●

(學軍中學，浙江 杭州 310012)

2018年是浙江省實施高考改革后的第二年，又是實行文理合卷的第二年，針對“2018年浙江省數(shù)學高考試卷的特點，命題有哪些不足，對高中數(shù)學教學有何導向”，筆者談談自己的認識，以求拋磚引玉．

1 命題的特點

試卷嚴格遵循《普通高中數(shù)學課程標準(2017年)》(以下簡稱《課程標準》)、《浙江省普通高中學科教學指導意見(數(shù)學)》及《2018年浙江省普通高考考試說明(數(shù)學)》，系統(tǒng)、全面地考查了高中數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本方法和基本數(shù)學思想．依然保持浙江數(shù)學試卷的鮮明特色，同時克服試題的模式化，難度較2017年有所下降，受到了考生、教師的普遍認同．有利于高校選拔人才，有利于引導高中數(shù)學教學，可謂“注重基礎、突出通法、聚焦素養(yǎng)”，主要體現(xiàn)了以下3個特點：

1．1 層次分明，難度降低

充分考慮到文理合卷的特點，2018年命題依然采用2017年的命題策略——文科韻味、理科深度，與2017年試卷相比，再次增加了簡單試題的數(shù)量，如選擇題第1～4題和填空題第11～14題，這些題為課本練習題的難度，起點較低，只要仔細做，就能做對；選擇題、填空題最后一題及最后兩個解答題為全卷壓軸，控制高分人數(shù)；設置中檔題和分步設問，這些題接近課本習題或復習參考題難度，讓基礎薄弱的學生爭取及格成為可能，同時使一些優(yōu)秀學生脫穎而出．從閱卷信息反饋看，全省平均分比2017年提高了5分，但高分人數(shù)比2017年減少了，基本符合命題專家的預期．

1.2 突出通法，注重本質(zhì)

數(shù)學教學總是從概念開始，由此引出定理、公式等相關(guān)運算，所得的解題方法即是所謂的“通性通法”，這是教學中首先應該強調(diào)的“一般法則”.2018年試卷充分考慮了解題方法的大眾化與常規(guī)化，不在冷僻的技巧上設置問題，努力貼近學生，在通性通法上下功夫，試題熟悉而不脫俗，材料背景熟悉，設問方式常規(guī)，解題方法基本，凸顯數(shù)學本質(zhì)，在考基礎、通性、通法上體現(xiàn)得淋漓盡致.

例1已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點)．設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

(2018年浙江省數(shù)學高考試題第8題)

此題將空間3個角植入特定的四棱錐中，比較3個角的大小，解答此題只需線線角、線面角、面面角的概念清晰，作出3個角，轉(zhuǎn)化為比較3個角正切值的大小，便可得出結(jié)論．

試卷對函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等進行了全面的考查.試題呈現(xiàn)“簡約而不簡單”，入口寬，解題途徑比較多.選擇的切入點不同，解題過程的簡捷程度也不同，可以檢測不同層次學生的思維水平．如：

( )

(2018年浙江省數(shù)學高考試題第9題)

圖1

點評本題考查平面向量的數(shù)量積、模等基本知識及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想．解法1比較容易想到，但有一定的運算量，解法2比較簡潔．這兩種解法都把原問題轉(zhuǎn)化為射線上的點與圓上的點的距離的最小值問題．

1.3 創(chuàng)新設計，聚焦素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力．數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析．

試卷對基礎知識、基本方法考查的同時，突出對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查．試卷充分體現(xiàn)以知識為載體、方法為依托、能力為導向的命題特點，突顯試題的選拔功能．如：

圖2

例3如圖2，已知點P是y軸的左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C:y2=4x上存在兩個不同的點A,B滿足PA,PB的中點均在C上．

1)設AB的中點為M,證明:PM⊥y軸；

(2018年浙江省數(shù)學高考試題第21題)

本題考查拋物線、橢圓的簡單幾何性質(zhì)及解析幾何的基本思想方法和直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，避開了平時學生大量操練的“聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，然后進行消元”的解題模式．

1)若f(x)在x=x1,x=x2(其中x1≠x2)處的導數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln 2；

2)若a≤3-4ln 2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點．

(2018年浙江省數(shù)學高考試題第22題)

此題是以人教A版教材《數(shù)學(必修1)》第88頁的例1“求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點個數(shù)”為藍本改編而來，命題組給出的第2)小題的解答與課本的此例方法是相同的，從而體現(xiàn)了“題在書外，根在書中”．

第1)小題與以下例5屬于相關(guān)題：

例5已知函數(shù)f(x)=x2+aln(x+2)存在兩個極值點x1,x2.

1)求實數(shù)a的取值范圍；

2)記S=f(x1)+f(x2)，求S的取值范圍．

第2)小題與以下例6屬于相關(guān)題：

1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2015年北京市數(shù)學高考文科試題第19題)

例4中兩個小題的解答與上述兩個相關(guān)題的解答也相似．

試卷改變前3年以數(shù)列不等式作為壓軸題，函數(shù)與導數(shù)重返壓軸題位置，此題設計的函數(shù)有唯一的駐點(4,2-2ln 2)與拐點(16,4-4ln 2).命題組通過挖掘幾何性質(zhì)精心設計問題，體現(xiàn)了導數(shù)的基本運用，考查了學生綜合運用知識分析問題、解決問題的能力，及直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)．

命題組給出本題的參考答案為：第1)小題將f(x1)+f(x2)表示為關(guān)于x1x2的函數(shù)，利用已知條件及基本不等式確定x1x2的取值范圍，從而解決問題；第2)小題先構(gòu)造符號相反的函數(shù)值，再運用函數(shù)零點存在定理證明零點的存在性，然后運用函數(shù)的單調(diào)性證明零點的唯一性．構(gòu)造符號相反的函數(shù)值，學生很難想到，實質(zhì)是極限思想下的構(gòu)造．

限于篇幅，本文僅給出例4的另外一種解法．

從而g(x)為減函數(shù).因此

即

f(x1)+f(x2)>8-8ln 2．

f(x)-kx=a.

記F(x)=f(x)-kx，則

當x→0+時，F(xiàn)(x)→+∞；當x→+∞時，F(xiàn)(x)→-∞．

故

從而h(x)單調(diào)遞減，于是

h(x)>h(16)=3-4ln 2,

即

F(α)>3-4ln 2≥a,

亦即

F(α)>a,

故方程F(x)=a必有唯一的實數(shù)解，即直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點．

點評第1)小題的參考答案選擇t=x1x2為自變量，需運用基本不等式，而筆者所給出的解法選擇m為自變量，回避了基本不等式；第2)小題的參考答案分離參數(shù)k，而筆者所給出的證法分離參數(shù)a，利用極值解決問題，入手比較容易．

2 試卷的不足

試卷第18題第2)小題考查配角法；第20題第2)小題考查錯位相減法，配角法與錯位相減法都屬于解題技巧，“是否屬于中學數(shù)學的基本方法、是否應該作為重點考查”有待商榷.

從閱卷結(jié)果看，中檔學生的數(shù)學水平拉不開檔次，原因是中檔題目偏少了些，低檔題目偏多了些，低、中、高檔題需要合理配置．

3 對教學的啟示

文理合卷后，命題的風格發(fā)生了改變，我們的教學也應作相應的改變．

在新授課教學中，研究《課程標準》，基于《課程標準》，立足教材，重視教材的使用，揭示概念的發(fā)生、發(fā)展過程，建構(gòu)數(shù)學概念，理解數(shù)學本質(zhì)，突出思維能力和運算能力的培養(yǎng)．

在復習課教學中，把課本上的知識、方法重組與概括，揭示其內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，形成網(wǎng)絡，克服盲目做題、重復操練，訓練學生思維的深刻性和批判性，培養(yǎng)獨立思考能力．這樣才能把基礎知識、基本技能、基本思想方法落到實處．

學習數(shù)學，除了獲取必要的數(shù)學知識和掌握必要的數(shù)學技能之外，更重要的是獲得基本的數(shù)學素養(yǎng).為培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，教師要了解學生核心素養(yǎng)的習得規(guī)律．在教學過程中，培養(yǎng)學生對問題一種分析的態(tài)度、一種探究的目光，對課堂上的某些問題適當加以延伸、推廣等，并引導學生加以解決，使學生的數(shù)學關(guān)鍵能力和學習力獲得提升，實現(xiàn)有意義的深度學習．