■北京市教育學(xué)院豐臺(tái)分院 張 琦

■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

本刊特邀欄目專家簡(jiǎn)介:

高慧明 首屆全國(guó)十佳班主任,全國(guó)著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師,國(guó)家教育部課程改革“全國(guó)先進(jìn)工作者”,全國(guó)著名高考數(shù)學(xué)命題與考試研究專家,國(guó)家教育部“國(guó)培計(jì)劃”全國(guó)中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長(zhǎng)培訓(xùn)特邀主講專家,受邀在全國(guó)各地做有關(guān)高考科學(xué)備考、班級(jí)管理等多場(chǎng)專題報(bào)告?，F(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué)高中部。

三角學(xué)的英文名稱是Trigonometry,來(lái)自拉丁文Trigonometria,實(shí)際上是trigono(三角)和metrein(測(cè)量)的組合。其原意為三角形測(cè)量,是以研究平面三角形和球面三角形的邊與角的關(guān)系為基礎(chǔ)的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。早期的三角學(xué)是天文學(xué)的一部分,后來(lái)研究范圍逐漸擴(kuò)大,變成以三角函數(shù)為主要對(duì)象的學(xué)科?，F(xiàn)在,三角學(xué)的研究范圍已不僅限于三角形,且為數(shù)理分析之基礎(chǔ),研究實(shí)用科學(xué)所必需之工具。

一、三角學(xué)的萌芽與初步發(fā)展

約成書(shū)于公元前1650年的《萊因德紙草書(shū)》可以看作是早期三角學(xué)的萌芽。《萊因德紙草書(shū)》中的第56～60題是金字塔問(wèn)題,題目的內(nèi)容都圍繞金字塔展開(kāi)。從中可看到三角學(xué)的初步知識(shí)。

例如第56題:一個(gè)金字塔(正四棱錐),高是250cubit,底面邊長(zhǎng)是360cubit,求seked值。(注:古埃及人將一傾斜直線每垂直升高一個(gè)單位時(shí),相對(duì)下垂線的水平偏離稱之為“seked”,亦即底邊的一半與高之比,相當(dāng)于底角的余切值。)

古希臘的數(shù)學(xué)家泰勒斯(Thales,前624—前547)提出并證明了以下幾何命題:“等腰三角形兩底角相等;相似三角形的各對(duì)應(yīng)邊成比例;若兩三角形兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等,則兩三角形全等”。這些定理是現(xiàn)代每一個(gè)中學(xué)生都知道的,它們簡(jiǎn)單得不能再簡(jiǎn)單了。但是,就是這些簡(jiǎn)單的理論,構(gòu)成了今天極其復(fù)雜而又高深的理論的根基。

大多數(shù)數(shù)學(xué)史學(xué)家通常認(rèn)為三角學(xué)興起的標(biāo)志性人物是古希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家希帕霍斯(Hipparchus,約前180—前125?)。早在公元前300年,古埃及人就已有了一定的三角學(xué)知識(shí),為了在尼羅河畔謀生存,聰明的古埃及人很早就學(xué)會(huì)了計(jì)算。他們可以準(zhǔn)確推算出尼羅河泛濫的日期;河水退落后,他們重新丈量土地、劃分地界,并能計(jì)算出土地面積;在建造金字塔、神廟、房屋等建筑和分配實(shí)物領(lǐng)域,同樣也離不開(kāi)數(shù)學(xué);在計(jì)算時(shí)間、測(cè)量距離、付給勞役者報(bào)酬、修鑿運(yùn)河、興建大規(guī)模的水利工程等方面也是如此。公元前2世紀(jì)后古希臘天文學(xué)家希帕霍斯為了天文觀測(cè)的需要,作了一個(gè)和現(xiàn)在三角函數(shù)表相仿的“弦表”,不過(guò)希帕霍斯的原著已經(jīng)遺失,因此關(guān)于有明確記載的三角學(xué)的文獻(xiàn)就是古代最有影響的天文學(xué)著作——托勒密的《天文學(xué)大成》,在該著作中,有一張表被視為最早的正弦表(據(jù)信是根據(jù)希帕霍斯弦表改編的)。

圖1

托勒密在構(gòu)造弦表時(shí)的基本原理如下所示:把圓周分為360等份(他沒(méi)有用“度”這個(gè)概念),把半徑長(zhǎng)度分為60等份(即直徑為120等份),用弧去度量角,用直徑的若干等份度量任一圓心角所對(duì)長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度,并以符號(hào)crd α表示圓心角α所對(duì)的弦長(zhǎng)。如圖1所示,半徑OA為60單位,crd α=弦AB之長(zhǎng),crd 2α=弦AC之長(zhǎng)。一些特殊角的弦長(zhǎng)是不難求的,例如60°,90°,72°,36°的弦長(zhǎng)就是圓內(nèi)接正六邊形,圓內(nèi)接正方形,圓內(nèi)接正五邊形,圓內(nèi)接正十邊形的邊長(zhǎng)。由于60°的弧所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)是正六邊形的邊長(zhǎng),而正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑。因此60°的弧所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位,也就意味著30°對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為30個(gè)單位,用現(xiàn)在語(yǔ)言描述也就是sin30°=。

圖2

公元5—6世紀(jì),印度的阿耶波多(476—550)采用半弦長(zhǎng)來(lái)定義正弦,如圖2,把半弦AB與全弦所對(duì)弧的一半相對(duì)應(yīng),正弦即半弧所對(duì)的半弦AB。當(dāng)時(shí)人們?yōu)榱藨?yīng)用的方便,已制作出一些不同于早期的弦表。后來(lái),阿拉伯人也采用了印度人的半弦法制作弦表,只不過(guò)是加大了圓的半徑,制作出精確度更高的弦表。

二、三角學(xué)的成熟與發(fā)展

三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來(lái)的標(biāo)志是德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯(1436—1476)于1464年出版《論各種三角形》,這部著作采用印度人的正弦,即圓弧的半弦,明確使用了正弦函數(shù)的概念,對(duì)三角學(xué)做出了完整、獨(dú)立的闡述。后來(lái),哥白尼的學(xué)生雷提庫(kù)斯(1514—1576)將傳統(tǒng)的圓中的弧與弦的關(guān)系改進(jìn)為角的三角函數(shù)關(guān)系,把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊長(zhǎng)之比,從而使平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨(dú)立出來(lái),并定義了六個(gè)函數(shù)(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)。

雷提庫(kù)斯具有里程碑式的工作,重點(diǎn)在于考慮∠AOB的正弦是AB,而不是的正弦AB(半弧所對(duì)的半弦),如圖3。這樣,弧的弦變?yōu)榻堑南?Rt△AOB成為基本結(jié)構(gòu),而圓成為無(wú)關(guān)緊要的了。雷提庫(kù)斯所作正弦概念的小小轉(zhuǎn)變,卻使三角函數(shù)前進(jìn)了一大步,雷提庫(kù)斯把正弦定義為角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ),對(duì)后來(lái)的三角函數(shù)研究產(chǎn)生了極其深刻的影響。

圖3

16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(1540—1603)則更進(jìn)一步將三角學(xué)系統(tǒng)化,他已經(jīng)對(duì)解直角三角形、斜三角形等作出了闡述,并且還有正切定理以及和差化積公式等。至此,三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來(lái),成為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支。不過(guò),值得注意的是,這時(shí)所討論的“三角函數(shù)”僅限于銳角三角函數(shù),而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計(jì)算。

三、三角學(xué)的歷史命題

1.勾股定理的歷史

勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”,是初等幾何中的一個(gè)基本定理。這個(gè)定理有十分悠久的歷史,幾乎所有文明古國(guó)(希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等)對(duì)此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理,相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(前572?—前497?)于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。

中國(guó)古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用,遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭,就有一段關(guān)于勾三股四弦五的文字,正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書(shū)中(約在公元50年至100年間),勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》說(shuō):“把勾和股分別自乘,然后把它們的積加起來(lái),再進(jìn)行開(kāi)方,便可以得到弦。”中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法,更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì),勾股定理的證明方法已經(jīng)有400多種了。下面我們向大家介紹幾種非常著名的證明方法。

證法1(趙爽證明)：

圖4

以a、b 為 直 角 邊(b＞a),以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角形的面積等于ab。把這四個(gè)直角三角形拼成如圖4所示的形狀。

因?yàn)镽t△DAH≌Rt△ABE,所以∠HDA=∠EAB。

因 為 ∠HAD+ ∠HDA=90°,所 以∠EAB+∠HAD=90°。

所以四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形,它的面積等于c2。

因?yàn)镋F=FG=GH=HE=b-a,∠HEF=90°,所以四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形,它的面積等于(b-a)2。

所以a2+b2=c2。

證法2(課本上的證明)：

作8個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形,把它們像圖5那樣拼成兩個(gè)正方形。

圖5

從圖上可以看到,這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a+b,所以面積相等。

證法3(1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield的證明)：

以a、b為直角邊,以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角形的面積等于ab。把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖6所示形狀,使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上。

圖6

因?yàn)?Rt△EAD ≌Rt△CBE,所以∠ADE=∠BEC。

因 為 ∠AED+∠ADE=90°,所以∠AED+∠BEC=90°。

所以∠DEC=180°―90°=90°。

又因?yàn)椤螪AE=90°,∠EBC=90°,所以AD∥BC。

證法4(歐幾里得證明)：

作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖7所示形狀,使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上,連接BF、CD。過(guò)C作CL⊥DE,交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L。

因?yàn)锳F=AC,AB=AD,∠FAB=∠CAD,所以△FAB≌△CAD。

圖7

同理可證,矩形MLEB的面積=b2。

因?yàn)檎叫蜛DEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積,所以c2=a2+b2,即a2+b2=c2。

2.托勒密定理

古希臘時(shí)期的數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年給出并證明了一條關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的引理,現(xiàn)稱為托勒密定理,其內(nèi)容是:圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊之積的和等于兩條對(duì)角線之積,即AB·CD+BC·DA=AC·BD(如圖8)。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)。

圖8

兩端乘以外接圓直徑的平方d2,并結(jié)合正弦定理得:

AB·CD+BC·DA=AC·BD,定理證畢。

3.海倫公式

海倫公式亦稱“海倫—秦九韶公式”。此公式(利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求三角形面積)相傳是亞歷山大港的海倫(10—70)發(fā)現(xiàn)的,并可在寫(xiě)于公元60年的《Metrica》中找到證明。也有人認(rèn)為早于阿基米德時(shí)代人類已經(jīng)懂得這個(gè)公式,而由于《Metrica》是一部古代數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)集,該公式的發(fā)現(xiàn)時(shí)期很有可能先于海倫的著作。