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(閩清教師進(jìn)修學(xué)校,福建 閩清 350800)

1 試題特點(diǎn)

2018年高考解析幾何試題具有以下特點(diǎn)：

1)各地試卷中解析幾何題量均為“兩小一大”，即兩道客觀題，一道解答題，分值在22～26分．

2)不少試卷中出現(xiàn)了“低保題”，體現(xiàn)了對(duì)考生的人文關(guān)懷．

3)全國卷解析幾何的思維量和計(jì)算量出現(xiàn)較大幅度的下降，卷Ⅰ、卷Ⅱ理科解答題由原來的第20題改為第19題．卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷Ⅲ文理科解答題幾乎一樣，為高中新課程不再文理分科發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用．

4)試題具有“三不給”的風(fēng)格，即不給出圖形、不給出點(diǎn)坐標(biāo)、不給出直線方程，考生要從畫圖、引入點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程開始解題．

5)加強(qiáng)了對(duì)雙曲線的考查，幾乎所有試卷都在客觀題中考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)．

6)突出了坐標(biāo)化、數(shù)形結(jié)合、回歸定義、優(yōu)選直線等解析幾何本質(zhì)問題的考查，體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的命題立意．

7)選擇題和填空題主要考查圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系．解答題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，第一步入題比較容易，在簡單的條件下求橢圓、拋物線、直線的方程或直線斜率等參數(shù)的取值范圍；第二步主要求斜率、距離(弦長)、面積、定值(定點(diǎn))、存在性等問題，注重同向量、三角、平面幾何、函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)的綜合．

2 試題解析

( )

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第12題)

圖1

數(shù)形結(jié)合，即可秒獲答案，無需解析幾何之運(yùn)算．除了本題外，還有很多試題都可直接圖解．

(2018年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

圖2

反思圓錐曲線的定義體現(xiàn)了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，運(yùn)用圓錐曲線定義解題是一種最直接、最本質(zhì)的方法，常能收到立竿見影之效．回歸定義與數(shù)形結(jié)合相得益彰，成為解題中最美的風(fēng)景，學(xué)生千萬不可“忘本忘形”．

圖3

1)求橢圓的方程.

(2018年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

解法1設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中x1>x2>0．由l:y=kx(其中k>0)，得

由于直線AB的方程為x+y=2，從而

即

4(2-x2)=5k(x1-x2).

(1)

把x1,x2代入式(1)得

解法2設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中y1>y2>0．由l:y=kx(其中k>0)，得

由于直線AB的方程為x+y=2，從而

5y1=9y2,

代入5y1=9y2，得

即

得

5y1=9y2，

以下同解法2．

解法4設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中x1>x2>0．在△OAQ中，∠OAB=45°，由正弦定理得

即

從而

于是

5x1=9x2,

受此式右邊啟發(fā)可構(gòu)造直角三角形：作PN⊥x軸于點(diǎn)N，QH⊥PN于點(diǎn)H，QM⊥x軸于點(diǎn)M．在Rt△PHQ中，

|PH|=|PQ|sin∠PQH=|PQ|sin∠AOQ，

即

y1-y2=|PQ|sin∠AOQ.

在Rt△QMA中,

|MQ|=|AQ|sin∠MAQ，

即

5y1=9y2，

以下同解法2．

解法6設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中x1>x2>0,則

2|OP|cos∠AOP.

(2)

(3)

式(3)÷式(2)，得

亦即

4(2-x2)=5k(x1-x2)，

下同解法1.

反思三角、向量都具有數(shù)與形的雙重身份．為減少計(jì)算量，在坐標(biāo)化前要考慮可否利用三角、向量、平面幾何知識(shí)簡化幾何問題．對(duì)某些看似與三角、向量、平面幾何無關(guān)的距離、面積等問題，若能結(jié)合三角、向量、平面幾何知識(shí)，則可收到事半功倍之效．

1)求橢圓M的方程；

圖4

2)若k=1，求|AB|的最大值；

(2018年北京市數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

(1+3t2)x2+12t2x+12t2-3=0，

從而

于是

故

化簡為

4y2-4x2-7=4y1-4x1-7，

即

亦即

k=1．

(m2+3)y2-4my+1=0，

從而

由x1=my1-2得

于是

解法3設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4),則

兩式相減得

(x1+x3)(x1-x3)+3(y1+y2)(y1-y3)=0,

即

(4)

(5)

(6)

把式(5),式(6)代入式(4)整理為

得

從而

故

解題難度和運(yùn)算量除了與直線方程選擇有關(guān)外，還與源變量的選擇有很大關(guān)系．解法1～3中點(diǎn)C，D的坐標(biāo)直接分別用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)表示，運(yùn)算簡捷．而思路2由于點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)用中間參數(shù)p，q表示，點(diǎn)C與點(diǎn)A、點(diǎn)D與點(diǎn)B坐標(biāo)的關(guān)系是間接關(guān)系而不是直接關(guān)系，因此造成很大的運(yùn)算量．

3 教學(xué)建議

3.1 教學(xué)現(xiàn)狀

解析幾何綜合題基本上是考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，此問題素來是教學(xué)難點(diǎn)和高考熱點(diǎn)．對(duì)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，教師增加了教學(xué)課時(shí)，設(shè)計(jì)了復(fù)習(xí)專題，強(qiáng)化了考試練習(xí)，學(xué)生投入了成倍學(xué)時(shí)，經(jīng)歷了艱難思路，進(jìn)行了大量運(yùn)算，但教學(xué)卻毫無收效．勞而無功的教學(xué)使教師對(duì)解析幾何失去信心，學(xué)生對(duì)解析幾何產(chǎn)生恐懼．當(dāng)教學(xué)投入與產(chǎn)出總不成正比時(shí)，許多教師認(rèn)為解析幾何綜合題不可教，很多學(xué)生(包括優(yōu)等生)感到解析幾何綜合題不可學(xué)．有些教師在考試策略上指導(dǎo)學(xué)生對(duì)解析幾何解答題要舍得放棄，采用“第一步確保，第二步列式”的戰(zhàn)術(shù)，錯(cuò)失了解析幾何承載的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的教育價(jià)值．經(jīng)過對(duì)解析幾何綜合題學(xué)習(xí)情況的問卷與訪談，發(fā)現(xiàn)造成教學(xué)高負(fù)低效的主要原因有：一是解題思路茫然；二是“忘本忘形”(忘了回歸定義和數(shù)形結(jié)合)；三是盲目套用直線方程；四是計(jì)算缺乏結(jié)構(gòu)與整體意識(shí)．解析幾何教學(xué)要改變現(xiàn)狀走出困境，就必須找到破解這些問題的有效策略．

3.2 基本路徑

解析幾何因研究自由落體、拋物線和行星運(yùn)動(dòng)的需要而產(chǎn)生，是建立在運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)之上的學(xué)科．解析幾何的基本思想是坐標(biāo)化和運(yùn)動(dòng)變化思想．?dāng)?shù)學(xué)家柯朗認(rèn)為：“解析幾何的基本思想是引進(jìn)‘坐標(biāo)’，即對(duì)一個(gè)幾何對(duì)象附上或標(biāo)上數(shù)，從而完全刻畫了這個(gè)對(duì)象．”[1]在運(yùn)動(dòng)變化中有些變量(如動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、動(dòng)直線參數(shù)等)是引起變化的根本原因，其他變量隨它的變化而變化，把這樣的變量稱為源變量．直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合題歸結(jié)于直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題，因此研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題可通過引進(jìn)源變量，把直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)和幾何問題用源變量表示，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算解決問題．研究的基本路徑為：引入源變量(如動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、動(dòng)直線參數(shù)等)→由點(diǎn)所在的直線、曲線方程求出坐標(biāo)或坐標(biāo)關(guān)系式→把幾何問題用源變量表示→通過代數(shù)運(yùn)算解決問題．從運(yùn)動(dòng)變化入手使解析幾何研究變得有根、有序、鮮活、靈動(dòng)．

3.3 基本經(jīng)驗(yàn)

研究解析幾何問題，除了遵循以上基本路徑外，還要從圓錐曲線定義(屬性)、數(shù)形結(jié)合思想、直線方程選擇、源變量引入和數(shù)式結(jié)構(gòu)觀察等視角優(yōu)化研究過程．圓錐曲線定義是圓錐曲線的本源，因此靈活運(yùn)用圓錐曲線定義解題是最直接、最本質(zhì)的方法，對(duì)涉及焦半徑的問題利用定義直截了當(dāng)，立竿見影．解析幾何研究的是幾何問題，研究過程總是離不開“形”的特點(diǎn)，因此在坐標(biāo)化前要考慮能否利用平面幾何、三角、向量等知識(shí)簡化幾何關(guān)系，坐標(biāo)化過程要注意每個(gè)式子的幾何意義．“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”(華羅庚語)，數(shù)與形密不可分，數(shù)形結(jié)合是優(yōu)化思維性、減少運(yùn)算量的利器．解析幾何的研究方法是坐標(biāo)化后通過研究直線、曲線方程解決幾何問題．圓錐曲線方程相對(duì)單一，但直線方程形式多樣，選擇哪條直線、哪種形式，對(duì)計(jì)算量有很大影響，因此要根據(jù)題情判斷如何優(yōu)選直線方程．解析幾何離不開計(jì)算，坐標(biāo)化后代數(shù)運(yùn)算要遵循數(shù)式運(yùn)算法則，先細(xì)致觀察數(shù)式結(jié)構(gòu)表征后再實(shí)施相應(yīng)運(yùn)算，做到且看且算，且算且思．對(duì)同類項(xiàng)要展開合并，多項(xiàng)式要因式分解，公因式要提取，分式要通分(或去分母)，多元要消元，去括號(hào)要注意是否變號(hào)．還要注意使用化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、分類討論、整體代換、設(shè)而不求、代標(biāo)相減等思想方法．教師對(duì)運(yùn)算要言傳身教，全程示范，不能用“化簡為”“整理得”省略學(xué)生可能犯錯(cuò)的步驟，在板演中強(qiáng)調(diào)思維點(diǎn)、切入點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、得分點(diǎn)．但教師無法替代學(xué)生的計(jì)算，學(xué)生不可能完全通過聽和看形成計(jì)算能力，必須在腳踏實(shí)地的計(jì)算實(shí)踐中進(jìn)行鍛煉．

為防止學(xué)生“忘本忘形”，形成良好的解題習(xí)慣，可給學(xué)生概括以下瑯瑯上口的研究解析幾何問題的基本經(jīng)驗(yàn)：回歸定義不可忘，數(shù)形結(jié)合成習(xí)慣，選擇直線要判斷，數(shù)式先看后運(yùn)算．

解析幾何教學(xué)的精髓是教師引導(dǎo)學(xué)生在變化的現(xiàn)象中研究不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探究變化的規(guī)律．坐標(biāo)化與運(yùn)動(dòng)變化思想、回歸定義、數(shù)形結(jié)合、優(yōu)選直線方程是解析幾何的本質(zhì)規(guī)律，把握這一不變的本質(zhì)規(guī)律就能以不變應(yīng)萬變，讓教學(xué)走出困境，為教學(xué)減負(fù)增效．