季國(guó)棟
【摘要】作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師,需要關(guān)注的學(xué)科內(nèi)容和提升的教學(xué)素養(yǎng)是多方面的。僅從知識(shí)層面來(lái)看,教師的目光不能局限于教材和教參,不能“一招行天下”。應(yīng)該透過(guò)教材和教參,關(guān)注到學(xué)科知識(shí)背后更多的內(nèi)容,并且投射到課堂教學(xué)之中,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)在不同維度上得以并行,產(chǎn)生“立體感”。
【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 透視眼 立體感
一、關(guān)注知識(shí)內(nèi)涵,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)在廣度上實(shí)現(xiàn)跨越
教師不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用一些解決問(wèn)題的工具,更應(yīng)了解工具出現(xiàn)的緣由,把握其背后的知識(shí)內(nèi)涵,進(jìn)而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷拓展,實(shí)現(xiàn)跨越。
從本質(zhì)上看,線段圖就是解決問(wèn)題的思維“工具”。工具的價(jià)值不在其本身,而在于其效用,衡量工具效用的標(biāo)準(zhǔn)在于“能否指引人們的行動(dòng)取得成功,能否滿(mǎn)足人們的目的和需要”。線段圖呈現(xiàn)了從抽象的文字到直觀的再創(chuàng)造、再演示的過(guò)程,以其形象、直觀的特點(diǎn),有效地提高了學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力,使學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)。因此,線段圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中才得以廣泛應(yīng)用。然而,很少有人思考:為什么許多不同的量都可以在線段圖中用長(zhǎng)度來(lái)表示呢?
量有離散量和連續(xù)量之分。一個(gè)個(gè)分離、獨(dú)立存在的東西,如蘋(píng)果等,稱(chēng)為離散量。能夠自由分開(kāi)和結(jié)合的東西,如水等,就稱(chēng)為連續(xù)量。長(zhǎng)度、重量、面積、體積、時(shí)間、密度、溫度等,都是連續(xù)量。連續(xù)量的特征是不論多少都能分割,也能自由地結(jié)合,并且容易比較大小。用長(zhǎng)度來(lái)表示的話,連續(xù)量所具有的這些特性都可以鮮明地表達(dá)出來(lái),這就是笛卡爾原則——把全部的連續(xù)量用長(zhǎng)度來(lái)表示。量杯就是把體積轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)度的工具;桿秤就是把重量轉(zhuǎn)換成有刻度的長(zhǎng)度的工具;鐘表就是把時(shí)間轉(zhuǎn)換成表盤(pán)的長(zhǎng)度(曲線長(zhǎng)度)的機(jī)械;還有溫度計(jì)是把溫度這一連續(xù)量轉(zhuǎn)換成了長(zhǎng)度;汽車(chē)的速度計(jì)也是把速度這一連續(xù)量變成曲線的長(zhǎng)度。而且,離散量和連續(xù)量之間是可以相互轉(zhuǎn)換的。俄國(guó)有一個(gè)故事:有位老奶奶要給三個(gè)孫子分吃?xún)蓚€(gè)土豆,因?yàn)椴缓梅指?,就把土豆做成土豆泥,分給三個(gè)孫子吃了。老奶奶是把離散量的土豆,變成了連續(xù)量的土豆,從而解決了難題。我們說(shuō)多少米布料是連續(xù)量,但若將其縫制成人們所穿的衣服,就成為離散量了。因此,離散量和連續(xù)量都可以在線段圖上用長(zhǎng)度表示出來(lái)。
基于以上認(rèn)識(shí),教師就能做到“腹有詩(shī)書(shū)氣自華”,知其然且知其所以然,教學(xué)的展開(kāi)也就非同一般。學(xué)生在學(xué)習(xí)“速度、時(shí)間、路程”時(shí),通常都用線段圖來(lái)表示這三個(gè)量,教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧以前學(xué)過(guò)的知識(shí):哪些量也可以在這樣的線段圖上表示出來(lái),學(xué)生在教師的啟發(fā)下會(huì)想到“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”可以相應(yīng)表示,學(xué)生在高年級(jí)學(xué)習(xí)“工效、時(shí)間、工作總量”之后,就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些量都可以在同一幅線段圖上進(jìn)行表示(如圖1)。
教師在關(guān)注知識(shí)內(nèi)涵之后,教學(xué)就不會(huì)局限于一堂課的內(nèi)容,而會(huì)跨越本課知識(shí)將其他相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái);學(xué)生的學(xué)習(xí)也隨之發(fā)生變化,提高了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí),在學(xué)習(xí)的廣度上實(shí)現(xiàn)了跨越。
二、關(guān)注知識(shí)本源,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)在深度上實(shí)現(xiàn)理解
作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師,理應(yīng)了解一些數(shù)學(xué)史。奧地利著名物理學(xué)家、哲學(xué)家馬赫曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“沒(méi)有任何科學(xué)教育可以不重視科學(xué)的歷史與哲學(xué)?!边@同樣適用于數(shù)學(xué)教育。在數(shù)學(xué)和人文之間只有一座橋梁,那就是數(shù)學(xué)史,建造這座橋梁是我們這個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)教育的需要。數(shù)學(xué)史是一個(gè)巨大的寶藏,其中包含大量的教學(xué)素材。也許有人會(huì)說(shuō):“我對(duì)數(shù)學(xué)史一無(wú)所知,不也把數(shù)學(xué)教得很好嗎?”但是,從教材中我們可能只看見(jiàn)一棵樹(shù),從歷史中我們卻可能看到一片森林。
翻開(kāi)數(shù)學(xué)史,我們發(fā)現(xiàn)人類(lèi)對(duì)于負(fù)數(shù)的感知和使用就比較遲緩。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家僅僅是因?yàn)榻夥匠痰男枰氏仁褂秘?fù)數(shù),但對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)是朦朧的。在西方,許多數(shù)學(xué)家都不認(rèn)可負(fù)數(shù)。13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契認(rèn)為:方程x+36=33沒(méi)有根,除非第一個(gè)人(x)欠債3個(gè)錢(qián)幣;16世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾指出:0減去一個(gè)大于0的數(shù)所得結(jié)果“小于一無(wú)所有”是“荒謬的數(shù)”;17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡則認(rèn)為:0減去4純屬無(wú)稽之談。這其中的原因是負(fù)數(shù)不像自然數(shù)、分?jǐn)?shù)那樣來(lái)自人類(lèi)豐富的數(shù)數(shù)、分配實(shí)物和測(cè)量的實(shí)踐活動(dòng),也不像自然數(shù)、分?jǐn)?shù)都有實(shí)物為例;負(fù)數(shù)不能“可視”,雖也有負(fù)債、欠賬之說(shuō),但卻不能具體指物為負(fù)。
汪曉勤教授認(rèn)為人對(duì)數(shù)學(xué)的理解過(guò)程與數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過(guò)程具有一定的平行性,這是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)。同時(shí),他也提出不能生硬地為歷史而歷史,必須兼顧知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)生、發(fā)展順序、邏輯順序以及兒童的心理發(fā)生、發(fā)展順序。由此看來(lái),“負(fù)數(shù)”的認(rèn)識(shí)就不能直接按照歷史進(jìn)行教學(xué)。引入負(fù)數(shù)既不能通過(guò)一元一次方程或二元一次方程組,也不能通過(guò)“直接從零中減去一個(gè)正數(shù)”,只能通過(guò)相反意義的量。我們不能僅僅局限于書(shū)寫(xiě)形式上的不同,而要注重負(fù)數(shù)表示的本質(zhì)意義;我們不能僅僅局限于列舉幾組反義詞,而要注重表達(dá)的是相反意義的量。為了加深對(duì)正、負(fù)數(shù)的意義及對(duì)具有相反意義的量的理解,可以出示田徑運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)的風(fēng)速牌,讓學(xué)生理解由于風(fēng)向和運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)方向相反,所以風(fēng)速有時(shí)也會(huì)用負(fù)數(shù)表示,還可以出示“+8”和“-5”,讓學(xué)生結(jié)合具體事例來(lái)說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)數(shù)表示的意思,等等。這樣教學(xué),詮釋了“+”和“-”作為性質(zhì)符號(hào)有著更深層的含義:與問(wèn)題中意義表達(dá)同向的為“+”,與問(wèn)題中意義表達(dá)反向的為“-”,向?qū)W生滲透相反意義所隱含的辯證關(guān)系。
從歷史的“森林”中,還可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生構(gòu)建負(fù)數(shù)的理性認(rèn)識(shí),困難之處不在于概念本身的高度抽象性,而在于如何突破原有認(rèn)識(shí),把負(fù)數(shù)和0的意義溝通起來(lái),得到深刻的理解。我們要讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從0表示沒(méi)有,表示開(kāi)始突破到0,還可以表示分界,表示基準(zhǔn):大于分界0的數(shù)是正數(shù)、小于分界0的數(shù)是負(fù)數(shù);我們還要讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從0是固定的分界、基準(zhǔn)突破到分界、基準(zhǔn)是相對(duì)的,是可以隨著問(wèn)題的情境而變化的。因此,在運(yùn)用教材中氣溫、海拔的例子之后,選用電梯上下樓的情況,以地面為基準(zhǔn),地下2層可以用-2表示,以5樓為基準(zhǔn),往下3層也可以記作-3。
教師借助數(shù)學(xué)史,從知識(shí)本源中加以吸納,并由此開(kāi)展教學(xué),那么,數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)意義在學(xué)生學(xué)習(xí)中就能得以明亮,學(xué)生的學(xué)習(xí)就會(huì)深刻透徹,在深度上實(shí)現(xiàn)理解。
三、關(guān)注知識(shí)體系,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)在貫通度上實(shí)現(xiàn)融合
數(shù)學(xué)是一門(mén)非常系統(tǒng)的科學(xué),有其自身的知識(shí)體系。我們無(wú)法將這種結(jié)構(gòu)體系直接給予學(xué)生,所以就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的教學(xué)結(jié)構(gòu)。教學(xué)結(jié)構(gòu)就是由相關(guān)專(zhuān)家一起將數(shù)學(xué)知識(shí)根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知水平,進(jìn)行科學(xué)的分解和安排。因此,數(shù)學(xué)中的任何概念都不是孤立的、靜止的,都一定會(huì)有與之相聯(lián)系的知識(shí)??v向聯(lián)系構(gòu)建了知識(shí)體系的理論框架,橫向聯(lián)系則擴(kuò)大了知識(shí)的容量,使體系更加充實(shí)、完善。為此,我們的教學(xué)要有橫向的關(guān)聯(lián)和縱向的穿插,要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”,把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體的知識(shí)體系中,處理好局部與整體的關(guān)系,為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展做好鋪墊。
就“用數(shù)對(duì)確定位置”而言,是研究二維平面中的位置確定。從縱向上看,之下有一維的位置確定,如“一列隊(duì)伍中老爺爺排在第3個(gè)”之類(lèi)的問(wèn)題,就是用單個(gè)數(shù)在一條坐標(biāo)軸上確定位置點(diǎn);之上有三維空間中的位置確定,就是用數(shù)組在立體空間中確定位置點(diǎn);從橫向上看,之前有“小明坐在第3排第4個(gè)座位”之類(lèi)相對(duì)具象的二維問(wèn)題,之后有學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系,接觸到二維平面中相對(duì)復(fù)雜的四個(gè)象限,并由此來(lái)確定位置。
基于這樣“上通下達(dá)、瞻前顧后”的認(rèn)識(shí),教學(xué)中就可以把這些知識(shí)編織起來(lái)。首先,教學(xué)由一維數(shù)軸中的位置確定入手,通過(guò)在公交車(chē)站牌上創(chuàng)造出數(shù)學(xué)形式的規(guī)定(如圖2),引出小學(xué)生可以接受
的數(shù)軸三要素的表達(dá):起點(diǎn)(原點(diǎn))、方向、順序(單位),進(jìn)而可以用一個(gè)數(shù)來(lái)確定位置。其次,利用小紅處于教室位置的二維平面中,引出需要用兩個(gè)數(shù)才能確定她的位置,即用數(shù)對(duì)確定位置,再出示四個(gè)地點(diǎn)(如圖3),學(xué)生會(huì)主動(dòng)生發(fā)出構(gòu)建坐標(biāo)才能確定它們位置的意愿,接著呈現(xiàn)坐標(biāo)并要求學(xué)生用數(shù)對(duì)確定每個(gè)地點(diǎn)的位置。然后分別在幼兒園和小學(xué)的對(duì)稱(chēng)之處呈現(xiàn)兩個(gè)地點(diǎn),激發(fā)學(xué)生思考如何用數(shù)對(duì)來(lái)確定這兩個(gè)點(diǎn),將第一象限適度延伸至其他象限。最后,課尾讓學(xué)生試著確定魔方中任意一塊的位置,將學(xué)生的思維拓展至三維中的位置確定,點(diǎn)到為止即可。
這樣的教學(xué)架設(shè)了不同學(xué)段之間的橋梁,形成結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)脈絡(luò),從一維用一個(gè)數(shù)確定位置點(diǎn),到二維用數(shù)對(duì)(兩個(gè)數(shù))確定位置點(diǎn),延伸至三維用數(shù)組(三個(gè)數(shù))確定位置點(diǎn),并且厚實(shí)了二維中用數(shù)對(duì)確定位置的學(xué)習(xí),充分呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體關(guān)聯(lián),將相關(guān)知識(shí)編織在了一起,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)融會(huì)貫通。
總之,每位數(shù)學(xué)教師都需要提高自身的學(xué)科素養(yǎng),在知識(shí)層面上要關(guān)注體系、了解本源、把握內(nèi)涵,對(duì)教學(xué)內(nèi)容做到清晰認(rèn)識(shí)和精準(zhǔn)理解。故步自封,或許感覺(jué)教學(xué)中沒(méi)什么不一樣,但是學(xué)則不固,我們就會(huì)不一樣,學(xué)生的學(xué)習(xí)就會(huì)具有立體感。如同《我們不一樣》歌詞中寫(xiě)道的:這片天你我一起撐起,更努力只為了我們想要的明天。?筻