宋健健

【摘 要】“倍的認識”教學中，教師往往通過各種實物表征，概括概念的本質屬性。然而，這樣的教學容易出現(xiàn)以下幾個問題：學習起點把握不準確，知識溝通不順暢；教學活動重同化過程，輕形成過程；練習層次不豐富，思維提升不顯著。對此，教師可以采取如下措施，促進學生概念的形成：以學情為線索，找準知識起點；以內(nèi)容為抓手，完善形成過程；以活動為載體，促進思維提升。

【關鍵詞】概念同化；概念形成；倍的認識

高斯曾經(jīng)說過：“在數(shù)學中重要的不是符號，而是概念?！彼粌H是數(shù)學基礎知識的重要組成部分，更是學生理解問題、分析問題、解決問題的前提。概念學習分為兩種方式：概念形成與概念同化。隨著課改的推進，關注知識的形成與獲得過程，注重概念形成越來越受重視。

所謂概念形成是指從大量情境或實例出發(fā)，通過分析、類比、歸納，概括出概念的本質特征，從而形成新概念。盡管關注概念形成已成為共識，然而在具體的教學過程中仍然存在著許多不足。筆者以“倍的認識”一課為例，結合自己的親身經(jīng)驗，與各位同行共同探討。

一、“倍的認識”概念教學中存在的問題

對于“倍的認識”這一課的教學，最常見的是采用“概念同化”的方式：首先借助主題圖與實物，通過圈一圈、擺一擺、畫一畫等圖示表征方式，由師生共同概括出“倍”的概念，然后通過一系列變式，讓學生從觀察、操作中體會“一倍量”在變化引起倍數(shù)變化，以及“一倍量”不變，倍數(shù)變化，比較的結果也在變化。

然而，作業(yè)中遇到了一個問題“□□□□□□，□的個數(shù)是○的3倍，○畫幾個？”有將近70%的學生認為6×3=18個，只有不到15%的學生能準確畫出2個○，并清楚地說出自己的想法。由此可見，我們的概念教學還存在一些偏差。

（一）學習起點把握不準確，知識溝通不順暢

“倍的認識”是學生在一、二年級學習了“比多少”，三年級學習了乘法知識之后教學的，是從兩個量絕對數(shù)量的比較，向兩個量相對數(shù)量的比較的過渡，也是學習分數(shù)、百分數(shù)、比和函數(shù)等概念的基礎。然而，我們往往容易忽視學生對于兩個量比較的認識起點，輕視了“倍”與“比多少”“份”之間的聯(lián)系。其實對于學生而言，這兩種比較存在著共同點：都是通過一個量去說明另一個量，而“倍”更多的是關注多倍量中有幾個一倍量，導致新舊知識之間的溝通不暢，學生的新概念學習如空中樓閣，沒有扎實的基礎。

（二）教學活動重同化過程，輕形成過程

從這一課的概念學習可以看到，我們在平時的教學中，更多地采用概念同化的教學方式，以定義的方式呈現(xiàn)“倍”這一概念的本質特征，替代學生對概念本質屬性的揭示，以演繹的思維方式由學生接受、理解概念，并納入到自身的概念體系中呈現(xiàn)概念的本質屬性。這種“短、平、快”的概念學習方式，偏重于概念的邏輯結構教學，但忽視了知識的形成過程，導致學生對概念形成缺乏參與體驗，造成部分學生對于“倍”以誰為“標準”、一倍量、多倍量的變化情況理解不到位。

（三）練習層次不豐富，思維提升不顯著

對于“倍的認識”一課，我們一般采用各種變式練習來鞏固“倍”的知識，但往往缺少讓學生進行概念表述、概括提煉的開放性問題，缺乏展現(xiàn)不同學生思維能力的平臺，從而造成學生在理解倍的本質時比較片面。

筆者結合自己的教學實踐與思考，以“倍的認識”教學為例，提出幾點教學中的不同想法，愿和各位同仁分享。

二、“倍的認識”教學建議

（一）以學情為線索，找準知識起點

任何數(shù)學知識的教學，設計前都需要明確考慮兒童的已有生活經(jīng)驗、認知水平和情感訴求，即學生的興趣點與困難所在，以學情為前提，找準知識的起點，也就是“以學的活動為基點”來設計和展開教學，著重考慮學生需要學什么，怎樣學才能學得好。

1.找準聯(lián)結點，情境導入

數(shù)學概念不是孤立存在的，它們在本質上都是有聯(lián)系的，因為數(shù)學中的任何一個概念，只有與其他概念相聯(lián)系，才能生成和發(fā)展。引導學生明確這些概念之間的聯(lián)系，找準新舊知識的聯(lián)結點，以學生的認知訴求為前提，并結合一定的教學情境，能幫助學生更好地理解概念。

因此筆者在執(zhí)教時，設計了以下情境問題：

師：（出示圖1）你發(fā)現(xiàn)了什么？（多2個，多2倍，3倍）（出示圖2）你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：第一幅和第二幅圖有什么相同點？

師：（出示圖3）現(xiàn)在第一行有4個，第二行該畫幾個呢？仔細觀察圖1、圖2，你能仿照這兩幅圖的意思畫第三幅圖嗎？

生：畫8個。

生：10個。

兩個量之間的比較，既可以比較它們的絕對關系，比如“比多少”，還可以比較它們的相對關系，比如“倍”與“幾份之幾”。然而對于大部分三年級學生而言，比多少與找規(guī)則是已有經(jīng)驗，“倍”是第一次接觸。通過比較前兩幅圖的相同點這一問題情境，找到新概念與已有知識之間的聯(lián)結點，既能激發(fā)學生的學習興趣，又能啟發(fā)學生從倍的角度思考問題，將學生引入一種主動要求參與的渴求狀態(tài)，并在教師的適時適度導引下，起到“提領而頓，百毛皆順”的作用。

2.聚焦沖突點， 建立模型

小學階段的概念學習往往是新的需要與學生原有數(shù)學水平之間存在認識沖突，正是由于這種沖突，更能引發(fā)學生的思考，從而產(chǎn)生新的學習內(nèi)驅力。在教學時需要準確把握知識的沖突點，以此為切入口，以清晰的圖形表征建立模型，形成對倍的初步認識。

生：○○○○○○○○○○○○

師：為什么畫12個？

生：圖1把1個看作1份，第二行有3份；圖2把2個看作1份，第二行有3份；圖3把4個看作1份，第二行也要畫3份。

師：（出示圖4）這位小朋友中間空開了，你們能看懂嗎？（生說想法）

師：（出示圖5）還有同學是圈一圈的，是什么意思？你們能不能也像這位小朋友這樣畫12個，并圈一圈呢？

師：我們把第一行的4個看成1份，第二行有這樣的3份就是幾個幾？（3個4）我們也可以說第二行圓形的個數(shù)是第一行的？（板書3倍）

師：剛才你們說這兩幅圖也是3倍，你能不能也來圈一圈、說一說？

師：我們知道這三幅圖雖然數(shù)量都不一樣，但是第二行圓形的個數(shù)都是第一行的？（3倍）如果現(xiàn)在要把第二行圓形的個數(shù)變成第一行的4倍，你會增加幾個圓形呢？

師：現(xiàn)在都是4倍了，為什么這里增加了1個，這里增加2個，而這里要增加4個呢？

“為什么畫12個？”這是本課的一個沖突點，借助“份”來幫助學生理解 “倍”，通過研究一份和多份之間的關系，溝通“倍”與原有知識“份”之間的聯(lián)系，讓學生自發(fā)地想到兩個量之間還可以用“倍”來表示，促使學生理解倍的共同屬性。變式練習“如果把第二行圓形的個數(shù)變成第一行的4倍，為什么每幅圖增加的個數(shù)不一樣？”這是第二個沖突點，通過畫一畫使學生理解因為一倍量不同，因此每次增加的個數(shù)也不同，使學生第一次感受一倍量的重要性，從而為豐富“倍”的內(nèi)涵服務。

（二）以內(nèi)容為抓手，完善形成過程

當課堂進入交流與合作探究的時候，如何讓不同程度的學生都能在共同參與的過程中形成“倍”的概念，理解其本質內(nèi)涵，這離不開教師對教學內(nèi)容的解讀與再設計，缺少不了對比辨析與強化練習。

1.從文到形，對比顯內(nèi)涵

知識網(wǎng)絡的構建往往要經(jīng)歷一個建立—分解—重建的過程，概念學習也是如此。當學生經(jīng)歷了概念的發(fā)生與形成后，更需要一個分解重建的過程，從而幫助學生在對比練習中完善倍的模型。然而，我們在平時的教學中往往重視數(shù)形結合，卻很少用到文字與圖形結合的方式分解數(shù)學概念。因此筆者設計了以下問題，希望幫助學生從自我語言漸漸進入到能用比較嚴謹?shù)臄?shù)學語言表述概念，加深對倍的理解。

師：兩個小朋友在討論，他們每人說了一句話，猜猜他們分別說的是哪一張圖？

師：這兩個小朋友，你覺得誰說的話更有水平？為什么？

生：小B，因為一句話包括兩幅圖。

師：紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍，可以表示紅蘿卜有4根，白蘿卜有1根；紅蘿卜有8根，白蘿卜有幾根？還可以表示紅蘿卜有幾根，白蘿卜有幾根？（出示圖7）

師：這樣的例子舉得完嗎？只要符合怎樣的條件，紅蘿卜就是白蘿卜的4倍呢？

通過第一個問題，紅蘿卜比白蘿卜多3根，找到匹配的圖是第一幅圖，打破學生的思維定勢，回顧比多少的知識。第二個問題“紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍”，學生的第一反應是選擇圖6，因為當一倍量為1個時，多倍量就是4個，在圖上能清晰地看到。也有學生發(fā)現(xiàn)還可以把2個白蘿卜看成1份，紅蘿卜就有4個2，因此也可以說紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍，因此一句話可以對應兩幅圖，打通了文字與圖形的壁壘。第三個問題“誰的話更有水平”，學生明顯感到小B可以用一句話概括兩幅圖的意思，其實就突出了4倍的本質意義。最有價值的是最后一個問題“只有符合什么條件，就可以說紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍？”再次凸顯倍的本質屬性，將一倍量作為標準，多倍量有4個一倍量即可。

2.由形到文，概括本質

對倍的了解需要經(jīng)歷一個繼續(xù)探究的過程，學生只有經(jīng)歷大量的具體實例后，才能逐步建立“倍”的概念。通過精練的語言描述能幫助學生重新審視倍的含義，因此筆者設計了以下練習。

師：我們剛才認識了“倍”這個新朋友，接下來我們繼續(xù)用倍的眼光去解決一些問題好嗎？

師：第一幅圖男生人數(shù)是女生的？第二幅圖男生人數(shù)是女生的？你能學學聰明的小B用一句話同時表示兩幅圖的意思嗎？（生寫一寫）

師：你們都寫了男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍，怎么看出是3倍？

在經(jīng)歷了從文字到圖形的過程后，學生對于倍有了較為深入的理解。這時，將練習進行反向操作，出示兩幅圖，請學生用一句話概括，促使學生尋找兩幅圖的共同點，使學生盡可能地理解倍的本質。

（三）以活動為載體，促進思維提升

課堂離不開教學活動的架構與展開，更離不開設計與實施。然而在平時教學中，我們往往更注重知識的獲得過程，而忽視了其背后的思維提升。因此，教師可以根據(jù)學習內(nèi)容中蘊含的科學規(guī)律創(chuàng)設活動，創(chuàng)設開放的問題，引導學生共同參與質疑、解疑活動，糾正認識過程中的思維偏差。

1.異中求同顯本質

教學實踐發(fā)現(xiàn)，在概念教學過程中恰當?shù)剡M行變式應用，變更概念中的非本質特征，變換問題中的條件或結論的形式或內(nèi)容，能幫助學生獲得深刻的理性認識，提高識別、應變、概括的能力，因此筆者設計了以下練習。

師：拿出你的練習紙，畫一畫。

師：你們畫的都不一樣，為什么都說圓形的個數(shù)是正方形的4倍？

生：因為圓形都有這樣的4份。

師：擦掉1份是幾倍（3倍），再擦1份是幾倍（2倍），再擦1份是幾倍（1倍），倍的變化與一倍量、幾倍量有關，通過設計這個習題，使學生有機會投入到問題解決的完整過程，經(jīng)歷從無序到有序的過程，更重要的是再一次感受只要多倍量中有4個一倍量，就可以說是多倍量是一倍量的4倍，引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質，從“不變”的本質中探索出“變”的規(guī)律。

2.同中求異促提升

學生經(jīng)歷了初步感受倍到深入理解倍，再到全面剖析倍的過程后，不妨再設計一個重新創(chuàng)造倍的練習，引導學生從“不變”的條件中創(chuàng)造“變”的倍數(shù)，使教學面向全體，每個學生都有機會投入到思考問題與發(fā)現(xiàn)秘密的過程中，共同獲得思維的提升。因此筆者設計了以下練習。

師：猜一猜，你認為三角形的個數(shù)是正方形的幾倍呢？把你們想的畫下來。

生：12倍，6倍，4倍，3倍。

師：1個就是12倍，2個就是……看這位小朋友他畫了12個，你能看懂嗎？你怎么看出來的？

師：三角形都是12個，為什么有2倍、3倍、4倍，還有1倍、12倍呢？

師：老師畫了5個，你覺得對不對？（2份還多了一點）

師：多了多少？那如果我要把它變成倍數(shù)關系的話，你有什么好辦法？

生：去掉2個，或者加上3個。

上述練習通過已知多倍量12個，使學生在觀察操作中經(jīng)歷倍的創(chuàng)造過程，既能強化一倍量的重要性，更能體會有序思考的重要性。另外，在設計練習的過程中強調了對1倍關系的理解。在課堂延伸部分，又設計了2倍多一點，通過去掉2個或者加上3個，使其變成整倍數(shù)，與后續(xù)的分數(shù)知識教學進行了銜接。

概念學習是數(shù)學教學中的一個重要內(nèi)容，找準知識的起源，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成與應用過程，盡可能深入地理解概念的本質，賦予概念以深刻的內(nèi)涵，并逐步會用一定的數(shù)學語言描述概念，幫助學生形成必要的數(shù)學技能，思維得到發(fā)展，這是數(shù)學概念學習的努力方向。

參考文獻：

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（浙江省平湖市叔同實驗小學 314200）