熊紅彥 李海寶

摘 要：本文針對工科基礎課教學面臨的學時少、內容多、學生學習難度大等問題，創(chuàng)造性地將分形理論的思想運用于教學改革，提出了一種全新教學方法——系統(tǒng)與“分形”式教學法，并對該教學法的思想基礎、實施細則、實施成效三方面內容進行了介紹。

關鍵詞：分形理論；系統(tǒng)與“分形”式教學法；自相似；仿射

分形理論（Fractal Theory）是非線性科學的重要分支和前沿，也是一門新興的橫斷學科，最早由美籍數(shù)學家本華·曼德博（B. B. Mandelbrot）提出[1]。分形理論用于教育教學研究是一種廣義的分形。系統(tǒng)與“分形”式教學法是筆者立足于大工程背景下高等教育內涵式建設，針對高等數(shù)學、大學物理、材料力學等工科基礎課程所面臨的學時少、內容多、學生學習難度大，與新工科建設要求不相適應的現(xiàn)實狀況，創(chuàng)造性地將分形理論的思想運用于教學改革而提出的一種全新教學方法。

一、系統(tǒng)與“分形”式教學法的基本思想

以分形理論的視角來審視教育活動，可以發(fā)現(xiàn)在教育教學領域中，廣義分形是普遍存在的，如不同專業(yè)的人才培養(yǎng)定位、課程體系設置、教學質量評價等，不同課程的基本要求、教學方法、內容體系等，同一門課程中不同內容的邏輯體系、歸納推理、思想方法等，均不同程度存在自相似性或自仿射性。顯然，以廣義分形理論的視角來重新審視教育科學研究領域中不同研究對象間所存在的相似性，具有重要的實踐價值。

系統(tǒng)與“分形”式教學法，就是把分形的概念和思想抽象為一種教學方法論。它的內容主要包括以下兩點：

第一，借助自相似的分形概念和葉脈、樹杈、雪花等分形圖形，從復雜的理論、內容中發(fā)現(xiàn)內部所蘊涵的規(guī)律。

第二，以課程知識體系結構的部分和整體之間的自相似性或自仿射性為切入點，將復雜的理論、內容整合成一個“系統(tǒng)”，通過認識知識體系的部分來反映和認識知識體系的整體，以及通過認識整體來把握和深化對部分的認識。這些“系統(tǒng)”既包括內容體系，也包括基本概念、定理定律、物理意義，還包括思想方法、邏輯推理等諸多方面。

系統(tǒng)與“分形”教學方法的核心思想是：從知識體系結構入手，借助自相似的分形概念和樹杈、葉脈、雪花等分形圖形，通過分析與對比，找出教學內容體系局部與整體、同一整體的不同局部之間所存在的相似性關聯(lián)，構建起以知識點為核心的知識“系統(tǒng)”。教師通過恰當?shù)那榫皠?chuàng)設、問題轉換等途徑，引導學生探尋普適性方法與規(guī)律，從相似性視角來學習新“系統(tǒng)”，完成由此及彼的仿射。

這種教學方法，有助于學生系統(tǒng)性、整體性的思考問題，在相對較少的時間里就能夠掌握新知識，避免教師單向灌輸，實現(xiàn)從單一傳授知識向傳授知識、思想、方法三者并重轉變。

二、教學的原則與實施

以理工科重要的公共基礎課——高等數(shù)學、大學物理、材料力學為例。該類課程中存在許多體系結構相似、理論內容相關聯(lián)的教學章節(jié)。然而，傳統(tǒng)教學中多采用孤立的、單獨的講授方式，這一方面不利于學生對知識形成關聯(lián)性和系統(tǒng)性的認識，另一方面，在“大工程”和“新工科”頂層教學改革的持續(xù)推進，以及信息技術與傳統(tǒng)教學深度融合的背景下，理工科基礎課知識的豐富性與課時有限性的矛盾更加突出。系統(tǒng)與“分形”式教學法能夠有效地解決上述問題，下面介紹該教學法的具體運用。

1.教學設計原則

開展系統(tǒng)與“分形”式教學，首先要注重教學內容的科學性。要以科學研究的基本階段和知識體系的綜合為主線，結合高等數(shù)學、大學物理、材料力學基礎課程的教學內容確定一些小而精的選題。其次是教學內容的基礎性，在教學過程中對高等數(shù)學、大學物理、理論力學、材料力學的知識應用進行深入的分析和體會，不僅給學生打下良好的知識功底，也使學生掌握針對工程實際進行分析問題、解決問題的一般規(guī)律和手段。另外，還要注重廣博性，數(shù)、理、力基礎課程蘊涵的科學思想和研究方法對其他學科具有指導性，調動學生學習的積極性和主動性，不斷地發(fā)展和完善學生的綜合能力。

2.教學實施原則

首先，認真挖掘課程內部所蘊涵的規(guī)律，總結大學物理、高等數(shù)學、材料力學等課程的知識體系、結構及其特征，以及存在的自相似性或自仿射性，將其整合為一個總的“系統(tǒng)”。以大學物理課程為例，構成大學物理課程的核心內容是力學、熱學、電磁學、光學、量子物理基礎，這五個部分盡管各自獨立，但課程整體與部分之間又存在著某些相似的知識體系結構。我們把它整合成一個總的“系統(tǒng)”，其分形圖形為分形樹結構，包含力學、熱學、電磁學、光學、量子物理基礎五個部分（局部）。課程中每個枝條（局部）都按計算模型的建立、理論公式的推導、相關公式的內部關系、綜合分析、理論與實際的結合[2]等五塊核心內容來研究，整體上研究思路是相似的。

其次，圍繞核心內容，按知識點分成五個精細結構，即結構分形。

（1）概念與模型?？偨Y歸納圍繞核心知識點的基本概念、抽象模型。

（2）對象與規(guī)律。以大學物理課程為例，圍繞最基本的三個對象展開，即物質、能量、物質與能量的相互作用，總結歸納物質自身屬性以及作用規(guī)律。

（3）思想與方法。努力尋找在不同的“系

統(tǒng)”間可以共享的思想、方法，特別是一些概念或定義的引入和應用。

（4）計算方法與步驟。努力尋找在不同的“系統(tǒng)”間計算方法、解決問題思想的相似性，總結解決問題的一般步驟。

（5）工程應用與拓展。圍繞“大工程”進行教學內容的準備，強調學習內容與工程應用的緊密聯(lián)系，積極尋找和開發(fā)與核心知識點緊密聯(lián)系的工程應用案例或素材。

為實現(xiàn)“系統(tǒng)”的有效整合，針對每個（存在自相似性或自仿射性的）精細結構，還可以將相關內容整合成若干個小“系統(tǒng)”，進行局部專題式研討，要求教師深入挖掘教材的核心內容體系，特別是在概念模型的建立、思想方法的挖掘、工程與應用結合案例等方面匠心設計，形成可用于實踐的若干示范案例。

經過數(shù)輪教學循環(huán)，不斷加強“系統(tǒng)”的設計開發(fā)力度，日益豐富教學資源，為系統(tǒng)與“分形”式教學提供堅實支撐。

3.教學實施

系統(tǒng)與“分形”式教學應引導學生從相似性視角，對所學知識形成系統(tǒng)性和關聯(lián)性認識。在課堂教學中，教師圍繞核心知識點，針對每個存在自相似性或自仿射性的內容，按“系統(tǒng)”進行強化引導，完成知識傳授。教師應該重點關注預期獲得的思想、知識、方法、技能等，通過各種教學手段，引導學生從相似性視角來學習新“內容”，完成由此及彼的自“仿射”。

例如，教師在講授大學物理課程有關靜電場內容時，可以與重力場相聯(lián)系，引出：重力場是保守場，靜電場是否也是保守場？重力場對質子做功與靜電場對電荷做功問題是否相同？等等。教師通過設計這樣一些具有相似性，同時有一定探索性、開放性的問題供學生思考與討論，有助于對知識形成關聯(lián)性和系統(tǒng)性的認識。

又如，針對大學物理課程中剛體運動學、動力學的學習難點，教師完全可以借助于質點運動學、動力學的規(guī)律與概念進行講解，降解學習難度：借助力是物體平動的原因，引導學生去理解力矩是物體轉動的原因；借助質量去理解轉動慣量，由牛頓第二定律去理解轉動定律，完成仿射。

高等數(shù)學積分學內容是一個典型的具有分形結構的教學體系。積分學主要內容包括不定積分、定積分、重積分、曲線積分和曲面積分等。與分形樹類似，在積分學教學內容這一分形樹干上有若干枝條，如重積分、曲線積分等，各枝條上具有相似的小枝條——積分方法。每個小枝條（局部）都包含理論公式的推導、相關公式的內部關系、綜合分析、理論與實際的結合等核心內容，在思路上是相似的。

這種自“仿射”，具有夯實基礎、強化理解、提高自我學習能力，提高學習效率的作用。

為了突出“大工程”教育背景，我們以系統(tǒng)與“分形”式教學法為指導，在傳統(tǒng)教學中融入工程教育，通過信息技術手段，按照“工程—理論—工程”模式，為核心知識點構建工程教育情境。我們將每個“系統(tǒng)”所對應的核心知識點與某個或某幾個工程案例背后的理論相聯(lián)系，從工程中引入，最后再回歸工程。學生通過一個“系統(tǒng)”的學習，能夠初步理順“工程—理論—工程”的學習與認知規(guī)律。這樣，在面對一個新的“系統(tǒng)”學習時，通過教師的引導，就能夠完成認知、學習的“仿射”。

三、實施系統(tǒng)與“分形”式教學法的成效

系統(tǒng)與“分形”式教學法提高了教師的教學效率和學生的學習效率，解決了理工科基礎課知識的豐富性與課時有限性的矛盾。教師通過認真做好知識體系的重構工作，節(jié)省了大量過去在傳統(tǒng)教學中講授思想相同的不同知識點而花費的時間，使教師可以將更多精力投放到教學內容的深度挖掘和融合設計環(huán)節(jié)上，在教學中更加注重思想方法的傳授。學生通過一個完整的“系統(tǒng)”學習所獲得的思想、方法可以仿射到具有相似性的新知識“系統(tǒng)”中，使學生節(jié)省了大量的重復學習的時間，從而將更多精力投入到拓展工程視野和按需學習活動中，更加注重思想方法的學習。

系統(tǒng)與“分形”式教學法從多層面、多視角、多維度去認識教學內容之間的關聯(lián)方式，使我們的教育思維方式發(fā)散開來，由線性階段進展到了非線性階段。一方面提高了教學效率，促進了教師教學技能的提升；另一方面，以學生為中心，注重引導學生掌握科學的學習方法、思維方法和研究方法，注重培養(yǎng)學生自我獲取知識的能力、終身學習的能力。同時，促進了信息技術與傳統(tǒng)課程的緊密融合，提升了大工程背景下基礎課程的教學質量。

參考文獻：

[1] Deng Y， Chen M， Jin Y， et al. Theoretical analysis and experimental research on the energy dissipation of rock crushing based on fractal theory[J]. Journal of Natural Gas Science & Engineering， 2016（33）：231-239.

[2] 熊紅彥，陳建濤，劉志軍. 工科基礎課教學法改革的探索[J]. 河北建筑科技學院學報（社科版），2005（2）：74-75.

[本研究前期的階段成果曾獲2017年河北省教學成果一等獎]

[責任編輯：夏魯惠]