰，體積增加”這一變化時(shí)，顯然倍比關(guān)系更合適，通過(guò)對(duì)比判斷可以讓學(xué)生體會(huì)“倍比”關(guān)系的應(yīng)用價(jià)值。

師：你們想研究的關(guān)系中，有數(shù)量關(guān)系，還有百分率關(guān)系，哪個(gè)用來(lái)描述水結(jié)成冰后體積的變化比較合適呢？發(fā)表一下你們的看法。

生1：用增加百分之幾合適。“增加了多少”針對(duì)的是個(gè)體，“增加了百分之幾”則表示可以進(jìn)行比較，得到一個(gè)大概的數(shù)。因?yàn)樗捏w積是不一樣的，所以研究增加百分之幾好。

生2：“增加了多少”，有可能僅僅是針對(duì)100立方厘米的水測(cè)量的，但對(duì)于200立方厘米的水就不一定是了，不如研究增加百分之幾實(shí)用。

生3：水的量不是都一樣，所以數(shù)量差也不一樣，但百分比可能一樣。

學(xué)生能從變中尋找不變，這是數(shù)學(xué)研究中一個(gè)很重要的角度。抓住變中的不變恰好可以體現(xiàn)學(xué)生在從聚焦關(guān)系到辨析關(guān)系的過(guò)程中，對(duì)倍比關(guān)系的直覺(jué)及理性理解。

二、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，體會(huì)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用

如何利用學(xué)生收集到的如此多水和冰體積的數(shù)據(jù)，來(lái)得到“水結(jié)成冰，體積增加百分之幾”這一學(xué)生已經(jīng)感覺(jué)到可能不變的關(guān)系呢？我想還是先選擇一組數(shù)據(jù)，解決如何列式這個(gè)方法性的問(wèn)題。在學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，我設(shè)計(jì)了讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行思考和表達(dá)的活動(dòng)。讓學(xué)生利用圖直觀表征水和冰的關(guān)系、分析數(shù)量關(guān)系，再利用圖理解不同解題方法的含義、建立不同算式間的聯(lián)系，力圖讓直觀圖在分析、理解中發(fā)揮支撐作用。

1.單一數(shù)據(jù)計(jì)算，形成解決方法。

師：我們采用這位同學(xué)的數(shù)據(jù)（水：110立方厘米，冰：120立方厘米），想辦法算一算，水結(jié)成冰的過(guò)程中，它們的體積會(huì)存在怎樣的百分率關(guān)系？

學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考之后，呈現(xiàn)了不一樣的方法（如圖1和圖2）。

圖1

圖2

從學(xué)生畫的圖中，我們可以看到，水結(jié)成冰的過(guò)程在學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中起到了很好的支撐作用。因?yàn)閷W(xué)生親歷了水結(jié)成冰的實(shí)驗(yàn)，所以水結(jié)成冰的過(guò)程變得可視、可感。這樣有利于學(xué)生體會(huì)計(jì)算“增加百分之幾”的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是“水的體積”。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能將生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的直觀表征，進(jìn)而應(yīng)用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，這恰好是應(yīng)用意識(shí)的一個(gè)表現(xiàn)。

2.不同數(shù)據(jù)計(jì)算，關(guān)注現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

結(jié)合一組數(shù)據(jù)，學(xué)生有了解決“增加百分之幾”的本領(lǐng)，但實(shí)際問(wèn)題是，他們收集的數(shù)據(jù)不盡相同，只用一組數(shù)據(jù)得到的結(jié)果，就是生活中水結(jié)成冰后體積增加的百分比嗎？如果不是，又該怎樣利用手中的數(shù)據(jù)呢？這些問(wèn)題值得學(xué)生關(guān)注，也值得學(xué)生深入思考。

師：我們是不是可以得出結(jié)論，水結(jié)成冰，體積一定增加9.1%？

生1：這也許是一組特殊的數(shù)據(jù)，需要多試幾組，如果9.1%多的話，就可以把其他的視為不正常的數(shù)據(jù)。

生2：只算出這一個(gè)不太精準(zhǔn)，需要多算幾個(gè)，再算平均數(shù)。否則不太嚴(yán)謹(jǐn)。

生3：只要不是科學(xué)數(shù)據(jù)，怎么都會(huì)有些誤差，所以需要多算算，比如，170和185這組，也得算，然后取平均值。

從學(xué)生的發(fā)言中，可以清晰地看到數(shù)據(jù)分析觀念在學(xué)生分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中，不斷得到應(yīng)用。學(xué)生真的很棒，他們面對(duì)數(shù)據(jù)，主動(dòng)想辦法分析和處理數(shù)據(jù)。眾數(shù)、平均數(shù)這些散落在他們學(xué)習(xí)歷程中的知識(shí)，此時(shí)不斷被提及、被利用。隨后，學(xué)生分小組計(jì)算數(shù)據(jù)，輸入電腦中的Excel軟件之后，我沒(méi)有按學(xué)生的辦法馬上算平均數(shù)。

師：我們先別急著算平均數(shù)，先看看這些數(shù)據(jù)，你有什么想說(shuō)的嗎？

生1：總覺(jué)得5%有點(diǎn)兒不正常，差得太多了。

師：你們覺(jué)得呢？這個(gè)數(shù)據(jù)是誰(shuí)的？能和大家分享一下你的原始數(shù)據(jù)嗎？

生2：我用的水的體積是100立方厘米，冰的體積是105立方厘米，現(xiàn)在想想，我開(kāi)始倒的水的體積可能比100立方厘米少，我沒(méi)平著看，可能不準(zhǔn)。

……

學(xué)生從對(duì)一些“特殊數(shù)據(jù)”的質(zhì)疑開(kāi)始，誠(chéng)實(shí)地反思自己收集數(shù)據(jù)的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅主動(dòng)將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，更養(yǎng)成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

3.呈現(xiàn)科學(xué)數(shù)據(jù)，反思解決過(guò)程。

課件呈現(xiàn)：在常壓環(huán)境下，0℃的水結(jié)成冰后，體積大約會(huì)增加11.1%。

當(dāng)孩子正興奮于自己的研究成果時(shí)，我出示了科學(xué)結(jié)果。學(xué)生頓時(shí)有點(diǎn)兒失落。這時(shí)的反思是十分必要的。一方面，可以分析與科學(xué)數(shù)據(jù)產(chǎn)生差距的原因；另一方面，可以分析經(jīng)歷得到結(jié)果的過(guò)程中所收獲的經(jīng)驗(yàn)、所增長(zhǎng)的本領(lǐng)。

師：和咱們的研究成果相比較，你有什么想說(shuō)的？

生1：我覺(jué)得我們錯(cuò)了，我們?cè)谟^察數(shù)據(jù)時(shí)一定有誤差，不夠準(zhǔn)確，使得我們的結(jié)果和科學(xué)數(shù)據(jù)有差距。

生2：我覺(jué)得我們做得夠不錯(cuò)的了，我們是用肉眼觀察的，我們得到的結(jié)果和科學(xué)數(shù)據(jù)差得并不多。

師：我也覺(jué)得你們做得很不錯(cuò)，知道你們了不起在哪兒?jiǎn)幔?/p>

生1：我們收集了很多數(shù)據(jù)，然后用平均數(shù)找到了一個(gè)大致的結(jié)果，雖然不準(zhǔn)確，但知道了大概。

生2：我們用增加百分之幾描述水結(jié)成冰后體積的變化是成功的。

師：其實(shí)，百分?jǐn)?shù)能幫我們刻畫很多現(xiàn)象，或幫我們作很多判斷。

三、拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)

出示圖3和圖4：

圖3

圖4

帶領(lǐng)學(xué)生跳出水結(jié)冰的生活情境，使他們體會(huì)百分?jǐn)?shù)在生活中更廣泛的應(yīng)用，樹(shù)立大的應(yīng)用觀。

整節(jié)課，學(xué)生從真實(shí)的生活體驗(yàn)出發(fā)，收集真實(shí)的數(shù)據(jù)，在對(duì)“真實(shí)”的研究中遇到真困難，就試著畫直觀圖來(lái)分析、理解數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)中的數(shù)據(jù)處理方式解決數(shù)據(jù)問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)真正的問(wèn)題解決過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，他們感受到了數(shù)學(xué)中“增加百分之幾”這樣一個(gè)關(guān)系不僅可以刻畫水結(jié)成冰后體積的變化，還可以解釋或刻畫生活中的很多事實(shí)。他們嘗試從數(shù)學(xué)的視角出發(fā)，在遇到問(wèn)題時(shí)，用數(shù)學(xué)表達(dá)，用數(shù)學(xué)分析，用數(shù)學(xué)作判斷。