可 帥，馮治國，李長虹，余世捷

（貴州大學 機械工程學院，貴州 貴陽 550025）

1 引言

汽車行駛的過程中，減振器中的彈簧起著緩沖和減震的作用，由于路況不同，彈簧要不斷承受高頻往復(fù)的運動，因此彈簧減振能力和質(zhì)量的好壞，直接影響著車輛的平穩(wěn)性和安全性。在彈簧減振器中，把不同性能的彈簧按照一定的方式組成新的彈簧組系統(tǒng)，往往比單只彈簧的使用更加普遍。彈簧組的使用提高了傳統(tǒng)的單只長彈簧的側(cè)向穩(wěn)定性。為改善貨車小載荷下的運行品質(zhì)，提高對扭曲線路的適應(yīng)能力，貨車轉(zhuǎn)向架彈簧懸掛裝置中兩級剛度彈簧組早在上世紀50年代就在前蘇聯(lián)X-2型貨車轉(zhuǎn)向架上得到應(yīng)用。在國外一些國家的貨車轉(zhuǎn)向架上，兩級剛度彈簧組都程度不同地得到了應(yīng)用。

在解決管道熱力學膨脹的問題中，國外科研人員采用多級彈簧串聯(lián)使用，由多個彈簧來共同分擔熱位移的影響。使用具有不同彈簧剛度的并聯(lián)彈簧組，不僅能保證減振器具有高的支撐剛度和較低的運動剛度。同時很好解決了在傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)中存在的穩(wěn)定與隔振問題[1]。彈簧組的使用在目前的減振設(shè)備中用的越來越普遍。彈簧組是指由幾個彈簧按照新的組合方式重新形成的一個全新系統(tǒng)，它的組合方式主要有并聯(lián)和串聯(lián)[2]。串聯(lián)彈簧組得出的剛度比期中任何一個彈簧剛度都小，并聯(lián)彈簧組的使用往往是為了解決單只彈簧剛度不足的問題。根據(jù)實際的需要，有時候也會把串聯(lián)彈簧組和并聯(lián)彈簧組一起作為減振系統(tǒng)來使用。目前，彈簧剛度的計算公式是根據(jù)材料力學，和第四強度理論并通過實驗不斷修正的方法[3]。但是實驗的設(shè)計階段沒有實驗數(shù)據(jù)只能以其他的相近代替，如果沒有生產(chǎn)的實際經(jīng)驗，很難設(shè)計和制造出來高精密的彈簧組，特別是隨著生產(chǎn)力，產(chǎn)品要求的不斷提高，一些傳統(tǒng)的設(shè)計經(jīng)驗不再適用[4]。

因此很有必要用一種新的能快速準確計算不同彈簧組剛度的方法。用ANSYS軟件分別對串聯(lián)、并聯(lián)彈簧組的剛度計算，并利用matlab矩陣強大的擬合畫圖能力得到彈簧組的剛度曲線，并與傳統(tǒng)的理論計算作對比得到一種新的彈簧組計算方法。

2 彈簧組三維實體模型的建立

建立彈簧的三維模型，使用彈簧的常用材料銅合金作為來分析計算，銅合金材料的密度為8300kg/m3，剪切模量為4.1045E+10Pa。實際中彈簧連接處的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，為了簡化設(shè)計中彈簧組連接處的不同情況，用方塊立方體代替中間的接觸件，同時為了減少其對彈簧整體剛度的影響采用剪切模量達到7.6923E+10Pa的結(jié)構(gòu)鋼，更高的剪切模量會在一定程度上減少誤差，結(jié)構(gòu)鋼密度為7850kg/m3，方塊立方體的長寬高為：25mm、25mm、5mm。

具體的幾何參數(shù)：

表1 彈簧幾何尺寸參數(shù)Tab.1 Spring Geometry Parameters

根據(jù)以上參數(shù)的設(shè)定，通過三維建模軟件UG建立串聯(lián)彈簧組的實體模型，并保存為X_T格式。

為了減小減振器的彈簧的剛度和側(cè)向穩(wěn)定性問題，串聯(lián)彈簧組在減振器的使用中更加普遍，采用一種獨立阻尼雙彈簧串聯(lián)減振調(diào)壓裝置中的串聯(lián)彈簧組簡化模型，本裝置配合彈簧組的使用，提高了壓力閥的動態(tài)穩(wěn)定性，工作更加平穩(wěn)，動態(tài)特性更好[5]。

為了提高彈簧的性能，常采用兩個或多個直徑不同的彈簧同心安裝，形成組合彈簧，此并列式組合彈簧為高速車輛一系軸箱螺旋彈簧組簡化模型。此類彈簧可承受較大載荷，為了避免支撐面的過大扭轉(zhuǎn)和彈簧間相互干擾，彈簧的旋向分別有左旋和右旋，交替安裝組合彈簧的等效剛度為兩根彈簧剛度之和。這種旋向不同的并聯(lián)彈簧組因具有優(yōu)良的性能，廣泛應(yīng)用于各種彈簧減振器中[6]。

3 串、并聯(lián)彈簧組的理論剛度

普通圓柱螺旋彈簧垂直剛度公式的推導(dǎo)可以利用能量方程來推導(dǎo)，使彈簧受到外力所的功全部等于彈簧彈性勢能的增長量，經(jīng)過一定的轉(zhuǎn)換就可以得出來彈簧的剛度公式。設(shè)作用在彈簧上的作用力為F，同時彈簧的變形量為λ，則可以計算出來該外力做的功[7]：

彈簧的彈性勢能為：

彈簧的圈數(shù)為n，所以彈簧的長度L=πDn，進一步對以上（2）式進行積分化簡：

根據(jù)能量守恒定律，外力所做的功等于儲存在彈簧內(nèi)的彈性勢能，因此可知：

化簡可得螺旋彈簧的剛度：

式中：G—材料的剪切模量；d—彈簧絲的直徑；n—有效的圈數(shù)；

D—彈簧的中徑。

彈簧組往往是由幾個特殊要求大小的彈簧重新串聯(lián)或者并聯(lián)組成的新系統(tǒng)，設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)的剛度為K串，并聯(lián)系數(shù)的關(guān)系為K并。下面推導(dǎo)K串，K并與各個彈簧K1，K2的關(guān)系。串聯(lián)時他們受力相等，設(shè)為F，設(shè)各自的伸長量分別為Δx1和Δx2，彈簧總的伸長量為Δx。則根據(jù)胡克定律F=KΔx表達式計算：

上式即為串聯(lián)彈簧組的剛度計算公式。

當并聯(lián)時，彈簧組受到的總拉力為兩個彈簧拉力之和，根據(jù)關(guān)系可得：

整理可得：K并=K1+K1（10）

上式即為并聯(lián)彈簧組的剛度計算公式。

將材料參數(shù)和彈簧的幾何尺寸帶入（5）分別計算出大彈簧和小彈簧的剛度：

帶入到式（7）、式（10）分別得出：

4 有限元分析

4.1 彈簧組的有限元分析模型的建立

ANSYS有限元軟件是一個多用途的有限元法計算機設(shè)計程序，可以用來求解結(jié)構(gòu)、流體、電力、電磁場及碰撞等問題。用來求解外載荷引起的位移、應(yīng)力和力。其中靜力分析很適合求解慣性和阻尼對結(jié)構(gòu)的影響并不顯著的問題。ANSYS程序中的靜力分析不僅可以進行線性分析，而且也可以進行非線性分析，如塑性、蠕變、膨脹、大變形、大應(yīng)變及接觸分析。

將T_X格式的UG三維實體模型導(dǎo)入到有限元分析的軟件ANSYS中，有限元計算分析的最根本目的是還原實際的數(shù)學行為特征，把實體的物理模型最終還原為精確的數(shù)學模型。

通過ANSYS的自由網(wǎng)格劃分可以快速的得到平面圖形上的三角形四邊形網(wǎng)格，和體上的四面體網(wǎng)格。其內(nèi)部的智能控制技術(shù)（SMARTSIZE命令）不僅可以設(shè)置網(wǎng)格的大小（AESIZE、LESIZE、KESIZE、ESIZE等系列命令），而且還能控制網(wǎng)格的疏密程度。以及選擇分網(wǎng)算法等（MOPT命令）。對于復(fù)雜幾何模型而言，這種分網(wǎng)方法省時省力。考慮到彈簧組機構(gòu)的復(fù)雜情況采用自由網(wǎng)格劃分節(jié)[8]。

減振器中的串、并聯(lián)彈簧組在汽車的行駛過程中，承受高頻往復(fù)的運動，在受到載荷后產(chǎn)生較大的彈性形變，吸收并儲存能量，起到緩沖和減振的作用。彈簧組在壓縮變形的過程中，彈簧截面收到的載荷主要有剪應(yīng)力，壓應(yīng)力、扭矩等。加上彈簧絲存在一定的曲率，實際變形及受力相當復(fù)雜?；诖宋闹袑Υ?、并聯(lián)彈簧組進行垂直剛度的有限元分析是對彈簧組施加垂向力，而對扭轉(zhuǎn)減振器彈簧組的扭轉(zhuǎn)剛度的有限元分析通過添加力偶矩來實現(xiàn)。對彈簧組進行主要載荷的添加而忽略次要受力因素的影響。

串聯(lián)彈簧組的節(jié)點數(shù)目為：49341單元總數(shù)為15336。并聯(lián)彈簧組的節(jié)點數(shù)目為：34090單元總數(shù)為：12202。

圖1 串聯(lián)彈簧組網(wǎng)格劃分結(jié)果Fig.1 Grid Series Spring Group

圖2 并聯(lián)彈簧組網(wǎng)格劃分結(jié)果Fig.2 Parallel Meshing Spring Group

4.2 對串聯(lián)彈簧組的壓力與變形的分析

利用有限元的靜力學分析模塊，首先固定好大彈簧的受力點，然后對連接小彈簧的結(jié)構(gòu)鋼施加不同的法向力，來觀察彈簧的位移改變大小，如圖3所示。

圖3 串聯(lián)彈簧組的有限元分析變形圖Fig.3 Series Spring Set of Finite Element Analysis of Deformation Figure

對彈簧組施加不同的法向力得到不同的法向位移，將這些數(shù)據(jù)經(jīng)過一次擬合后得到一條，法向力與法向距離之間的線，根據(jù)胡克定律F=KΔx可知這條線的斜率就是該變形下彈簧組的總剛度[9]。

表2 所施加的壓力與位移改變的數(shù)據(jù)Tab.2 Pressure and Displacement Change of Data

通過有限元分析得到法向力和法向位移的關(guān)系從而出串聯(lián)彈簧組法向力和位移的圖，用Matlab強大的作圖功能，把仿真得出的數(shù)據(jù)點擬合出來一條直線[10]，這條直線的斜率就是串聯(lián)彈簧組的剛度（7.8108×103）n/m。

圖4 串聯(lián)彈簧組剛度有限元與理論結(jié)果曲線Fig.4 Series Spring Set Finite Element Stiffness Curve with Theoretical Results

4.3 對并聯(lián)彈簧組的壓力與變形的分析

圖5 并聯(lián)彈簧組有限元分析變形圖Fig.5 Parallel Springs of Finite Element Analysis of the Deformation

對并聯(lián)的彈簧組施加不同的法向力，并計算出不同法向力作用下法向位移的大小。得出并聯(lián)彈簧組法向力和位移的圖，可以看出來是一條直線，這條直線的斜率就是并聯(lián)彈簧組的剛度（4.5301×104）n/m。

表3 所施加壓力與位移改變數(shù)據(jù)Tab.3 The Pressure and Displacement Change the Data

圖6 并聯(lián)彈簧組剛度有限元與理論結(jié)果曲線Fig.6 Parallel Springs of the Finite Element Stiffness Curve with Theoretical Results

從上面也可以發(fā)現(xiàn)線性彈簧所組成的串并聯(lián)彈簧組的剛度也具有線性的特征。

5 扭轉(zhuǎn)減振器剛度分析

5.1 扭轉(zhuǎn)減振器剛度的理論計算

扭轉(zhuǎn)減振器具主要有線性和非線性特性兩種。扭轉(zhuǎn)減振器的組成主要是彈簧等彈性元件。彈性元件的主要作用是控制動力傳動系總成怠速時離合器與變速器軸系的扭振，消減變速器怠速噪聲和主減速器與變速器的扭振與噪聲緩和非穩(wěn)定工況下傳動系的扭轉(zhuǎn)沖擊載荷和改善離合器的接合平順性。

通過降低傳動系的扭轉(zhuǎn)剛度，以此來降低減振系統(tǒng)的固有頻率，改變系統(tǒng)的固有振型，使之盡可能避開由發(fā)動機轉(zhuǎn)矩主諧量激勵引起的共振。為了避免引起系統(tǒng)的共振，要合理選擇減振器的扭轉(zhuǎn)剛度Kφ，使共振現(xiàn)象不發(fā)生在發(fā)動機常用工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)Kφ決定于減振彈簧的線剛度及其結(jié)構(gòu)布置尺寸。

式中：Zj—減振器中彈簧的個數(shù)；R0—減振器中彈簧布置半徑；K—每個減振彈簧的線剛度。

扭轉(zhuǎn)減振器的剛度主要有并聯(lián)彈簧組剛度、彈簧組數(shù)目、彈簧組布置半徑?jīng)Q定。由于單級扭轉(zhuǎn)減震器中使用最廣泛的是并聯(lián)彈簧組的彈性元件，因此主要對上述高速車輛所使用的具有并聯(lián)彈簧組的減震器進行計算，該減振器所用彈簧組為八個，帶入并聯(lián)彈簧組的剛度K并、彈簧數(shù)目Zj半徑R0可以得出減振器的扭轉(zhuǎn)角剛度，公式中K并，Zj，R0均為常數(shù)，所得出最后扭轉(zhuǎn)角剛度隨著載荷的增加而增加同時呈現(xiàn)出線性特征。

5.2 扭轉(zhuǎn)減振器剛度的有限元分析

裝有并聯(lián)彈簧組的扭轉(zhuǎn)減振器在工作的時候，彈簧組會受到垂直于布置半徑的力矩的作用，在進行有限元分析的時候可以在彈簧組的頂端添加一個力偶矩，改變力偶矩的大小可以得出彈簧組在水平和豎直方向上的位移發(fā)生改變，經(jīng)過一定的換算關(guān)系便可以得出力偶矩與彈簧組彎曲角度的關(guān)系，因此把上述并聯(lián)彈簧組的模型導(dǎo)入分析軟件根據(jù)有限元得出的數(shù)據(jù)點平均值為1930.5N/m/rad，而理論計算得出Kφ=2038N/m/rad，誤差范圍在6%左右，仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果比較契合。對于單級減振器的扭轉(zhuǎn)剛度在一定范圍內(nèi)仍然具一定的線性關(guān)系。

從圖4、圖6可以明顯看出彈簧組的法向力與法向位移呈直線關(guān)系分布。串、并聯(lián)彈簧組與扭轉(zhuǎn)減振器扭轉(zhuǎn)剛度的理論計算值和有限元的分析結(jié)果誤差分別在6%、7%、6%誤差在承受范圍內(nèi)，產(chǎn)生誤差的主要原因在于彈簧在載荷作用下，由于上下移動，垂向載荷的作用位置隨之發(fā)生變化，在彈簧兩端切口的影響下，彈簧的受力狀態(tài)發(fā)生變化，垂向剛度隨載荷的變化而變化比較明顯。同時在有限元分析載荷添加時忽略了所求剛度方向之外其他方向載荷的影響?？傮w來看線性彈簧組成的串并聯(lián)彈簧組的剛度仍具有線性特征。

6 結(jié)束語

基于胡克定律對串、并聯(lián)彈簧組剛度進行了數(shù)學理論計算，建立彈簧組合理的有限元模型，利用Matlab數(shù)據(jù)處理平臺分別擬合出彈簧組理論計算和有限元分析的剛度曲線，得出彈簧組線性剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的平均誤差在6%左右，通過以上分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，理論計算結(jié)果與仿真分析結(jié)果比較接近，驗證了有限元模型的合理性和正確性。同時有限元分析能更加快速直觀的得到彈簧的具體受力情況，因此可縮短更復(fù)雜彈簧組剛度計算周期，對于工程實際有一定的指導(dǎo)意義。