常學(xué)武，趙靜，靳平

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

設(shè)G為任意一個有限群,N?G為G的正規(guī)子群,并且ψ∈Irr(G)為N的一個不可約復(fù)特征標(biāo)。按照Dade和Loukaki在文獻(xiàn)[1]中的術(shù)語,則稱T=(G,N,ψ)為一個三元組。文獻(xiàn)[1]引入了三元組T的線性約化和線性極限等一系列基本概念,主要結(jié)果是證明了T的所有線性極限都是等價的,相關(guān)概念和結(jié)果我們將在下節(jié)給予簡介。

事實上,三元組的極限理論產(chǎn)生于研究M-群的正規(guī)子群的單項性問題。熟知M-群是可解群中非常重要的一類群,其不可約特征標(biāo)都是單項的,即均可從子群的線性特征標(biāo)誘導(dǎo)得到。關(guān)于M-群還有很多重要的問題和猜想至今尚未得以解決,其中最著名的也許是1967年Dornhoff 在[2]中提出了關(guān)于M-群的兩個猜想:

(1)M-群的正規(guī)子群均為M-群

(2)M-群的Hall子群均為M-群

迄今為止,這兩個猜想激發(fā)了關(guān)于單項特征標(biāo)的很多深刻的研究,并取得了若干重要結(jié)果。首先是1973年Dade在[3]中構(gòu)造了一個反例,指出了偶數(shù)階M-群的正規(guī)子群可以不是M-群。進(jìn)而,在2005年Fukushima在[4]中也找到了反例,說明M-群的Hall子群也可以不是M-群。目前尚未找到奇數(shù)階群的正規(guī)子群反例,但有很多階段性結(jié)果支持上述猜想(1)很可能對奇數(shù)階群是成立的,即奇數(shù)階M-群的正規(guī)子群仍為M-群。特別值得一提的是,Loukaki在博士論文[5]中證明了當(dāng)群G的階恰能被兩個奇素數(shù)整除時,則該猜想成立。但證明相當(dāng)復(fù)雜,長達(dá)200多頁。為此,Loukaki于2006年在[6]中發(fā)表了一個特殊情形的證明,而Lewis同年在[7]中也發(fā)表了一個相對簡單的證明。

為了找到更為簡單的證明,Dade和Loukaki在2004年創(chuàng)立了特征標(biāo)的線性極限理論,得到了線性極限的等價性,給出了Loukaki的M-群定理的巨大簡化,核心思想是證明相關(guān)的三元組具有冪零的線性極限。我們發(fā)現(xiàn)線性極限是一種有效的特征標(biāo)證明技術(shù)還可以用來改進(jìn)和推廣關(guān)于M-群的許多經(jīng)典結(jié)果,見文獻(xiàn)[8]。此外,在[9]中將上述三元組的線性極限,推廣到Isaacs的特征標(biāo)五元組,并獲得了關(guān)于單項性和雙曲性的若干結(jié)論。

本文重點考察一個給定的三元組T=(G,N,ψ)的線性極限T′=(G′,N′,ψ′),通過引入該三元組的Fitting子三元組T*=(G,N*,ψ*),我們證明了所謂三元組T的線性約化,本質(zhì)上只能是對其Fitting子三元組T*做線性約化,通過研究T*,即可獲得當(dāng)T沒有冪零的線性極限時,相應(yīng)的極限截面N′/Z(T′)具有的很強結(jié)構(gòu)信息。特別是其中蘊含著一個反迷向的可控的Isaacs特征標(biāo)五元組Ce,具體內(nèi)容見本文主要定理1。事實上,本文主要結(jié)果是得到了關(guān)于三元組線性極限的更為精細(xì)的結(jié)構(gòu)定理,作為應(yīng)用,給出了Dade著名的單項特征標(biāo)定理的一個加強,見定理2。

本文使用的群論和特征標(biāo)符號見[10],但群G的導(dǎo)群或稱換位子群記為[G,G],我們將用G′表示另外一個群。

1 預(yù)備知識

為讀者方便,本節(jié)給出關(guān)于三元組線性極限的若干基本概念和結(jié)果,相關(guān)內(nèi)容參考[1]。

固定一個三元組T=(G,N,ψ),即N?G,并且ψ∈Irr(G),我們引入相關(guān)的定義。

·T的中心Z(T),定義為Z(ψG),在不引起混淆時,可記為Z。

·T的中心特征標(biāo)ζ(T),即ψ(G)在Z(T)上限制的唯一的不可約分量,顯然是G-不變的線性特征標(biāo),簡記為ζ,我們稱(Z,ζ)為T的中心特征標(biāo)對。事實上,不難證明三元組的中心Z是包含在N中的G的唯一極大正規(guī)子群,使得ψ∈Irr(N)在Z上的限制為一個G-不變的線性特征標(biāo)的倍數(shù)。

·T的核Ker(T),定義為Ker(ψG)=CoreG(Kerψ)=Ker(ζ).如果Ker(T)=1，等價于說中心特征標(biāo)ζ是忠實的,則稱T是一個忠實的三元組。

·T的截面,定義為N/Z(T)=N/Z.

·T的線性約化:任取正規(guī)子群L?G和線性特征標(biāo)λ∈Irr(L),使得L≤N且λ在ψ的下方。我們記T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ),稱T(λ)為T的一個線性約化,其中Gλ表示λ在G中的慣性群Nλ=N∩Gλ為λ在N中的慣性群ψλ表示ψ關(guān)于λ的Clifford對應(yīng)。相關(guān)的特征標(biāo)見圖1。

(N,ψ)→NGλ→G

Ind ↑ ↑

(L,λ)→ (Nλ,ψλ)→Gλ

Fig.1 Linear reduction

圖1 線性約化

·T的線性極限:記T0=T,設(shè)T1=T(λ)為T的一個線性約化,再做T1的一個線性約化T2=T1(λ1),重復(fù)該過程可得到一個線性約化序列:

T=T0,T1,…,Tn=T′

稱T′為T的一個多重線性約化。如果T′沒有真線性約化,亦即T′的每個線性約化只能是其自身,則稱T′為T的一個線性極限。

·T的冪零性:如果T的截面N/Z(T)是冪零群,則稱T為冪零的。如果T有一個線性極限T′,其截面是冪零群,則稱T有一個冪零的線性極限。

一個三元組T可以有很多線性極限,根據(jù)文獻(xiàn)[1]的主定理,可知所有的線性極限都是等價的。在此我們不擬給出關(guān)于線性極限等價性的復(fù)雜定義,我們僅僅強調(diào)一個較弱的結(jié)論:即一個三元組的任意兩個線性極限,都具有同構(gòu)的截面,即極限截面是三元組的線性約化不變量。特別地,據(jù)此可知如果三元組T的一個線性極限是冪零的,則其所有的線性極限都是冪零的。

我們需要判別一個三元組何時是線性不可約的,即其每個線性約化只能是自身。

引理1 設(shè)T=(G,N,ψ)為一個三元組,則T是線性不可約的當(dāng)且僅當(dāng)Z(T)/Ker(T)是G/Ker(T)的包含在N/Ker(T)中的唯一極大交換正規(guī)子群。特別地,此時Z(T)/Ker(T)是N/Ker(T)的中心。

證明見文獻(xiàn)[1]中命題3.10。

在證明本文主要定理時,我們需要下述著名的Thompson定理,描述了如何從互素群作用環(huán)境中產(chǎn)生一個超特殊p-群,其證明可以參考任何一本標(biāo)準(zhǔn)的群論專著。

引理2 (Thompson)。設(shè)群A互素地作用在p-群P≠1上,使得[P,A]=P。如果A中心化P的每個交換特征子群,則下述成立:

(1)P′=Φ(P)=Z(P)=CP(A)為初等交換p-群,即P為非交換特殊p-群；

(2)如果Z(P)循環(huán),則P還是一個超特殊的p-群；

(3)如果p>2,則P的方次數(shù)exp(P)=p.

我們給出Isaacs特征標(biāo)五元組C=(G,K,L,θ,φ)的定義,即L≤K均為G的正規(guī)子群使得K/L為交換群φ∈Irr(L)和θ∈Irr(K)均為G-不變的,并且相互完全分歧,即θL=eφ且φK=eθ,其中e2=|K∶L|。特征標(biāo)五元組是研究可解群特征標(biāo)時經(jīng)常出現(xiàn)的基本環(huán)境,具有很多有用的結(jié)論,可參考相關(guān)的經(jīng)典文獻(xiàn)[11]。

最后,在給出Dade單項特征標(biāo)定理的加強時,我們需要使用深刻的Dade雙曲模定理,相關(guān)定義和證明,可見[12]中定理3.2。

引理3 (Dade)設(shè)F為有限域,特征為奇素數(shù)p，G為一個p-可解群，V是一個辛FG-模，并且H≤G具有p冪指數(shù)。如果V是雙曲的FH-模,則V也是雙曲的FG-模。

2 主要結(jié)果

我們先引入一個三元組的Fitting子組的概念

設(shè)T=(G,N,ψ)為任意三元組,記N*/Ker(T)=F(N/Ker(T)),則N*?G.任取ψ在N*的一個不可約分量ψ*,則稱三元組T*=(G,N*,ψ*)為T的一個Fitting子三元組,或簡稱為T的一個Fitting子組。

根據(jù)Clifford定理,則ψ*的不同選取相差一個N-共軛,故T的所有Fitting子組彼此是N-共軛的,即共軛唯一。下述結(jié)果表明,對一個三元組T所做的線性約化,本質(zhì)上發(fā)生在其一個Fitting子組T*的內(nèi)部,其實是對該子組所做的線性約化。

命題1 設(shè)T=(G,N,ψ)為任意三元組T*=(G,N*,ψ*)為T的一個Fitting子組,任取L?G和線性特征標(biāo)λ∈Irr(L),使得L≤N且λ在ψ下方,則L≤N*,并且做適當(dāng)?shù)墓曹椞鎿Q后,可要求λ在ψ*的下方。由此表明T的線性約化T(λ)可由T*的線性約化T*(λ)唯一決定,特別地，T是線性不可約的當(dāng)且僅當(dāng)T*也是線性不可約的。

證明因為λ為線性特征標(biāo),故導(dǎo)群[L,L]≤Ker(λ)。顯然[L,L]?G且λ在ψ下方,根據(jù)Clifford定理,可知CoreG(Ker(λ))≤Ker(ψ),所以

[L,L]≤CoreG(Ker(λ))≤CoreG(Ker(ψ))=Ker(T).

據(jù)此可知L/Ker(T)為交換群,故包含在N/Ker(T)的Fitting子群里,按定義即L≤N*。因為ψ*在ψ的下方,而λ的N-共軛不改變線性極限的等價性,做適當(dāng)?shù)墓曹椞鎿Q后,可進(jìn)一步要求λ在ψ*的下方,此時又可做T*的線性約化T*(λ),根據(jù)[1]中命題4.5,則T(λ)可由所謂的T*(λ)-對應(yīng)唯一決定。最后,按定義T是線性不可約的當(dāng)且僅當(dāng)其每個線性約化T(λ)=T,亦即λ是G-不變的,顯然也等價于T*是線性不可約的。

定理1 設(shè)T=(G,N,ψ)是一個線性不可約的三元組,令(Z,ζ)為T的中心特征標(biāo)對。再假設(shè)T是忠實的，G為可解群,并且N為非交換群。則下述結(jié)論成立:

(1)Z=Z(F(N))

(2)ζ在F(N)上完全分歧。設(shè)γ∈Irr(F(N)|ζ),三元組T*=(G,F(N),γ)也是線性不可約的,此時T*恰為T的一個Fitting子組,并且

C=(G,F(N),Z,γ,ζ)

為一個反迷向的Isaacs特征標(biāo)五元組。

(3)對|F(N):Z|的每個素因子p,則Op(N)為廣義超特殊p-群。特別地，F(xiàn)(N)/Z的每個Sylow子群均為初等交換群。

(4)如果T不是冪零的三元組,亦即N/Z不冪零,則存在一個反迷向的特征標(biāo)五元組。

Ce=(G,E,Z(E),η,λ)

其中E?G是一個超特殊p-子群,對某個素數(shù)p，λ∈Irr(Z(E))在ψ下方,并η∈Irr(E|λ)也在ψ下方。進(jìn)而,存在一個p′-子群S≤F(N),使得ES?G且CE/Z(E)(S)=1,即Ce還是一個可控的特征標(biāo)五元組。如圖2所示。

(E,η)→EZ→F(N)→ (N,ψ)→G

FR↑ ↑ ↑

(Z(E),λ)→Z------------------→NG(S)

Fig.2 Controlled character-five

圖2 可控五元組

其中G=ENG(S),并且E∩NG(S)=CE(S)=E∩Z=Z(E).

證明(1)因為T是線性不可約的,并且中心特征標(biāo)Ker(ζ)=Ker(T)=1,根據(jù)引理1,則G的每個交換正規(guī)子群A,如果包含在N中,則必然包含在Z中。特別地,由于Z(F(N))≤N是N的交換特征子群,而N?G,故Z(F(N))顯然也是G的交換正規(guī)子群,所以Z(F(N))≤Z。另一方面,注意到T的忠實性意味著ζ是忠實的G-不變的線性特征標(biāo),迫使Z≤Z(G),更有Z≤Z(F(N)),故二者相等。

按假設(shè)G是可解群,故N也可解,現(xiàn)在N非交換,所以N>Z,即N/Z為非平凡的可解群,熟知其Fitting子群F(N/Z)>1.但Z≤Z(G)∩N≤Z(N),故F(N)/Z=F(N/Z)>1,所以Z

如果F(N)/Z不是交換群,由于Z=Z(F(N)),則F(N)的冪零類大于2。假設(shè)F(N)的冪零類為n,按定義F(N)n+1=1但F(N)n>1,在此我們使用記號F(N)i表示F(N)的下中心列的第i項,即F(N)i=[F(N),…,F(N)]為i個F(N)做換位子。考慮該下中心列的倒數(shù)第三項F(N)n-1,一方面,根據(jù)多重?fù)Q位子性質(zhì),可知[F(N)n-1,F(N)n-1]≤F(N)2n-2,但n≥3,故2n-2≥n+1,表明F(N)2n-2≤F(N)n+1=1,即F(N)n-1是N的交換子群,顯然還是特征子群。另一方面,根據(jù)T的線性不可約假設(shè),可知F(N)n-1≤Z=Z(F(N)),此時

F(N)n=[F(N)n-1,F(N)]≤[Z(F(N)),F(N)]=1

矛盾,由此即證F(N)/Z為交換群。

(2)因為T是忠實的三元組,等價于說ζ∈Irr(Z)是忠實的線性特征標(biāo),任取γ∈Irr(F(N))在ζ的上方,根據(jù)(1)可知Z(F(N))=Z,則

Kerγ∩Z(F(N))=Kerγ∩Z=Kerζ=1.

熟知冪零群的非平凡正規(guī)子群必然與中心子群有非平凡的交,迫使Kerγ=1,即γ也是忠實的,此時Z(γ)=Z(F(N))=Z,再從(1)中結(jié)論F(N)/Z為交換群,使用[10]中定理2.31,可知ζ在F(N)上完全分歧。按定義,則C=(G,F(N),Z,γ,ζ)即為一個Isaacs意義下的特征標(biāo)五元組。

驗證T*=(G,F(N),γ)也是線性不可約的三元組。事實上,任取L?G和線性特征標(biāo)λ∈Lin(L),使得λ在γ∈Irr(F(N))的下方。因為γ顯然在ψ∈Irr(N)的下方,故λ也在ψ的下方。但已知T是線性不可約的,即相應(yīng)的線性約化T(λ)=T,故λ為G-不變的,自然也是F(N)-不變的,此時相應(yīng)的線性約化T*(λ)=T*,表明T*是線性不可約的。

最后驗證C是反迷向的特征標(biāo)五元組。熟知F(N)/Z在特征標(biāo)ζ定義的辛型下構(gòu)成一個辛G-模,具體定義見[11]中第2節(jié),任取F(N)/Z的一個迷向G-子模A/Z,則A?G,并且ζ可擴(kuò)張到A上,設(shè)α∈Irr(A)是ζ的一個擴(kuò)張,則α亦為線性特征標(biāo)。但上段已證T*是線性不可約的,故ζ是G-不變的。注意到Kerα∩Z=Kerζ=1,而A顯然是冪零群,所以Kerα=1,即α也是忠實的,迫使A是G的交換正規(guī)子群,仍從T*線性不可約可知A≤Z,即A/Z=1,表明特征標(biāo)五元組C是反迷向的。

(3)因為N的Fitting子群可表為F(N)=Op1(N)×…×Opr(N),其中pi為兩兩不同的素數(shù),并且每個Opi(N)>1,此時

Z=Z(F(N))=Z(Op1(N))×…×Z(Opr(N))

并且每個Z(Opi(N))=Z∩Opi(N)>1,所以對|F(N)/Z|的每個素因子p,我們有

Op(N)Z/Z?Op(N)/(Op(N)∩Z2)=Op(N)/Z(Op(N)).

根據(jù)(2)可知F(N)/Z是反迷向的G-模,其子模Op(N)Z/Z也是反迷向G-模,此時每個單子模不是全迷向的,故為辛子模,從而有正交補,據(jù)此可知反迷向的模均為半單模,而每個單子模顯然沒有非平凡的特征子群,故均為初等交換群,所以O(shè)p(N)Z/Z為初等交換p-群,表明Op(N)/Z(Op(N))也是初等交換p-群。又因為Z是循環(huán)群,故其子群Z(Op(N))≤Z也循環(huán)按定義即知Op(N)為廣義超特殊p-群。再根據(jù)上述直積分解公式,可知

F(N)/Z=Op1(N)/Z(Op1(N))×…×Opr(N)/Z(Opr(N)),

其中每個Sylow子群Opi(N)/Z(Opi(N))均為初等交換pi-群。

(4)根據(jù)三元組冪零性的定義,可知N/Z不是冪零群,但T的忠實性假設(shè)蘊含Z≤Z(G),故T的非冪零性條件在此等價于N不是冪零群,亦即F(N)

Op(N)=COP(N)(S)E?G.

注意到M的所有p-補均與S共軛,根據(jù)Frattini推理,則G=MNG(S)=ENG(S)。因為NG(S)正規(guī)化S,自然也正規(guī)化E=[Op(N),S],所以E?G。進(jìn)而,從Z(E)是G的交換正規(guī)子群且包含在N中,以及T線性不可約,可知Z(E)≤Z,迫使Z(E)=E∩Z=CE(S)?G。同理可知E的每個交換特征子群均含于Z≤Z(G),故可被S中心化,根據(jù)著名的Thompson定理,見引理2,則E為超特殊p-群。設(shè)ψ在Z(E)上的唯一不可約分量為λ,則λ顯然在ζ∈Irr(Z)的下方,故也是忠實的,迫使λ在E上完全分歧,即λE具有唯一的不可約分量η,自動在ψ下方,至此我們得到一個特征標(biāo)五元組。

Ce=(G,E,Z(E),η,λ).

驗證Ce是可控的。因為S互素地作用在E上,滿足[E,S]=E,但E/Z(E)為交換群,從Fitting引理可知CE/Z(E)(S)=1。上述已證ES?G,按定義即知S是Ce的一個可控子群,所以Ce=(G,E,Z(E),η,λ)是一個可控的特征標(biāo)五元組。

驗證C*是反迷向的。任取E/Z(E)的一個迷向的G-子模A/Z(E),因為λ是忠實的線性特征標(biāo),在此A/Z(E)為迷向的G-子模顯然等價于A是G的交換正規(guī)子群且Z(E)≤A≤E。據(jù)此可知AZ也是G的交換正規(guī)子群,并且Z≤AZ≤F(N),同樣從ζ∈Irr(Z)為忠實的線性特征標(biāo)可知AZ/Z也是F(N)/Z的一個迷向的G-模。但(2)已證C是反迷向的,只有AZ/Z=1,即A≤Z,導(dǎo)致A≤Z∩E=Z(E),即證A/Z(E)=1,表明Ce是一個反迷向的特征標(biāo)五元組。

作為定理1的一個主要應(yīng)用,我們給出著名的Dade單項特征標(biāo)定理(即[12]中主定理)的一個加強。

定理2 設(shè)T=(G,N,ψ)為一個三元組,其中G為可解群,并且存在一個單項特征標(biāo)χ∈Irr(G|ψ),使得χ(1)為某個奇素數(shù)p的冪,則T有一個冪零的線性極限。

證明用反證法,假設(shè)T沒有冪零的線性極限。因為三元組的線性約化不改變上方特征標(biāo)的單項性,不失一般性,可設(shè)T本身是線性不可約的。進(jìn)而,我們可進(jìn)一步要求T是忠實的三元組,并不改變定理的條件和所證結(jié)論,故可使用定理1中的結(jié)論(4)及其符號

因為χ是單項特征標(biāo),按定義,存在子群J≤G和線性特征標(biāo)δ∈Irr(J)使得δG=χ。又因為χ在ψ的上方,從而也在λ∈Irr(Z(E))的上方,但Z(E)≤Z≤Z(G),迫使Z(E)≤J。已知χ(1)為p的冪,故|G∶J|亦為p的冪,表明J包含G的一個Hallp′-子群,把J做適當(dāng)共軛替換后,可設(shè)p′-子群S≤J。再令H=EJ,則得到特征標(biāo)五元組Ce的一個子五元組。

C′=(H,E,Z(E),η,λ).

如果E∩J=Z(E),則J是C′的一個補。但S≤J≤H,從Ce的可控性可知C′也是可控的,從而有共軛唯一的補,即所有的補均與J共軛。又因為η(1)可整除χ(1),故E/Z(E)為同一個奇素數(shù)p的冪,表明J也是C′的一個好補,導(dǎo)致δEJ必然是可約的,與δG=χ不可約矛盾,所以E∩J>Z(E)。

注意到線性特征標(biāo)δ∈Irr(J)是λ∈Irr(Z(E))的擴(kuò)張,故δE∩J也是λ的擴(kuò)張,但λ是忠實的,迫使E∩J為交換群,此時(E∩J)/Z(E)>1即為一個非平凡的迷向的H-子模。再從δH不可約,不難驗證(E∩J)/Z(E)在辛H-模E/Z(E)中是自正交的(亦可直接使用[3]中引理4.4和推論4.8),按定義,則E/Z(E)即為一個雙曲的H-模。但|G∶H|整除χ(1),故為奇素數(shù)p的冪,根據(jù)Dade雙曲模定理,見引理3,則E/Z(E)也是雙曲的G-模,又矛盾于E/Z(E)是反迷向的G-模。至此即證T有一個冪零的線性極限。

據(jù)此可推出Dade單項特征標(biāo)定理,值得指出的是,盡管Dade定理考慮的是較為一般的p-可解群,但最重要的應(yīng)用環(huán)境還是可解群。事實上,對定理1的證明稍加修正,可將可解群條件減弱為p-可解群,我們不需要這個稍微一般些的結(jié)論。

推論1 (Dade)設(shè)G為可解群,χ∈Irr(G)為一個單項特征標(biāo),使得χ(1)為某個奇素數(shù)p的冪。如果N?G,任取ψ∈Irr(N)在χ下方,則ψ也是單項特征標(biāo)。

證明考慮三元組T=(G,N,ψ),上述已證T有一個冪零線性極限T′=(G′,N′,ψ′),按定義即N′/Ker(T′)為冪零群,但ψ′可視為N′/Ker(T′)的不可約特征標(biāo),而冪零群為M-群故ψ′為單項的。再從ψ=(ψ′)N可知ψ也是單項的。