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(杭州學(xué)軍中學(xué)，浙江 杭州 310012)

2018年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽頒獎(jiǎng)大會(huì)已經(jīng)結(jié)束，筆者有幸參加了此次會(huì)議，并在會(huì)議上做了一個(gè)20分鐘的講座，內(nèi)容是對一道省賽題的思考.會(huì)后筆者與一些專家和同行進(jìn)行了交流，講座的內(nèi)容反應(yīng)良好，故筆者將其整理成文，和讀者分享.

題目將2n(其中n≥2)個(gè)不同整數(shù)分為2組：a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn，證明：

(2018年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第14題)

1 源頭和背景

本題是一個(gè)改編題，經(jīng)過搜索，筆者找到了該題的源頭.

源題證明：對于2n(其中n≥2)個(gè)不同實(shí)數(shù)a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,有

(1999年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題第二天第2題)

該題的2n個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，而浙江省賽題是2n個(gè)整數(shù)，整數(shù)與實(shí)數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在于整數(shù)具有離散性，即任意兩個(gè)不同整數(shù)之差的絕對值不小于1，也正因?yàn)槿绱?，省賽題中不等式右邊的代數(shù)式才會(huì)有一個(gè)正的下界.

會(huì)后，筆者和命題組教師進(jìn)行了交流，得知該競賽題的背景來源于高等數(shù)學(xué)中的矩陣[1].不妨設(shè)a1

其中矩陣LT為矩陣L的轉(zhuǎn)置,于是

|ai-bj|+|aj-bi|-aj+ai-bj+bi=(|ai-bj|+ai-bj)+(|aj-bi|+bi-aj)≥0,

故對任意i,j∈{1,2,…,n},有

|ai-bj|+|aj-bi|≥|ai-aj|+|bi-bj|.

(1)

由式(1)可知，Tn≥‖S‖≥n.

由此可知，源題的結(jié)論也成立.此證明過程簡潔明了，但因背景涉及到高等數(shù)學(xué)，故命題組給出了一個(gè)較為復(fù)雜的初等證明方法.

2 解法

1)當(dāng)n=2時(shí)，不妨設(shè)a1

T2=|b2-a1|+|b2-a2|+|b1-a1|+|b1-a2|-|a2-a1|-|b2-b1|.

①當(dāng)a1

②當(dāng)a1>b1時(shí)，T2=b2-a2+a1-b1+|b1-a2|+b1-a2≥2.

2)假設(shè)當(dāng)n時(shí)命題成立，即有Tn≥n；當(dāng)n+1時(shí)，不妨設(shè)a1

(2)

①若存在k，使得bk

即式(2)成立.

②類似可證，當(dāng)an+1

綜上所述，式(2)成立，故Tn+1>n+1，即原不等式得證.

評注由于原問題是一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，故考慮用數(shù)學(xué)歸納法.證明過程條理清晰，但歸納過渡部分的分類討論難度較高，給人以入手容易走出難之感.筆者從問題的代數(shù)特征出發(fā)，以關(guān)注整體、追求簡易為目標(biāo)作了探究，發(fā)現(xiàn)了一種較為簡潔的證明方法.

證法2不妨設(shè)a1

3 探究

經(jīng)過思考，得到如下結(jié)論：

結(jié)論1下界n是最優(yōu)的.

結(jié)論2Tn不存在有限的上界.

證明1)由證法2可知，當(dāng)a1

既然不存在有限的上界，那么能否找到一個(gè)可變的上界呢？也就是說能否找到一個(gè)關(guān)于n的表達(dá)式來做Tn的上界呢？經(jīng)過探究得到結(jié)論：

證明考慮調(diào)整法[2].不妨設(shè)a1q,t=1,2,…,n-1)時(shí)，Tn取值為S，當(dāng)ap=xt+1,bq=xt(其中p

(3)

考慮到a1

將上面4個(gè)式子代入式(3)可知

S*-S=4(p-q)(xt+1-xt)>0.

因此，若存在相鄰的兩項(xiàng)bp,aq滿足p>q,ap>bq，則將ap,bq交換位置，可使得Tn增大.如此不斷調(diào)整，直至對于任意的p>q，均有ap

a1

又因?yàn)閍i≥b+i-1，bi≤a-n+i,所以

4 推廣

對于原不等式，筆者還考慮了如下的結(jié)論：

證明不妨設(shè)對于任意i∈(1,2,…,n)，均有ai,1

下面考慮上式右邊的最小值：

對于任意s∈{1,2,…,n}，將a1,s,a2,s,…,ak,s由小到大排序?yàn)閎1,s

當(dāng)bi,s=b1,s+i-1(其中i=1,2,…,k,s=1,2,…,n)時(shí)，取到等號.

5 感想

作為教師，在平時(shí)解題的過程中，當(dāng)有探究、擴(kuò)展意識，而對問題的探究和擴(kuò)展應(yīng)建立在對題目有著精確剖析的基礎(chǔ)上.在剖析題目時(shí)，確立合適的目標(biāo)是最為重要的因素之一.確定了恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)，不僅可以使得解題的過程更加自然，而且還能夠?qū)栴}從多角度展開探索，通過比較和鑒別，選出理想的方法，是實(shí)現(xiàn)簡單自然解題的關(guān)鍵，也是探究數(shù)學(xué)奧秘的重要素質(zhì).