朱景原， 王 見(jiàn)， 丁澤華， 周 輝， 曹 毅,3,4

(1. 江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122;2. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122;3. 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080; 4. 系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

在傳統(tǒng)的多體機(jī)械系統(tǒng)分析中，為簡(jiǎn)化其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)被假定為理想關(guān)節(jié)[1-3]。然而，實(shí)際桿件因制造誤差，關(guān)節(jié)元素裝配誤差和磨損效應(yīng)，以及構(gòu)件變形和材料缺陷等因素，關(guān)節(jié)連接處的間隙不可避免[4-7]。關(guān)節(jié)間隙使得理想的低副關(guān)節(jié)有可能成為高副關(guān)節(jié)，引起關(guān)節(jié)間的沖擊現(xiàn)象，進(jìn)而對(duì)關(guān)節(jié)元素瞬時(shí)施加和移除沖擊所產(chǎn)生的接觸力。這種沖擊所產(chǎn)生的接觸力容易導(dǎo)致機(jī)械系統(tǒng)的非線(xiàn)性響應(yīng)，從而引起整個(gè)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)與噪聲，降低系統(tǒng)的可靠性、穩(wěn)定性、精度和機(jī)械部件的使用壽命[8-9]。關(guān)節(jié)間隙同時(shí)也會(huì)引起沖擊動(dòng)載荷，影響系統(tǒng)載荷的傳遞，造成數(shù)值預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)測(cè)量之間的重要偏差[10]。

近幾年，隨著機(jī)構(gòu)性能向高精度，高速度和輕量化的方向發(fā)展，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)預(yù)測(cè)的要求越來(lái)越高，因此含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究已成為機(jī)械工程領(lǐng)域所要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。Flores等[11-12]綜合數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)?zāi)M的方法對(duì)含間隙旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)響應(yīng)的研究。Xu等[13-15]對(duì)含間隙平面2-DOF拾取器的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了分析。Pereira等[16]分析了實(shí)際圓柱副接觸力模型的適用范圍，并評(píng)估不同接觸模型對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。Muvengei等[17-18]對(duì)具有不同位置的無(wú)摩擦旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的平面多體系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了數(shù)值分析。為消除間隙引起關(guān)節(jié)元素間的沖擊，Varedi等[19]優(yōu)化了機(jī)構(gòu)連桿的質(zhì)量分布。Bai等[20]提出了定量分析方法研究具有含間隙旋轉(zhuǎn)鉸關(guān)節(jié)的多體機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。Zhao等[21-22]研究了平面機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)間隙和潤(rùn)滑作用對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和關(guān)節(jié)磨損的影響。Erkaya等[23-25]對(duì)比研究了間隙對(duì)傳統(tǒng)關(guān)節(jié)和含柔順結(jié)構(gòu)關(guān)節(jié)的影響。上述文獻(xiàn)表明，目前對(duì)含關(guān)節(jié)間隙的機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性的研究主要集中在平面機(jī)構(gòu)系統(tǒng)中，而對(duì)含間隙空間多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的研究相對(duì)較少[26]。

接觸和碰撞是多體機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的典型現(xiàn)象，含間隙的關(guān)節(jié)模型是建立含間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的重要內(nèi)容之一，合理的建立關(guān)節(jié)間隙模型對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和分析至關(guān)重要。目前機(jī)構(gòu)中關(guān)節(jié)間隙模型的研究方法有：擾動(dòng)坐標(biāo)法[27-28]、模糊法[29]、間隔分析法[30]、基于小位移螺旋理論等。

基于上述背景，本文以3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象。基于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，首先研究了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律；基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，利用正態(tài)分布概率統(tǒng)計(jì)模型建立了含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)徑向和軸向的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，進(jìn)而建立了含關(guān)節(jié)間隙支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；然后，建立了間隙關(guān)節(jié)元素間法向和切向的接觸力模型，并基于非完整Lagrange方程法建立了含間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型；另外，通過(guò)實(shí)例計(jì)算詳細(xì)分析了關(guān)節(jié)間隙對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響；最后通過(guò)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布模型對(duì)比，分析定義關(guān)節(jié)元素初始接觸時(shí)的間隙量為μ值的物理意義。

1 含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 3-CPaRR并聯(lián)的結(jié)構(gòu)描述及其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)機(jī)架及三條結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱(chēng)的支鏈組成，每條支鏈由構(gòu)件AiBi,BiCi,CiDi和DiEi(i=1, 2, 3 )組成，其中構(gòu)件BiCi為平行四邊形鉸鏈結(jié)構(gòu)，支鏈各構(gòu)件之間以及支鏈與動(dòng)平臺(tái)之間皆通過(guò)銷(xiāo)軸連接，如圖1所示。

圖1 3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of the 3-CPaRR parallel mechanism

為研究該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，首先建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參考坐標(biāo)系，如圖2所示。其中定坐標(biāo)系O-XYZ設(shè)在定平臺(tái)支架上。動(dòng)坐標(biāo)系op-xyz初始姿態(tài)與定坐標(biāo)系設(shè)定一致，原點(diǎn)op位于動(dòng)平臺(tái)幾何形心處。記構(gòu)件AiBi,BiCi,CiDi和DiEi的長(zhǎng)度分別為l1i,l2i,l3i和l4i(i=1, 2, 3 )，動(dòng)平臺(tái)的長(zhǎng)為lx，寬為ly，高為lz(同動(dòng)坐標(biāo)系x,y,z軸方向定義)。三條支鏈中，圓柱副A1,A2與平面XOY所成角度分別為θ1,θ2，平行四邊形鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副B1,B2與平面XOY所成角度分別為θ4,θ5，圓柱副A3軸線(xiàn)、平行四邊形鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副B3與平面YOZ所成角度分別為θ3,θ6。

圖2 3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.2 The coordinate systems of the 3-CPaRR parallel mechanism

基于該3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特征及坐標(biāo)系設(shè)定，三條支鏈與動(dòng)平臺(tái)連接點(diǎn)(即轉(zhuǎn)動(dòng)副E1,E2,E3的中心點(diǎn))在定坐標(biāo)系O-XYZ下的位置矢量Ei(i=1, 2, 3)可由其在動(dòng)坐標(biāo)系op-xyz下的位置矢量ei(i=1, 2, 3)表示

(1)

取Z-Y-X型歐拉角(α,β,γ)表示動(dòng)坐標(biāo)系op-xyz到定坐標(biāo)系O-XYZ的齊次轉(zhuǎn)換矩陣，則

(2)

式中：s, c為sin, cos函數(shù)的簡(jiǎn)化表示；(Xp,Yp,Zp)T為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)op在定坐標(biāo)系O-XYZ中的位置坐標(biāo)。

(3)

聯(lián)立式(1)～式(3)可得

(4)

由式(4)進(jìn)而求解可得：α=0，β=0，γ=0。

基于上述分析，可以得出：① 3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有三個(gè)移動(dòng)自由度，且在空間正交方向上的移動(dòng)輸入與輸出完全解耦；② 轉(zhuǎn)動(dòng)副Ei(i=1, 2, 3 )為消極轉(zhuǎn)動(dòng)副，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，皆不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，故該并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為3-CPaR機(jī)構(gòu)。

基于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，由閉鏈約束可得各支鏈的封閉方程，如式(5)所示，由封閉方程可得各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的廣義坐標(biāo)θi(i=1, 2, …,6 )與機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)之間約束關(guān)系

(5)

1.4 含間隙的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)描述

3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)中各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)皆為被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，故驅(qū)動(dòng)圓柱副Ai(i=1, 2, 3 )可以等效為驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副和被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副，如圖3所示。因此，本文同時(shí)對(duì)三個(gè)等效驅(qū)動(dòng)圓柱副Ai中的被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副添加關(guān)節(jié)間隙來(lái)進(jìn)行分析，其具體原因如下：① 同時(shí)考慮三個(gè)支鏈含關(guān)節(jié)間隙，可以更好體現(xiàn)間隙對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的影響；② 因該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有輸入與輸出完全解耦特性，且無(wú)過(guò)約束機(jī)構(gòu)，根據(jù)誤差逐級(jí)放大影響特性選擇驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)含關(guān)節(jié)間隙較其他被動(dòng)關(guān)節(jié)含關(guān)節(jié)間隙，更能體現(xiàn)關(guān)節(jié)間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響[31]；③ 等效圓柱副中的驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副間隙量較被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)間隙量小，所以不考慮其間隙對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的影響。另外，為便于后文對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)標(biāo)注和計(jì)算，可等效移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副的圓柱副仍以圓柱副Ai所在的空間位置標(biāo)注，且動(dòng)力學(xué)計(jì)算過(guò)程中，不考慮因轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)與移動(dòng)關(guān)節(jié)軸線(xiàn)不重合引起的誤差。

圖3 圓柱副結(jié)構(gòu)等效示意圖Fig.3 Equivalent schematic diagram of cylindrical pair

2 含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

由引言所述，并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的關(guān)節(jié)間隙必然存在，且在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，關(guān)節(jié)間隙必然引起關(guān)節(jié)元素間的相對(duì)位置發(fā)生變化，且這種變化具有一定隨機(jī)性的。為分析隨機(jī)變化的關(guān)節(jié)間隙對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，本文利用正態(tài)分布概率統(tǒng)計(jì)模型建立轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)徑向和軸向的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，研究關(guān)節(jié)間隙在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化規(guī)律，并進(jìn)一步分析關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響。

2.1 含間隙的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

基于右手定則建立關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Or-XrYrZr，其中Xr軸和Yr軸指向k桿和k+1桿的長(zhǎng)度方向。圖4中:r,R為軸與軸套半徑;Oa，Or分別為軸與軸套端面的中心點(diǎn)；er，ea分別為軸與軸套徑向和軸向的間隙矢量，其對(duì)應(yīng)的單位矢量為nr=er/er，na=ea/ea;ζ∈(0, 2π)為間隙矢量er相對(duì)于關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Xr軸正方向的夾角，如圖4所示。

圖4 含關(guān)節(jié)間隙的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)模型Fig.4 The model of revolute joint with clearance

為反映徑向間隙矢量隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)變化的隨機(jī)性和不確定性，由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，定義徑向間隙矢量值的隨機(jī)分布服從正態(tài)分布，可得徑向間隙的分布概率密度函數(shù)，其表達(dá)形式為

(6)

由式(6)可知，任一時(shí)刻軸與軸套的中心軸之間偏心距er為

(7)

(8)

式中：δr為軸與軸套碰撞時(shí)穿擊深度值;cr為軸與軸套初始接觸時(shí)的徑向間隙值。

基于轉(zhuǎn)動(dòng)副的幾何結(jié)構(gòu)特征，考慮軸與軸套間的徑向間隙與軸向間隙，文獻(xiàn)[32]給出了關(guān)節(jié)元素間13種接觸模式與存在條件。3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸向長(zhǎng)度相對(duì)較短，軸與軸套間的接觸多以線(xiàn)、面接觸為主，因而不考慮軸與軸套間點(diǎn)接觸的傾斜情形。同上述分析方法，隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，關(guān)節(jié)間隙矢量值在軸向隨機(jī)變化，對(duì)于軸向間隙矢量ea，其概率密度函數(shù)的形式構(gòu)造為

(9)

式中：zr為關(guān)節(jié)間隙坐標(biāo);ea max為軸套與軸軸向方向的最大間隙。

式(9)表示軸向間隙矢量出現(xiàn)在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中某一軸向坐標(biāo)位置的概率，由式(9)可知軸與軸套端面之間的距離ea為

(10)

(11)

式中：δa為軸與軸套碰撞時(shí)穿擊深度值；ca為軸與軸套開(kāi)始接觸時(shí)的軸向間隙值。

2.2 含關(guān)節(jié)間隙的支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

桿k、桿k+1為由轉(zhuǎn)動(dòng)銷(xiāo)軸連接的兩桿，銷(xiāo)軸與桿k+1固接，桿k+1相對(duì)于桿k可沿轉(zhuǎn)動(dòng)副做徑向、軸向方向的相對(duì)移動(dòng)。經(jīng)分析，轉(zhuǎn)動(dòng)副銷(xiāo)軸的徑向移動(dòng)量被限制在半徑為er的圓形區(qū)域內(nèi)(即寬度為2×er的圓環(huán)區(qū)域)，由間隙矢量計(jì)算，桿k+1上任意一點(diǎn)Q相對(duì)于k桿的位置可以確定，如圖5所示。

圖5 含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.5 Kinematic model for the revolute joint with clearance

圖5中：lk+1為桿k+1上的Q點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸中心的徑向矢量；ε為桿件k+1在系統(tǒng)坐標(biāo)系下的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

則Q點(diǎn)在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中徑向坐標(biāo)可以得到

(12)

定義因間隙引起的桿件在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下長(zhǎng)度變化量為虛長(zhǎng)度Δlk+1，則

(13)

同理，由關(guān)節(jié)軸向間隙引起的Q點(diǎn)軸向的坐標(biāo)為

zQ=zr+ea

(14)

綜合式(12)、式(14)，可推出考慮關(guān)節(jié)間隙時(shí)桿k+1件上Q點(diǎn)在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(xQyQzQ)T。

3 含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的接觸力模型

理想轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)僅含有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因關(guān)節(jié)間隙的存在，如不考慮銷(xiāo)軸在軸套內(nèi)的傾斜情況，則關(guān)節(jié)元素為4自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。由于關(guān)節(jié)間隙量較小，可忽略軸在軸套中產(chǎn)生的慣性力，如僅考慮與軸套發(fā)生接觸碰撞時(shí)產(chǎn)生的碰撞力與摩擦力，則含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的碰撞接觸運(yùn)動(dòng)模型，如圖6所示。

圖6 含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的接觸運(yùn)動(dòng)模型Fig.6 Kinematic model for contactof the revolute joint with clearance

圖6中，O1，O2為關(guān)節(jié)元素軸與軸套在系統(tǒng)坐標(biāo)系下的接觸碰撞點(diǎn)，其在系統(tǒng)坐標(biāo)系下的矢量rr1,rr2分別為

(15)

式(15)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得徑向接觸速度的法向速度矢量vnr和切向速度矢量vtr

(16)

因不考慮銷(xiāo)軸在軸套內(nèi)的傾斜情況，故不考慮軸與軸套在軸端面的切向相對(duì)接觸速度和切向接觸力，則軸向接觸速度的法向速度矢量vna為

(17)

含間隙機(jī)構(gòu)接觸碰撞模型主要集中在離散分析法和連續(xù)接觸分析方法，其中連續(xù)接觸力模型被廣泛應(yīng)用于含有間隙的機(jī)構(gòu)的接觸沖擊分析中。目前，連續(xù)接觸力模型應(yīng)中以Lankarani-Nikravesh接觸力模型和Flores接觸力模型應(yīng)用較為廣泛，相比Lankarani-Nikravesh接觸力模型Flores接觸力模型不受限于恢復(fù)系數(shù)大小選擇的限制，更適用于一般機(jī)械結(jié)構(gòu)之間的碰撞，另外，該模型不僅結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單且擁有穩(wěn)定的數(shù)值解，因此本文采用Flores接觸力模型。

(18)

(19)

式中：vi與vj分別為接觸體i,j的泊松比;Ei與Ej分別為接觸體i,j的彈性模量;Ri與Rj分別為接觸體i,j的接觸半徑。

為描述偏心碰撞中接觸元素之間出現(xiàn)的切向摩擦力，本文采用Ambrósio[34]提出的修正Coulomb摩擦模型。

(20)

式中：ud為滑動(dòng)摩擦因數(shù);cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)；vt為切向速度;v0，v1為給定的速度界限。

4 含關(guān)節(jié)間隙3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

4.1 含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的廣義力的轉(zhuǎn)化

含關(guān)節(jié)間隙的3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的等效圓柱副Ai本質(zhì)為不含間隙的移動(dòng)副和含間隙的轉(zhuǎn)動(dòng)副，由于軸向的法向接觸力位于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸套與銷(xiāo)軸端面的接觸點(diǎn)處，因此要將接觸點(diǎn)處的接觸力向構(gòu)件的質(zhì)心轉(zhuǎn)化，綜上所述，含間隙等效圓柱副Ai的接觸力為Fif。

Fif=Finn+Fitt+Fian(i=1, 2, 3 )

(21)

為建立在系統(tǒng)坐標(biāo)系下含關(guān)節(jié)間隙的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束特性分析，將各支鏈視為一個(gè)整體的剛性構(gòu)件，將被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副之間的關(guān)節(jié)碰撞力由轉(zhuǎn)換矩陣Ri等效到相應(yīng)廣義接觸碰撞力fi處，則

(22)

4.2 含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

為進(jìn)一步研究含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的廣義驅(qū)動(dòng)力的變化規(guī)律，本文采用非完整系統(tǒng)的拉格朗日方程法對(duì)含關(guān)節(jié)間隙的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

(23)

(24)

(25)

構(gòu)件l1i,l2i,l3i和l4i在定坐標(biāo)系O-XYZ中的質(zhì)心坐標(biāo)分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，并代入式(24)中，化簡(jiǎn)可得

(26)

將式(25)、式(26)代入非完整系統(tǒng)的Lagrange方程式(27)

(27)

經(jīng)化簡(jiǎn)計(jì)算可得實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)給定運(yùn)動(dòng)軌跡的廣義驅(qū)動(dòng)力的解析表達(dá)式，如式(28)～式(30)所示

(28)

(29)

(30)

式中，F(xiàn)1,F2,F3為含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)與給定廣義位移q1,q2,q3相對(duì)應(yīng)廣義驅(qū)動(dòng)力的解析表達(dá)式。

5 數(shù)值分析

為驗(yàn)證上述理論分析的正確性，并進(jìn)一步對(duì)該含間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究，需進(jìn)行實(shí)例計(jì)算。設(shè)3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1(表中i=1, 2, 3 )所示，設(shè)機(jī)構(gòu)的構(gòu)件材料均質(zhì)為碳素鋼。表2給出了含間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù)。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù)

設(shè)定系統(tǒng)任務(wù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即動(dòng)平臺(tái)隨時(shí)間的變化規(guī)律如下，同時(shí)，設(shè)定兩種被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的間隙量分別為cr=ca=0.25 mm,cr=ca=0.5 mm。

(31)

為能清晰體現(xiàn)含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程建模的計(jì)算過(guò)程，圖7給出了含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算迭代過(guò)程。為降低計(jì)算難度，重點(diǎn)分析間隙引起的關(guān)節(jié)碰撞對(duì)機(jī)構(gòu)的影響：① 為保證計(jì)算精度和計(jì)算效率，采用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值積分；②當(dāng)關(guān)節(jié)元素判定為不接觸碰撞時(shí)，為提高計(jì)算效率，可直接基于Lagrange方程法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

計(jì)算結(jié)果如圖8～圖11所示。其中，在給定末端動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律后，圖8和圖9對(duì)比分析了在考慮兩種關(guān)節(jié)間隙尺寸參數(shù)下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)給定運(yùn)動(dòng)軌跡等效圓

柱副Ai在定坐標(biāo)系O-XYZ中沿X,Y,Z坐標(biāo)軸方向的位移變化情況。圖10和圖11對(duì)比分析了在考慮兩種關(guān)節(jié)間隙尺寸參數(shù)下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)給定運(yùn)動(dòng)軌跡驅(qū)動(dòng)廣義外力的變化情況。

圖7 含間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程建模過(guò)程Fig.7 The calculation process of dynamic equation of parallel mechanism with joint clearance

圖8 關(guān)節(jié)間隙量cr=ca=0.25 mm時(shí)，間隙關(guān)節(jié)的位移變化曲線(xiàn)Fig.8 The displacement variation of the joint with clearance when cr=ca=0.25 mm

圖9 關(guān)節(jié)間隙量cr=ca=0.5 mm時(shí)，間隙關(guān)節(jié)的位移變化曲線(xiàn)Fig.9 The displacement variation of the joint with clearance when cr=ca=0.5 mm

圖10 關(guān)節(jié)間隙量cr=ca=0.25 mm時(shí)，驅(qū)動(dòng)廣義外力變化規(guī)律Fig.10 The driving forces variation of the joint with clearance when cr=ca=0.25 mm

由圖8～圖11可知，可見(jiàn)間隙存在使得轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)元素在機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中發(fā)生高頻接觸碰撞，這些碰撞可引起機(jī)構(gòu)振動(dòng)，降低材料的疲勞極限，減少材料的使用壽命。其中，圖8、圖9給出了兩種間隙量下該含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)在給定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律后，經(jīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解得到的驅(qū)動(dòng)圓柱副Ai的位移情況，可見(jiàn)關(guān)節(jié)間隙對(duì)圓柱副的運(yùn)動(dòng)情況影響較大，其原因有：①關(guān)節(jié)間隙量相對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸較大;②并聯(lián)機(jī)構(gòu)的

圖11 關(guān)節(jié)間隙量cr=ca=0.5 mm時(shí)，驅(qū)動(dòng)廣義外力變化規(guī)律Fig.11 The driving forces variation of the joint with clearance when cr=ca=0.5 mm

輸入輸出運(yùn)動(dòng)為完全解耦，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)無(wú)過(guò)約束使得機(jī)構(gòu)位移所受的間隙影響沒(méi)有削弱。圖10、圖11給出了驅(qū)動(dòng)圓柱副Ai相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)外力的變化情況，因間隙的存在使得機(jī)構(gòu)在碰撞過(guò)程中，廣義驅(qū)動(dòng)外力呈現(xiàn)高頻大幅的震蕩，震蕩產(chǎn)生的沖擊導(dǎo)致機(jī)械系統(tǒng)的非線(xiàn)性響應(yīng)，使得該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性急劇退化。另外，可見(jiàn)隨轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙量的增加，其振幅也隨之增加，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的碰撞和震蕩情況愈加強(qiáng)烈。

參數(shù)μ作為正態(tài)分布概率統(tǒng)計(jì)模型的重要參數(shù)，其數(shù)學(xué)意義為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值，其值大小決定了正態(tài)分布概率的分布位置，考慮關(guān)節(jié)元素間的相對(duì)位置，本文定義以關(guān)節(jié)元素開(kāi)始接觸時(shí)的間隙值cr,ca作為定義數(shù)學(xué)期望值μ。為驗(yàn)證該定義的物理意義，本文取等效圓柱副A1為例，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的參數(shù)(即μ=0)為對(duì)照。給出了不同數(shù)學(xué)期望值μ下的間隙關(guān)節(jié)等效圓柱副A1的位移變化曲線(xiàn)和廣義外力變化曲線(xiàn)，如圖12、圖13所示。

圖12 不同參數(shù)μ下間隙關(guān)節(jié)的位移變化規(guī)律Fig.12 Displacement variation of the joint with clearance at different parameters μ

圖13 不同參數(shù)μ下的驅(qū)動(dòng)廣義外力變化規(guī)律Fig.13 Driving forces variation of the joint with clearance at different parameters μ

由圖12可知，當(dāng)參數(shù)μ取值為0或cr,ca時(shí)，可見(jiàn)含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)皆可達(dá)到最大碰撞沖擊深度，即變化參數(shù)μ的取值并不影響關(guān)節(jié)元素間的最大間隙量。比較μ的不同取值可見(jiàn)，μ=0時(shí)的位移變化波動(dòng)情況較μ=cr=ca時(shí)，波動(dòng)情況較為平緩。其原因?yàn)椋寒?dāng)定義μ=0時(shí)，即轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)中心點(diǎn)隨機(jī)集中分布于關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點(diǎn)Cr處，而當(dāng)μ=cr=ca時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)中心點(diǎn)隨機(jī)概率值集中分布于關(guān)節(jié)元素接觸碰撞處附近。

由圖13可知，圖13(a)和圖13(c)相對(duì)圖13(b)和圖13(d)的廣義外力變化頻率較高，其接觸碰撞次數(shù)較多。同時(shí)也可見(jiàn)變化參數(shù)μ的取值不改變最大廣義外力值，即并不影響最大接觸碰撞力。

綜上所述，μ值變化并不影響關(guān)節(jié)元素之間的最大間隙量和最大接觸碰撞力，然而，接觸間隙矢量值為μ=cr=ca值，接觸碰撞頻率較高，根據(jù)此值計(jì)算材料的疲勞極限和機(jī)構(gòu)的使用壽命可以提前到達(dá)，工程應(yīng)用預(yù)測(cè)更可靠。

6 結(jié) 論

(1) 本文分析了3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，揭示了該機(jī)構(gòu)在空間正交方向上的移動(dòng)完全解耦特性，確定了支鏈末端轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)為消極運(yùn)動(dòng)副，且該并聯(lián)機(jī)構(gòu)圓柱副可等效分解為驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副和被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副。

(2) 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析規(guī)律，提出以正態(tài)分布概率統(tǒng)計(jì)模型建立含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副在轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)徑向和軸向的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，進(jìn)而建立了關(guān)節(jié)間隙支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。然后基于Flores接觸模型建立間隙關(guān)節(jié)法向接觸力模型和修正的Coulomb摩擦模型建立了間隙關(guān)節(jié)切向接觸力模型，并基于非完整Lagrange方程法建立了含間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)實(shí)例計(jì)算詳細(xì)分析并驗(yàn)證了含間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。

(3) 通過(guò)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布模型對(duì)比，分析了定義關(guān)節(jié)元素開(kāi)始接觸時(shí)的間隙量為μ值時(shí)，更具有工程應(yīng)用價(jià)值。