劉晨晨 阿禧達(dá) 曾 威 劉 偉 史慶藩

(北京理工大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，北京 100081)

“真空炮”是一種以氣壓差作為彈丸發(fā)射動(dòng)力源的裝置。主要有3種用途[1]：一是通過(guò)實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間勻加速直線運(yùn)動(dòng)，用來(lái)模擬導(dǎo)彈火箭等的發(fā)射環(huán)境；二是能得到確定的出射速度用于終點(diǎn)實(shí)驗(yàn)或其他實(shí)驗(yàn)；三是作為研究空氣動(dòng)力學(xué)的一個(gè)簡(jiǎn)單模型，比如2017年IYPT中即要求學(xué)生用吸塵器作為抽氣裝置研究“真空炮”的最大速度?！罢婵张凇苯Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，操作方便，實(shí)驗(yàn)較為安全，可研究參數(shù)多，涉及空氣動(dòng)力學(xué)的知識(shí)全面，因此可作為大學(xué)生學(xué)習(xí)空氣動(dòng)力學(xué)的一個(gè)典型的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

本文以“彈丸”的出射速度為研究的對(duì)象，對(duì)影響出射速度的主要參量如“炮筒”的長(zhǎng)度，“彈丸”的橫截面積、形狀、質(zhì)量分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，并通過(guò)分析“彈丸”的運(yùn)動(dòng)過(guò)程建立空氣動(dòng)力學(xué)模型，使得該模型能夠反映出“彈丸”出射速度與“彈丸”及“炮筒”參量的依賴關(guān)系。最后將試驗(yàn)與理論進(jìn)行對(duì)比分析，證明了理論模型的合理性。

1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

本實(shí)驗(yàn)所用到的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)裝置為：抽氣裝置為工業(yè)3200W功率可調(diào)吸塵器，最大長(zhǎng)度為2m，內(nèi)徑為44mm的透明PC管，真空度測(cè)量?jī)x，不同材料、形狀、質(zhì)量的“彈丸”，Phantom V7.3高速攝像機(jī)，電子分析天平，熱熔器，錫箔紙，真空密封膠，氣球等。

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

將“炮筒”透明PC管用塑料泡沫固定在桌面上，出口處連接“三通”的一端，正對(duì)一端作為“真空炮”的出口，另一端連接吸塵器的入口。用熱熔器將連接處密封。在PC管上接近出口的部位鉆一個(gè)小孔，用于與真空度測(cè)量?jī)x連接，連接處用真空密封膠密封。將“炮彈”放置在入口處，用錫箔紙將出口處密封，用繃緊的氣球膜將入口處密封[2]。將高速攝像機(jī)對(duì)準(zhǔn)出射口，并通過(guò)PCC軟件采集視頻。

圖2 TRACKER跟蹤“彈丸”射出軌跡

實(shí)驗(yàn)操作步驟：固定好裝置，打開(kāi)吸塵器開(kāi)關(guān)，并將“彈丸”處于入口處與氣球膜接觸，待真空度測(cè)量?jī)x的示數(shù)穩(wěn)定之后，用尖銳的物品捅破氣球膜，氣流從入口進(jìn)入，推動(dòng)“彈丸”在“炮筒”內(nèi)加速運(yùn)動(dòng)，最終沖破出口處的錫紙膜發(fā)射。用TRACKER跟蹤視頻中“彈丸”出射后一小段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)，如圖2，分析計(jì)算得到出射速度。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 “彈丸”形狀的影響

考慮到摩擦力和空氣阻力的影響，選取圓柱形、球形和子彈頭形作為研究對(duì)象。實(shí)驗(yàn)材料為底面直徑40mm，重量20.25g，材質(zhì)為ABS樹脂的球體和子彈頭體。其他參量為：“炮筒”為長(zhǎng)度1m、內(nèi)徑45mm的PC塑料管，真空度為0.23MPa。每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)8次，每次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行5次分析，求出平均值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用ORIGIN處理，如圖3。

圖3 不同形狀“彈丸”射出的平均速度

由圖可知，不同的“彈丸”形狀會(huì)對(duì)“炮彈”的出射速度有一定的影響，我們從定性的角度對(duì)這一因素進(jìn)行理論分析。首先，圓柱形“彈丸”由于其“頭部”較平，沖破錫紙時(shí)損失的能量較大，因此出射速度會(huì)明顯小于球形和子彈頭形的彈丸速度，如圖3中的數(shù)據(jù)顯示。其次，在生活常識(shí)中，炮彈一般被做成子彈頭形，因?yàn)槠浼怃J的頭部可以比較容易地穿過(guò)障礙物，從而減少能量的損失，但是在該實(shí)驗(yàn)中，由于“彈丸”的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及實(shí)際應(yīng)用中的炮彈速度，并且，“炮筒”的內(nèi)壁也沒(méi)有設(shè)置能夠讓“彈丸”保持頭部朝向穩(wěn)定的“膛線”，因此在氣流的作用下，實(shí)驗(yàn)中觀察到子彈頭形“彈丸”在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)由于朝向的不穩(wěn)定而與“炮筒”內(nèi)壁不斷地發(fā)生摩擦碰撞，損失較多的能量，因此速度會(huì)有所降低。故在本實(shí)驗(yàn)中球形“彈丸”是最佳的選擇。

圖4 “彈丸”質(zhì)量與出射速度的關(guān)系

2.2 “彈丸”質(zhì)量的影響

為探究“彈丸”的質(zhì)量對(duì)“彈丸”發(fā)射速度的影響，控制其他參數(shù)如：“彈丸”為外徑為40mm的ABS樹脂球；“炮筒”是長(zhǎng)度為1m、內(nèi)徑45mm的透明PC管。改變“彈丸”的質(zhì)量并進(jìn)行8次試驗(yàn)，對(duì)每組視頻進(jìn)行5次數(shù)據(jù)分析，得出平均值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖5中黑色數(shù)據(jù)點(diǎn)(淺色曲線是理論曲線，具體形式見(jiàn)第3節(jié)理論計(jì)算)。

池州市地處暖溫帶與亞熱帶的過(guò)渡地帶，屬北亞熱帶濕潤(rùn)性季風(fēng)氣候區(qū)，氣候溫和，雨量適中，光照充足，四季分明。

圖5 “炮筒”長(zhǎng)度與出射速度的關(guān)系

通過(guò)圖像分析：“彈丸”的發(fā)射速度隨質(zhì)量的增大呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。

2.3 “炮筒”長(zhǎng)度的影響

為探究“炮筒”的長(zhǎng)度對(duì)“彈丸”發(fā)射速度的影響，控制其他參數(shù)如：“彈丸”為質(zhì)量20.25g，外徑為40mm的ABS樹脂球；“炮筒”為內(nèi)徑45mm的透明PC管。逐漸縮短“炮筒”長(zhǎng)度，每個(gè)長(zhǎng)度進(jìn)行8次試驗(yàn)，對(duì)每組視頻進(jìn)行5次數(shù)據(jù)分析，得出平均值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖6中深色數(shù)據(jù)點(diǎn)。

圖6 “彈丸”的橫截面積與出射速度的關(guān)系

通過(guò)圖像分析可得：“彈丸”的發(fā)射速度隨“炮筒”長(zhǎng)度的增大而增大。

2.4 “彈丸”橫截面積的影響

為探究“炮筒”的橫截面積對(duì)“彈丸”發(fā)射速度的影響，控制其他參數(shù)如：“彈丸”為質(zhì)量20.25g的不同橫截面積的ABS樹脂球；“炮筒”長(zhǎng)度為1m、內(nèi)徑為45mm的透明PC管?？刂破渌麉⒘坎蛔?，改變“彈丸”的橫截面積，每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)8次，對(duì)每組視頻進(jìn)行5次數(shù)據(jù)分析，得出平均值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖4中深色數(shù)據(jù)點(diǎn)：

通過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)的趨勢(shì)可以看出，發(fā)射速度隨“彈丸”橫截面積的增大而增大。

從實(shí)驗(yàn)過(guò)程分析，“彈丸”沖破出口處的錫紙時(shí)會(huì)損失一部分能量，導(dǎo)致速度減小，為計(jì)算損失能量的大小，我們?cè)O(shè)計(jì)了一系列實(shí)驗(yàn)，讓質(zhì)量為20.23g的ABS樹脂球以不同的速度撞擊出口處的3層錫箔紙，發(fā)現(xiàn)當(dāng)小球速度約3.487m/s時(shí)，小球剛好沖破錫箔紙.因此損失的能量約為0.123J。

3 理論分析

首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件以及合理假設(shè)建立物理模型，然后對(duì)“彈丸”的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，再將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比以檢驗(yàn)物理模型的正確性。

3.1 物理模型

為了建立物理模型，需要抓住主要因素忽略次要因素對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，首先考慮空氣阻力的影響，根據(jù)空氣阻力的計(jì)算公式

(1)

FW=NW×N

(2)

并考慮到橡膠與塑料的滾動(dòng)摩擦系數(shù)NW范圍是0.01～0.1[3]，且“彈丸”對(duì)“炮筒”壁的壓力N約為0.05N，可以得到滾動(dòng)摩擦力FW約為0.0005～0.005N，由于壓強(qiáng)差產(chǎn)生的推動(dòng)力約為28.9N，二者相差5～6個(gè)數(shù)量級(jí)，因此可以認(rèn)為“彈丸”運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的摩擦力可忽略不計(jì)。另外假定發(fā)射過(guò)程中小球與入口之間的空氣壓強(qiáng)P0恒定,且為一個(gè)大氣壓；發(fā)射過(guò)程中小球與出口之間的空氣壓強(qiáng)P恒定；發(fā)射過(guò)程中管內(nèi)溫度恒定且與外界氣溫相同；吸塵器抽氣的功率恒定；“彈丸”為不可形變小球。

3.2 理論計(jì)算

為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的示意圖如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖

當(dāng)“彈丸”兩側(cè)空氣壓強(qiáng)不相等時(shí)，大氣壓強(qiáng)會(huì)成為推動(dòng)小球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力源。以從管口到“彈丸”的氣體和“彈丸”為研究對(duì)象進(jìn)行分析，單位時(shí)間內(nèi)在壓強(qiáng)差的作用下進(jìn)入一部分氣體，該過(guò)程中根據(jù)牛頓第二定律

F=ma

(3)

此式中，F(xiàn)代表“彈丸”以及氣體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的力;m為“彈丸”和該部分氣體的質(zhì)量;a為“彈丸”和氣體的加速度。由壓強(qiáng)公式

F=(P0-P)S

(4)

此式中，P0代表大氣壓強(qiáng);P代表“炮筒”內(nèi)壓強(qiáng);S代表“彈丸”的橫截面積。該模型中由于壓強(qiáng)差是恒定的，因此存在極限速度vmax。在極限速度下，由動(dòng)量定理[4]

Fdt=d(mv)=vmaxdm+mdv=vmaxdm

(5)

解得極限速度為

(6)

此式中，ρ代表空氣密度。在非極限速度下由動(dòng)量定理得

(P0-P)Sdt=ρSdx+(m0+ρSx)dv

(7)

聯(lián)立代入初始條件可得v關(guān)于“彈丸”運(yùn)動(dòng)的距離x及S,P的函數(shù)，如下：

(8)

此式即為該模型的函數(shù)表達(dá)式。

但是考慮到實(shí)際情況中錫箔紙的阻擋作用，應(yīng)對(duì)該物理模型進(jìn)行修正，因損失能量而減小的速度Δv可表示為

(9)

其中W代表?yè)p失的能量為0.123J，修正之后的理論模型可表示為

(10)

理論模型中出射速度v隨x,S,P,m變化的計(jì)算結(jié)果如圖4、5、6中的淺色曲線所示，通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)與理論曲線的對(duì)比可以看出二者符合非常好。但是在v-S圖像中，當(dāng)S較小時(shí)，理論與實(shí)際差別較大，這是由于空氣從“彈丸”與“炮筒”之間的空隙進(jìn)入導(dǎo)致P的變化，因此在實(shí)驗(yàn)允許的條件下應(yīng)盡量選擇直徑接近“炮筒”內(nèi)徑的“彈丸”。

4 結(jié)語(yǔ)

本實(shí)驗(yàn)通過(guò)簡(jiǎn)單易行的實(shí)驗(yàn)裝置定量地研究了多種因素對(duì)“真空炮”發(fā)射速度的影響，并以此為基礎(chǔ)建立了合理的理論模型，為“真空炮”及類似的真空發(fā)射裝置的發(fā)射速度的理論計(jì)算提供參考依據(jù)?！罢婵张凇睂?shí)驗(yàn)作為大學(xué)生研究空氣動(dòng)力學(xué)的一個(gè)簡(jiǎn)單模型，相比于其他空氣動(dòng)力學(xué)的研究條件，比如風(fēng)洞，該方法簡(jiǎn)單易操作且安全系數(shù)高。若進(jìn)行深層次研究，則可以考慮更多的影響因素，比如考慮管內(nèi)壓強(qiáng)P的變化、空氣密度的變化以及氣體粘滯力的影響等等[5]，同樣體現(xiàn)了物理本質(zhì)的研究是逐漸深入，循序漸進(jìn)的過(guò)程。