劉小會, 胡 友， 嚴 波， 蔡萌琦

(1.重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074； 2.重慶大學 航空航天學院，重慶 400044；3. 成都大學 建筑與土木工程學院，成都 610106)

高壓輸電塔線體系作為國家經(jīng)濟建設的生命線工程，它的正常運行保證了國家經(jīng)濟發(fā)展。由于舞動、脫冰會導致輸電線斷線等事故，因此針對架空輸電線的非線性動力響應研究具有重要的理論意義和工程實際價值。

導線的動力響應與索振動理論密切相關，Irvine等[1]針對孤立單跨索的模態(tài)和頻率進行了研究，得到單檔導線無量綱固有頻率隨幾何參數(shù)變化關系。Rega等[2-4]在Irvine等的基礎上詳細分析了懸索產(chǎn)生共振的條件，并且根據(jù)單跨索的理論模態(tài)和頻率提出了懸索的非線性振動理論，得到了索振動幅值和固有頻率之間的關系，并且發(fā)現(xiàn)了很多分岔現(xiàn)象。Luongo等[5-6]提出了風載荷作用下考慮彎曲剛度的彈性曲梁模型，利用攝動法對具有初始撓度的導線進行非線性動力響應分析。Desai等[7]應用索振動理論對單跨覆冰導線控制方程進行Galerkin離散，研究覆冰導線氣動穩(wěn)定性及動力響應 ?，F(xiàn)有的對覆冰輸電線舞動理論分析主要基于單檔導線，實際高壓輸電線路是由多跨導線構成，其中懸垂絕緣子串順線路方向偏轉會導致相鄰兩檔導線相互影響，而有限元分析結果指出多跨導線之間相互影響不容忽略[8-10]，僅僅考慮單檔導線舞動或將相鄰檔導線的影響等效為彈簧約束[11-13]是不能滿足工程需求。因此，多跨導線模態(tài)及頻率的研究對于連續(xù)檔導線非線性動力響應的理論分析具有重要意義。最近王磊[14]采用有限元方法研究了塔線耦合體系的模態(tài)及頻率, Xie等[15]研究了檔距比對兩檔導線頻率的影響，Yi等[16]建立了中部為滑輪約束的三跨索在懸掛重物情況下的自由振動模型，并基于該模型研究了重物質量對振動頻率的影響。雖然對多跨索的振動頻率取得了一定的研究成果，但是在不同地區(qū)實際輸電線路的檔數(shù)、檔距比、導線張力等線路結構參數(shù)均不相同，因此對于輸電線路模態(tài)和頻率還需進一步的深入研究。

本文獲得連續(xù)檔導線面內(nèi)振動的固有頻率理論公式，利用該公式詳細分析了不同檔數(shù)的連續(xù)檔導線產(chǎn)生共振的條件；基于模態(tài)綜合法獲得連續(xù)檔導線的模態(tài)函數(shù)，詳細分析了連續(xù)檔導線模態(tài)的構成，以及能夠產(chǎn)生耦合振動的連續(xù)檔導線模態(tài)，為連續(xù)檔導線非線性動力響應分析奠定了理論基礎。

1 兩檔導線動態(tài)特性分析

1.1 兩檔導線精確模態(tài)計算

建立考慮絕緣子串的兩檔導線力學模型，如圖1所示。l1為第一檔導線檔距；l2為第二檔導線檔距；H為導線自重作用下靜止時的水平張力。Tr1，Tl2分別為AB及BC檔導線對絕緣子串向下的拉力；a為絕緣子串長度。在外部載荷影響下導線由虛線位置移動到實線位置(見圖1)，絕緣子串端部B向左移動到B′點，移動水平距離為Δx。此時AB檔導線水平張力變化量為hτ1，BC檔導線水平張力變化量為hτ2。將兩檔導線中的每一檔導線視為子結構，任意一檔導線面內(nèi)運動方程均可描述為

圖1 兩檔導線Fig.1 Two-span conductor

(1a)

(1b)

式中:H為導線靜止時的水平張力;hτ為導線運動時水平張力的變化量;m為導線單位長度的質量;c為阻尼系數(shù);w為導線面內(nèi)豎向位移;u為沿導線弦向的水平位移。x為導線弦向坐標(見圖1)，y為導線靜止時豎向的坐標，當小弧垂時可近似采用拋物線公式描述導線靜止時構形

(2)

考慮到靜態(tài)水平張力H為常數(shù)，當弧垂較小時可認為ds≈dx，化簡并消去高階小量可得

(3a)

(3b)

(4)

(5)

式中：Le為導線的線長。如果兩檔導線端部有位移，則根據(jù)疊加法得到導線任意一點的位移為

w(x,t)=w(0,t)+[w(l,t)-w(0,t)](x/l)+wt(x,t)

(6a)

u(x,t)=u(0,t)+[u(l,t)-u(0,t)](x/l)+ut(x,t)

(6b)

式中:wt(x,t)和ut(x,t)為非端部運動引起的導線位移。令第一檔導線的位移為w1(x,t),u1(x,t);第二檔導線的位移為w2(x,t),u2(x,t)。根據(jù)兩檔導線位移的邊界條件，代入式(6)可得

u1(x,t)=-Δx(x/l1)+ut1(x,t)

(7a)

u2(x,t)=-Δx(1-x/l2)+ut2(x,t)

(7b)

(8a)

(8b)

將式(8)和式(4)代入式(3a)可得

(9a)

(9b)

(10a)

(10b)

(11a)

(11b)

將邊界條件φ1(0)=φ2(0)=0，φ1(l1)=φ2(l2)=0代入式(11)，可求解部分系數(shù)，再將式(11)代入式(10)可求解所有系數(shù)，最終得到式(10)的解為

(12a)

(12b)

(13a)

(13b)

式中：λ1,λ2,K1和K2分別為

(14a)

(14b)

將式(13)代入式(12)中可得理論模態(tài)函數(shù)

(15a)

(15b)

式中:C1與C2分別為

(16a)

(16b)

由Irvine等的結論可知孤立檔導線的模態(tài)函數(shù)有兩種形式，對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)，分別表示為

(17)

圖2 200～200 m導線模態(tài)對比Fig.2 Mode contrast of 200-200 m conductors

圖3 200 ～100 m導線模態(tài)對比(a=0.2 m)Fig.3 Mode contrast of 200-100 m conductors(a=0.2 m)

圖4 200～100 m導線模態(tài)對比(a=0.5 m)Fig.4 Modes contrast of 200-100 m conductors(a=0.5 m)

1.2 兩檔導線頻率精確計算

如需得到兩檔導線頻率的理論計算公式，還需要補充一個方程。針對圖1中絕緣子串列力矩平衡方程

hτ1a=(Tl2+Tr1)Δx+hτ2a

(18)

式中：Tr1與Tl2分別為AB檔及BC檔導線對絕緣子串下端的拉力。如果應用式(8)求解式(18)，則求解很困難。為了能夠容易得到相對準確的理論解，忽略小量，將式(8)進行簡化，最后得到簡化后的張力增量為

(19)

將式(19)代入式(18)可得

(20)

(21)

(22)

如果絕緣子串長度趨于零，可認為絕緣子串對導線的約束為固定鉸約束，此時兩檔導線的頻率與模態(tài)均獨立，互不相干。根據(jù)式(22)可知，這兩個公式可以分別計算兩檔導線的頻率，與Irvine等得到的單檔導線的頻率計算公式相同。

實際上絕緣子串長度既不為零，也不是無窮大，因此需要對式(20)進行求解。消去式(20)的分母可得

(23)

求解式(23)可得

(24)

圖5 絕緣子串長度對第一階模態(tài)頻率的影響Fig.5 Effect of natural frequenciesfor first mode on insulator string length

當絕緣子串長度超過1 m時，絕緣子串長度變化對頻率的影響減弱，因此對于絕緣子串長度較長且導線張力較大的高壓輸電線路，其頻率的計算公式可以采用簡化式(21)計算，如果線路張力較小且絕緣子串長度較短則需要采用精確式(23)。實際上大部分的高壓輸電線路絕緣子串長度大于1 m，而且對于500 kV超高壓輸電線路絕緣子串長度可以達到4～5 m，所以對于高壓輸電線路可以采用簡化公式計算其頻率。

1.3 兩檔導線模態(tài)及頻率的簡化計算

(25)

建立檔距為100～110 m，絕緣子串長度為2.25 m的220 kV高壓輸電線路有限元模型，絕緣子長度與實際情況相同，其它材料參數(shù)與上例相同。當張力H為4.8 kN (λ1/π=10)時，通過ABAQUS獲得的模態(tài)ψ11,ψ21和ψ23的形式，如圖6中的散點所示。將相應的參數(shù)代入式(25)可以得到理論模態(tài)，如圖6中的實線所示。兩者吻合。這說明絕緣子串較長且張力較小時近似式(25)能夠較好的描述兩檔導線的對稱模態(tài)。

圖6 兩檔導線面內(nèi)對稱模態(tài)Fig.6 In-plane symmetrical modes of two spans conductors

通過H為4.8 kN(λ1/π=10)的有限元模型還得到兩檔導線另外一類反對稱模態(tài)，如圖7中的散點所示。模態(tài)ψ22表示第二檔導線為兩個半波的反對稱模態(tài)，而第一檔導線無模態(tài)位移。模態(tài)ψ12為第一檔導線為兩個半波的反對稱模態(tài)，第二檔導線的模態(tài)位移也為零，對于反對稱模態(tài)兩檔導線之間是獨立的，互不影響，這些特點與對稱模態(tài)不同。究其原因是因為反對稱模態(tài)不會引起Irvine等提出的導線線性動張力，也不會使的絕緣子串產(chǎn)生順線路方向的偏轉，所以對于反對稱模態(tài)相鄰檔之間的導線是獨立的。

根據(jù)式(15)的特點，去掉其對稱部分，只保留反對稱部分，兩檔導線的反對稱模態(tài)可以表示為

(26)

式中：下標i為模態(tài)主要以i跨為主；n為模態(tài)的半波個數(shù)，式(26)只適合n為偶數(shù)情況。當i=j時δij為1，當i≠j時δij為零。i和n取不同值時代入式(26)可得兩檔導線反對稱模態(tài)，將相應的參數(shù)代入式(26)，得到兩檔導線反對稱理論模態(tài)，如圖7中的實線所示，對比可以看出有限元計算結果和式(26)非常吻合。圖7中的三個反對稱模態(tài)均表明，當其中一檔振形有偶數(shù)半波時，另外一檔的位移為零，這說明兩檔導線的模態(tài)是相互獨立的，根據(jù)Irvine等的理論可以通過反對稱模態(tài)式(26)滿足邊界條件來確定相應的頻率，得到的無量綱頻率不隨幾何參數(shù)改變，為水平直線。

圖7 兩檔面內(nèi)反對稱模態(tài)Fig.7 In-plane asymmetric modes of two spans conductors

前文得到了形式復雜的頻率理論計算公式，見式(20)。該公式是一個超越方程，僅僅對于兩檔導線其計算量也非常大，且不宜推廣到任意檔導線?？紤]到實際的高壓輸電線路絕緣子串長度較長，且張力大，可采用簡化式(21)。而采用簡化式(21)很容易推廣到任意檔導線，下面對任意檔頻率計算進行簡單推廣。對于任意N檔導線，如圖8所示。

根據(jù)式(19)及兩端耐張檔的邊界條件可知連續(xù)檔導線的動態(tài)張力增加量為

圖8 N檔導線Fig.8 N span conductor

(27)

(28)

(29)

如果線路的結構參數(shù)是確定的，則式(29)中只有一個未知量ωin，依據(jù)式(29)可以計算任意連續(xù)檔導線對稱模態(tài)對應的頻率，這里對稱性與反對稱性均針對連續(xù)檔導線中單檔導線的振形而言。

圖9中曲線和縱坐標相交λ2/π時為零，式(29)右邊為無窮大，可得

圖9 兩檔導線自振頻率Fig.9 Natural frequencies of two spans conductors

(30a)

(30b)

改變導線最低點張力時，通過ABAQUS獲得的反對稱模態(tài)對應的無量綱頻率和幾何參數(shù)變化關系見圖9中散點，模態(tài)ψ22和ψ12的無量綱頻率幾乎不隨幾何參數(shù)變化，與孤立檔導線的頻率變化特征相同(見圖9)?？紤]到兩檔導線反對稱模態(tài)和無量綱頻率的特點，可以認為連續(xù)檔導線出現(xiàn)反對稱模態(tài)時頻率的計算方法和孤立的單檔導線相同

(31)

式中：li為對應檔的檔距;n為模態(tài)的半波個數(shù)，取偶數(shù)值。

2 多檔導線面內(nèi)頻率及模態(tài)分析

2.1 三檔導線面內(nèi)模態(tài)及頻率計算

在ABAQUS軟件中建立三檔導線的有限元模型，檔距分別為100 m,130 m和170 m。導線最低點張力為11.9 kN(λ3/π=4)，導線和絕緣子串的材料性質與前文相同。通過有限元方法獲得的三檔導線面內(nèi)對稱模態(tài)，如圖10(a)中散點所示。導線張力對模態(tài)形狀有明顯影響，如將導線最低點張力改為18.8 kN(λ3/π=2)時，這三種模態(tài)的散點圖，如圖10(b)所示。對比兩圖可以看出張力變化對前三階對稱模態(tài)的形狀有顯著影響。

依據(jù)前文理論將三檔導線視為三個子結構，每一個子結構的模態(tài)根據(jù)前文理論結果獲得，推廣到三檔導線可以得到簡化的對稱模態(tài)理論公式

(32)

將相應的線路參數(shù)代入式(32)可以獲得三檔導線的三個對稱低階模態(tài)ψ11,ψ21和ψ31，如圖10實線所示。從圖10(a)可知，當導線最低點張力為11.9 kN(λ3/π=4)時，采用理論方法獲得的第一階對稱模態(tài)曲線與有限元結果有明顯差別，但是后兩階對稱模態(tài)基本吻合。當導線最低點張力增大到18.8 kN(λ3/π=2)時，第一個對稱模態(tài)的理論曲線和有限元結果吻和較好，且其它兩個低階對稱模態(tài)也較為吻合。

(a) H=11.9 kN(λ3/π=4)

(b) H=18.8 kN(λ3/π=2)圖10 三檔導線面內(nèi)對稱模態(tài)Fig.10 In-plane symmetric modes of three spans conductors

當張力較小時(見圖10)，采用式(32)描述第一階對稱模態(tài)與真實結果有較明顯的誤差，但是對于高階對稱模態(tài)則能夠吻合較好。以220 kV高壓輸電線為例，其常用導線型號為LGJ-300或LGJ-400的鋼芯鋁絞線，其導線計算拉斷力范圍約為68～171 kN，如果按照2.5的安全系數(shù)，其導線的實際拉力設計值可達27～68 kN，大于18.8 kN(λ3/π=2)。根據(jù)圖10(b)中的對比情況可知，采用簡化式(32)也可以與實際情況吻合較好?？紤]到實際線路拉力的設計值較大，所以理論分析高壓輸電線路模態(tài)時可以采用簡化式(32)。這里值得一提的是，檔距增加時相同的λ/π對應不同的導線張力。例如對于檔距為400 m的導線，λ/π為2時對應導線最低點張力為33.3 kN，而λ/π為4時對應導線最低點張力為21.0 kN。

圖11 三檔導線自振頻率Fig.11 Natural frequencies of three spans conductors

2.2 四檔導線面內(nèi)模態(tài)及頻率分析

建立四檔導線有限元模型，檔距從左到右依次為100 m，130 m，150 m和170 m，導線的最低點張力為18.8 kN(λ4/π=2)，導線和絕緣子串的材料性質和前文相同，絕緣子串的長度仍為2.25 m。通過ABAQUS有限元軟件獲得的四檔導線對稱模態(tài)如圖12中的散點，四檔導線的四個低階對稱模態(tài)ψ11,ψ21,ψ31和ψ41是由單檔導線的對稱模態(tài)組合而成。將式(32)推廣可以獲得四檔導線的模態(tài)函數(shù)，將對應參數(shù)代入即可得四檔導線的理論模態(tài)，如圖12中的實線所示。對比可以看出理論結果和有限元結果吻合。觀察這四個模態(tài)還可以看出，檔距接近的導線其模態(tài)位移也較為接近，如模態(tài)ψ41的三檔和四檔導線模態(tài)位移均遠大于第一檔和第二檔。

圖12 四檔導線面內(nèi)對稱模態(tài)Fig.12 In-plane symmetric modes of fore spans conductors

圖13 四跨導線面內(nèi)自振頻率Fig.13 Natural frequencies of fore spans conductors

2.3 五檔導線面內(nèi)模態(tài)及頻率分析

建立五檔輸電線路的有限元模型，從左到右檔距依次為100 m，110 m，130 m，150 m和170 m，導線的最低點張力為18.8 kN(λ5/π=2)，絕緣子串長度為2.25 m，導線和絕緣子串的材料性質與前文相同。將相應的參數(shù)代入ABAQUS中即可獲得其模態(tài)，如圖14散點所示，該五個模態(tài)由單檔為半個波的對稱模態(tài)組合而成。將式(32)推廣可以獲得五檔導線的模態(tài)函數(shù)，將對應參數(shù)代入即可得到五檔導線的理論模態(tài)，如圖14中的實線所示。對比可知理論結果和有限元結果吻合。

圖14 五檔導線面內(nèi)對稱模態(tài)Fig.14 In-plane symmetric modes of five spans conductors

圖15 五檔導線自振頻率Fig.15 Natural frequencies of five spans conductors

2.4 連續(xù)檔導線模型化簡

上文獲得的連續(xù)檔導線對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)具有正交性，這里對正交性不予證明，僅給出簡化運動控制方程的關鍵結果?，F(xiàn)將稱模態(tài)的模態(tài)函數(shù)對x求導，當n和k都為奇數(shù)時兩不同模態(tài)的乘積沿導線長度方向積分可得

(33)

化簡式(33)可得

(34)

將式(29)代入式(34)中，化簡可得

(35)

利用模態(tài)疊加法求解連續(xù)方程需要用到式(35)的積分結果。

對于連續(xù)檔導線中的每一檔導線非線性振動方程均可描述為

(36)

(37)

式中:N為指連續(xù)檔的檔數(shù);φin(x)為單位正交模態(tài)，其中φin(x)=Binψin，當n為奇數(shù)時Bin可表示為

(38)

將式(37)代入式(36)，在等式兩邊乘以φin(x)并在連續(xù)檔長度范圍內(nèi)進行積分，可以獲得主坐標形式下的非線性常微分方程

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

式(39)是一個非常有用的方程，該方程將連續(xù)檔導線視為整體結構，通過這個方程可以分析連續(xù)檔導線不同檔之間、不同模態(tài)之間的耦合振動行為。

2.5 三檔導線舞動分析

下面對一個簡單問題進行分析，說明式(39)的應用價值。如研究考慮鄰檔導線影響的輸電線舞動臨界風速，可建立力學模型，如圖16所示。只有跨越檔2滿足舞動條件，兩邊耐張檔不滿足舞動條件，即在跨越檔2施加風載荷。現(xiàn)有舞動理論(有限元方法除外)一般不考慮相鄰檔導線的影響或者將相鄰檔導線等效為彈簧約束。

圖16 三檔覆冰導線模型Fig.16 Iced conductors model of three spans

只研究面內(nèi)振動時，考慮風荷載影響的導線面內(nèi)振動方程為

(44)

式中：U為風速;ρ為空氣密度;d為裸導線直徑;a1,a2均為氣動參數(shù)。假設舞動激勵φin(x)模態(tài)，則方程線性化后兩邊都乘φin(x)并沿長度范圍積分可得

(45)

考慮到阻尼c由式(46)確定

(46)

則由式(46)可以確定考慮相鄰檔導線影響的覆冰導線舞動的臨界風速

(47)

從式(47)可知，在相同阻尼比的情況下考慮鄰檔導線影響時頻率ωin減少，降低了臨界風速。對比圖10所示的三個對稱模態(tài)，舞動模式分別為ψ11，ψ21和ψ31時有不同的振動形式，而根據(jù)式(47)可知，不同的舞動模式可以影響臨界風速的大小。

3 結 論

本文將多跨輸電線分解為多個子結構即單檔導線，結合現(xiàn)有的單跨索振動理論獲得多跨輸電線振動頻率的理論公式，同時依據(jù)子結構理論獲得了多跨輸電線模態(tài)的理論公式。對本文獲得的理論公式進行分析可以獲得以下有意義的結論：

(1)絕緣子串的長度與導線張力對多跨輸電線模態(tài)及頻率有重要影響，當絕緣子串長度及導線張力較小的情況下多跨輸電線可能表現(xiàn)出混合模態(tài)，不同于孤立檔導線。

(2)多跨輸電線的模態(tài)表明各檔導線之間相互影響，可以推斷當某檔導線振動時會導致其它檔導線振動，所以將多跨輸電線簡化為單檔導線可能會導致錯誤的結論。

(3)多跨輸電線產(chǎn)生共振的條件和單檔導線產(chǎn)生共振的條件不相同，不能采用單跨索理論分析多檔導線的共振，最后利用本文提出的理論模態(tài)將連續(xù)體振動的偏微分方程轉換為常微分方程。

(4)首次給出舞動臨界風速的理論計算公式，并從理論上闡述了考慮相鄰檔導線影響的覆冰輸電線舞動臨界風速大于孤立檔導線，并指出臨界風速的大小還與激勵的多跨輸電線振動模態(tài)有關。

通過本文提供的理論方法可以計算出多檔導線的振動頻率及模態(tài)，依據(jù)獲得的理論公式可以確定導線產(chǎn)生內(nèi)共振的條件，從獲得的模態(tài)函數(shù)可以對連續(xù)系統(tǒng)進行解耦分析，本文所取得的研究成果對于研究多檔導線的動力響應具有理論價值。