周 超 張興中 劉平飛 關(guān) 杰

1.燕山大學(xué)國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心，秦皇島，066004

2.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)海洋學(xué)院，秦皇島，066003

3.中國重型機(jī)械研究院有限公司，西安，710032

0 引言

結(jié)晶器非正弦振動(dòng)在提高拉坯速度、有效地避免黏結(jié)性漏鋼、提高鑄坯質(zhì)量等方面效果明顯，因此研究結(jié)晶器非正弦振動(dòng)對(duì)實(shí)現(xiàn)高效連鑄具有重要的意義［1］。

結(jié)晶器非正弦振動(dòng)的核心是振動(dòng)裝置，目前工業(yè)上應(yīng)用的結(jié)晶器振動(dòng)驅(qū)動(dòng)裝置主要有3種：液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、伺服電動(dòng)缸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和機(jī)械驅(qū)動(dòng)裝置。液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能夠方便地實(shí)現(xiàn)任意振動(dòng)波形及參數(shù)的在線調(diào)整，但系統(tǒng)比較復(fù)雜，且投資及維護(hù)費(fèi)用較高［2］。伺服電動(dòng)缸驅(qū)動(dòng)裝置由鐳目公司開發(fā)［3］，可以實(shí)現(xiàn)振幅、頻率和波形偏斜率的在線調(diào)節(jié)，但伺服電機(jī)頻繁的正反轉(zhuǎn)影響位移、速度等的跟蹤精度以及系統(tǒng)響應(yīng)速度，同時(shí)，滾珠絲杠的承載能力難以與液壓裝置及曲柄機(jī)構(gòu)相媲美。PARK等［4］將偏心軸部分做成凸輪輪廓，零件一旦制造出來，波形、振幅和波形偏斜率都不能調(diào)節(jié)，且三角形、矩形波等速度突變較大的波形都不能實(shí)現(xiàn)。機(jī)械驅(qū)動(dòng)裝置結(jié)構(gòu)簡單、成本低、便于維護(hù)、可靠性好。張興中等［5］開發(fā)的橢圓形齒輪驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)裝置具有良好的工藝特性和動(dòng)力學(xué)特性，但齒輪嚙合時(shí)的齒側(cè)間隙產(chǎn)生嚙合沖擊和噪聲，齒輪的偏心質(zhì)量引起裝置運(yùn)動(dòng)不平穩(wěn)。ZHANG等［6］開發(fā)的逆平行四連桿驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)裝置產(chǎn)生波形的原理與橢圓齒輪相同，雖可避免齒輪嚙合帶來的沖擊和噪聲，但機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)鏈依然很長。張興中等［7］開發(fā)的雙偏心驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)裝置的振動(dòng)頻率在線可調(diào)，振幅停機(jī)可調(diào)，結(jié)構(gòu)簡單、加工容易、投資少，但對(duì)加工精度要求較高。與液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)相比，上述機(jī)械式驅(qū)動(dòng)裝置的波形偏斜率都不能在線調(diào)節(jié)。

為克服上述裝置的缺點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)出一種雙伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)的結(jié)晶器非正弦振動(dòng)裝置，其頻率和波形偏斜率在線可調(diào)，振幅停機(jī)可調(diào)，能夠很好地使結(jié)晶器實(shí)現(xiàn)非正弦振動(dòng)。與正弦振動(dòng)相比，非正弦振動(dòng)雖有良好的工藝特性，但運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性較差，因此，對(duì)非正弦振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究有重要意義。本文對(duì)雙伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)裝置進(jìn)行研究，重點(diǎn)研究裝置固有特性的變化規(guī)律。

1 非正弦振動(dòng)裝置

1.1 振動(dòng)系統(tǒng)工作原理

雙伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)系統(tǒng)主要由驅(qū)動(dòng)裝置、緩沖彈簧、導(dǎo)向板簧、結(jié)晶器及振動(dòng)臺(tái)等組成，如圖1所示。由于系統(tǒng)左右對(duì)稱，故取一半模型，其工作原理如圖2所示。工作時(shí)，伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)減速器，減速器通過聯(lián)軸器連接偏心軸，通過電機(jī)變角速度運(yùn)動(dòng)，使偏心軸帶動(dòng)連桿在S點(diǎn)的鉛垂方向上產(chǎn)生非正弦振動(dòng)。在緩沖彈簧和導(dǎo)向板簧的作用下，連桿推動(dòng)振動(dòng)臺(tái)及其上的結(jié)晶器上下振動(dòng)。

圖1 雙伺服電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)裝置Fig.1 Non”sinusoidaloscillator synch ronously d riven by double servomotors

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

德馬克非正弦振動(dòng)波形的位移曲線表達(dá)式為［8］

式中，h為振幅，mm；f為振動(dòng)頻率，Hz；A為波形偏斜因子；t為時(shí)間，s。

圖2 非正弦振動(dòng)系統(tǒng)工作原理Fig.2 W orking p rincip le diagram of non”sinusoidal oscillation system

如圖3所示，在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，非正弦振動(dòng)波形的峰值滯后于正弦波形的峰值，可以推導(dǎo)出波形偏斜因子A和波形偏斜率α的關(guān)系。當(dāng)s=h時(shí)，可得到位移峰值時(shí)間tc與A的關(guān)系：

h=h sin(2πftc-A sin(2πftc)) （2）

圖3 非正弦與正弦振動(dòng)位移波形Fig.3 Disp lacem en twaveform of non”sinusoidal and sinusoidal oscillation

所以在一個(gè)振動(dòng)周期［0，1/f］內(nèi)，存在

解得

滯后時(shí)間

波形偏斜率

α =4f tm（6）

聯(lián)立式（5）、式（6）得

將式（7）代入式（4）解得

波形偏斜因子A和波形偏斜率α之間的關(guān)系見圖4。

在鉛垂方向上，連桿運(yùn)動(dòng)的位移與結(jié)晶器振動(dòng)的位移一致，由二者的位移關(guān)系可得偏心軸角速度的表達(dá)式：

式中，ω為偏心軸的角速度，rad/s；e為偏心軸的偏心距，mm。

圖5給出了不同波形偏斜率下偏心軸的角速度曲線。只要偏心軸按某一特定的規(guī)律旋轉(zhuǎn)，即可實(shí)現(xiàn)德馬克非正弦振動(dòng)波形。

圖5 不同波形偏斜率下偏心軸角速度Fig.5 Eccen tric shaft angu lar velocity of d ifferent waveform deviation factors

由圖1建立非正弦振動(dòng)裝置的剛?cè)狁詈先S模型，取α=20%，f=2 Hz，h=5 mm，對(duì)裝置進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，得到德馬克非正弦振動(dòng)波形，如圖6所示，從而驗(yàn)證原理的正確性。

圖6 機(jī)構(gòu)振動(dòng)波形曲線Fig.6 Oscillation waveform ofm echanism

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

根據(jù)非正弦振動(dòng)系統(tǒng)中各構(gòu)件的受力和變形特點(diǎn)，忽略曲柄、連桿、齒輪的彈性變形及運(yùn)動(dòng)部件間的間隙和摩擦，認(rèn)為伺服電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)可靠。伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型（圖7）是扭振和線振耦合模型，該模型把實(shí)際位移分解為靜態(tài)位移和彈性位移［9］。

圖7 非正弦振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.7 Dynam icmodel of non”sinusoidal oscillation system

圖7中，T0為伺服電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩；J0為伺服電機(jī)輸出軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ0為伺服電機(jī)輸出軸的角位移；kθi為扭轉(zhuǎn)剛度，i=1，2；k1、k2分別為連桿上下兩部分的抗壓剛度；ci為聯(lián)軸器阻尼系數(shù)；θj為轉(zhuǎn)動(dòng)部件靜態(tài)角位移，j=1，2，3；Δθj為轉(zhuǎn)動(dòng)部件彈性角位移；m1為連桿的質(zhì)量；y1、y2分別為連桿及結(jié)晶器縱向的靜態(tài)位移；Δy1、Δy2分別為連桿及結(jié)晶器縱向的彈性位移；k3e為彈簧的彈性剛度；k4e為板簧的彈性剛度；m2為結(jié)晶器及振動(dòng)臺(tái)的質(zhì)量；Ffe為鑄坯與結(jié)晶器之間的摩擦力；J1、J2、J3分別為減速器的主動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪及偏心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

選取Δθ1、Δθ3、Δy1、Δy2為獨(dú)立廣義坐標(biāo)，其他廣義坐標(biāo)由所選取的廣義坐標(biāo)來表示。由偏心軸的轉(zhuǎn)角與連桿縱向位移之間的關(guān)系可得

將式（11）展開得

偏心軸的轉(zhuǎn)角很小時(shí)，cosΔθ3≈ 1，sinΔθ3≈ Δθ3。代入式（12）得到

由于連桿與結(jié)晶器振動(dòng)臺(tái)在鉛錘方向上的運(yùn)動(dòng)位移相同，故有y1=y2。

由非正弦振動(dòng)系統(tǒng)各部件之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，可得各部件靜態(tài)位移之間的關(guān)系：θ0=θ1，θ2=θ3，y1=y2。

假設(shè)減速器為剛體，齒輪不變形，則減速器傳動(dòng)比為

3 振動(dòng)系統(tǒng)微分方程的建立

根據(jù)圖7建立的動(dòng)力學(xué)模型及第2節(jié)中各參數(shù)之間的關(guān)系，采用帶阻尼的拉格朗日方程：

式中，Ek為振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能，J；Ep為振動(dòng)系統(tǒng)的勢能，J；Qr為系統(tǒng)的廣義激振力，N；D為系統(tǒng)的廣義阻尼力，N；qr為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。

推導(dǎo)出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和各部件運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系得到系統(tǒng)的動(dòng)能、勢能及阻尼項(xiàng)：

將式（16）～式（18）代入系統(tǒng)的微分方程式（15），得到系統(tǒng)受迫振動(dòng)微分方程：

式中，M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；C為阻尼矩陣；F為廣義力向量；g為重力加速度，m/s2；Fs0為緩沖彈簧預(yù)緊力，N；q 為位移向量，q=(Δθ1,Δθ3,Δy1,Δy2)T；q˙為速度 向 量 ，q˙=(Δθ˙1,Δθ˙3,Δy˙1,Δy˙2)T；q¨為 加 速 度 向 量 ，q¨=(Δθ¨1,Δθ¨3,Δy¨1, Δy¨2)T。

由動(dòng)力學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系可知，伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為常量，剛度矩陣、阻尼矩陣和激勵(lì)矢量都是隨時(shí)間周期變化的。

4 動(dòng)力學(xué)分析

線性定常系統(tǒng)可采用多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法來求解其特征值和特征向量。雙伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)裝置為周期時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)［10?11］，可通過瞬時(shí)機(jī)構(gòu)凝固法求解其固有頻率。將轉(zhuǎn)角θ3在某一瞬間凝固，則系統(tǒng)的剛度矩陣變?yōu)槌Ｏ禂?shù)矩陣，采用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的方法來計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。計(jì)算所需系統(tǒng)的特征參數(shù)見表1。

表1 系統(tǒng)的特征參數(shù)Tab.1 Characteristic parameters of the system

4.1 非正弦振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率

將式（19）轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦碌臒o阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)：

即

式中，ωj為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，rad/s；fj為振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，Hz；φj為振動(dòng)系統(tǒng)的特征向量。

本文采用瞬時(shí)機(jī)構(gòu)凝固法對(duì)式（21）進(jìn)行編程求解，得到系統(tǒng)的固有頻率。由非正弦振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可知，固有頻率為偏心軸的轉(zhuǎn)角及振幅的函數(shù)，與結(jié)晶器振動(dòng)的頻率及波形偏斜率無關(guān)。

4.1.1 偏心軸的轉(zhuǎn)角和振幅對(duì)固有頻率的影響

由圖8可以看出，系統(tǒng)的固有頻率是周期時(shí)變的，振幅較小時(shí)，各階固有頻率的波幅并不大，且隨振幅的增大，波幅變大。由于系統(tǒng)的固有頻率不受頻率和波形偏斜率的影響，因此調(diào)節(jié)頻率和波形偏斜率，可避免固有頻率的變化，擴(kuò)大了參數(shù)的選取范圍，更有利于實(shí)現(xiàn)結(jié)晶器的最佳振動(dòng)模式。

4.1.2 系統(tǒng)慣性參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

對(duì)于非正弦振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)結(jié)晶器振幅h=5 mm時(shí)，只改變各構(gòu)件的慣性參數(shù)，其他參數(shù)保持不變，系統(tǒng)的固有頻率也將發(fā)生變化。以系統(tǒng)1階固有頻率為例進(jìn)行說明。由圖9a可以看出，減速器的主動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及連桿的質(zhì)量對(duì)非正弦振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率影響較??；結(jié)晶器及振動(dòng)臺(tái)質(zhì)量減小時(shí)，固有頻率略有增大。由圖9b可以看出，偏心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減半后，系統(tǒng)的固有頻率增加幅度較大，若要提高系統(tǒng)的固有頻率，只需適當(dāng)減小偏心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。結(jié)晶器振動(dòng)頻率遠(yuǎn)離系統(tǒng)的固有頻率，有利于高效連鑄。

圖8 系統(tǒng)的固有頻率Fig.8 Natu ral frequency of the system

4.1.3 構(gòu)件的剛度對(duì)固有頻率的影響

由圖10可以看出，偏心軸的剛度對(duì)系統(tǒng)的固有頻率改變較大，其他參數(shù)對(duì)固有頻率影響很小。

4.2 系統(tǒng)的振型

圖11給出了裝置的前3階振型，可以看出，系統(tǒng)的各階振型同固有頻率一樣，也是周期變化的，且在系統(tǒng)的傳動(dòng)部分，振型變化較為劇烈。因此應(yīng)增大傳動(dòng)系統(tǒng)軸的剛度，減小傳動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以提高系統(tǒng)固有頻率，降低傳動(dòng)系統(tǒng)的波動(dòng)。

圖9 固有頻率與系統(tǒng)慣性參數(shù)的關(guān)系Fig.9 Relationship between natu ral frequency andinertia param eters of the system

圖10 構(gòu)件剛度減半后系統(tǒng)固有頻率Fig.10 Natural frequency of the system w ithcom ponent stiffness halved

5 結(jié)論

（1）設(shè)計(jì)出一種新型雙伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)裝置，該裝置可以實(shí)現(xiàn)波形偏斜率和頻率的在線調(diào)節(jié)、振幅的停機(jī)可調(diào)。

（2）采用集中參數(shù)法建立了雙伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)結(jié)晶器非正弦振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及動(dòng)力學(xué)方程。分析表明，固有頻率是周期時(shí)變參數(shù)，且不受結(jié)晶器振動(dòng)頻率及波形偏斜率的影響，因此參數(shù)的選擇范圍擴(kuò)大了，更有利于實(shí)現(xiàn)結(jié)晶器的最佳振動(dòng)。

（3）偏心軸的轉(zhuǎn)角、慣性參數(shù)、剛度對(duì)系統(tǒng)的固有頻率影響較大，而其他參數(shù)影響較??；由振型顯示可得傳動(dòng)部分的剛度對(duì)固有頻率影響較大。

圖11 系統(tǒng)的振型Fig.11 System m ode shape