摘 要：采用攝動(dòng)法和卷積積分法，求解在周期信號(hào)作用下非線性動(dòng)力系統(tǒng)響應(yīng)的一階近似解.針對(duì)常見(jiàn)的幾個(gè)非周期激勵(lì)信號(hào)給出其卷積表達(dá)式，并對(duì)Duffing方程求解，得到令人滿意的效果.

關(guān)鍵詞：非周期信號(hào)；非線性；動(dòng)力系統(tǒng)；Duffing方程

[中圖分類(lèi)號(hào)]O302 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

文章編號(hào)：1003-6180（2018）02-0030-04

Abstract：In this paper， by using the perturbation method and the convolution integral， we obtain the approximate first-order solution of nonlinear dynamic systems with non-periodic excitation and give the convolution expression for several common non-periodic excitations. Then the Duffing equation is solved by this method， and the obtained results are well agreed with the numerical results.

Key words：non-periodic excitation； nonlinear； dynamic systems；duffing equation

非線性動(dòng)力學(xué)是研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模式和演化過(guò)程的科學(xué)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的重要理論基礎(chǔ).經(jīng)過(guò)100多年的發(fā)展，非線性動(dòng)力學(xué)已經(jīng)取得大量的成果，發(fā)現(xiàn)了許多非線性現(xiàn)象，提出并發(fā)展了基本理論方法.[1-5]非周期信號(hào)作用下非線性動(dòng)力系統(tǒng)的響應(yīng)不但是一個(gè)重要的理論問(wèn)題，而且在工程實(shí)際中具有重要的應(yīng)用，遺憾的是，一直沒(méi)有求解該問(wèn)題的解析方法，因此該問(wèn)題的研究已成為當(dāng)務(wù)之急.

非周期信號(hào)是科學(xué)研究及工程實(shí)際中經(jīng)常遇到的信號(hào)，典型的非周期信號(hào)激勵(lì)有單位脈沖激勵(lì)、階躍信號(hào)激勵(lì)、矩形信號(hào)激勵(lì)等.通常情況下，系統(tǒng)所受的沖擊信號(hào)激勵(lì)可以等效成上述所提的非周期信號(hào)激勵(lì).[6-7]沖擊是指一個(gè)系統(tǒng)在瞬間受到外載荷作用， 從而引起系統(tǒng)的位移、速度、加速度等系統(tǒng)物理量的突然變化，并且在一個(gè)相當(dāng)小的空間內(nèi)釋放出相當(dāng)大的能量，從而會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)、性能以及機(jī)械設(shè)備帶來(lái)一定的損傷和破壞，故需要研究動(dòng)力系統(tǒng)受到?jīng)_擊作用的效果， 估計(jì)沖擊對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的損傷及其耐沖擊能力.目前沖擊響應(yīng)的解析研究均集中在線性系統(tǒng)，Laplace變換法或卷積積分法通常被用來(lái)計(jì)算線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng).對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)講，上述方法不能直接解決沖擊響應(yīng)的問(wèn)題.在求解非線性動(dòng)力系統(tǒng)的周期解時(shí)，攝動(dòng)法是一種優(yōu)秀的算法.本文采用攝動(dòng)法和卷積積分法相結(jié)合，研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)的沖擊響應(yīng).

1 基于攝動(dòng)法的非線性動(dòng)力系統(tǒng)非周期信號(hào)激勵(lì)的響應(yīng)

從圖5可以看出，采用攝動(dòng)法和卷積積分相

結(jié)合的方法得到非周期激勵(lì)作用下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)的響應(yīng)與數(shù)值解相比誤差較小，效果令人滿意，故可以采用該方法對(duì)非周期激勵(lì)作用下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)的響應(yīng)求解.

4 結(jié)論

本文采用攝動(dòng)法和卷積積分法相結(jié)合，對(duì)受非周期信號(hào)激勵(lì)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)求解，給出一階漸近解的表達(dá)式，針對(duì)常見(jiàn)的非周期激勵(lì)信號(hào)給出了具體的表達(dá)式.通過(guò)算例Duffing方程的求解，驗(yàn)證結(jié)果令人滿意.

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編輯：琳莉