劉冬喜

中學(xué)數(shù)學(xué)是具有較嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)學(xué)科，偏向定向式的思維模式，為了使學(xué)生的思維不陷入僵化，加強(qiáng)求異思維的訓(xùn)練是很有必要的.對(duì)學(xué)生求異思維能力的訓(xùn)練可以通過具體的一空多填、一題多變、一題多解等方式來進(jìn)行，這也是心理學(xué)所倡導(dǎo)且為大多數(shù)人所接受的訓(xùn)練方法.但是要想更自覺、更有效地對(duì)學(xué)生進(jìn)行求異思維的訓(xùn)練，就必須首先弄清楚求異思維的基本形式.數(shù)學(xué)對(duì)象是豐富多樣的，因此研究這些對(duì)象的求異思維也并非千篇一律，下面就求異思維的五種表現(xiàn)形式與大家探討.

1.放射求異

放射求異是從同一條件出發(fā)，進(jìn)行大幅度、多方位的聯(lián)想判斷，追求盡可能多的答案的思維過程和方法.數(shù)學(xué)知識(shí)間存在著廣泛的縱橫聯(lián)系，而且同一知識(shí)又有多種不同的表現(xiàn)形式，這就決定了由同一刺激引起的聯(lián)想的多向性.

例如，求數(shù)列1， ，1， ，1， ，···的通項(xiàng)公式an=fn，經(jīng)過放射求異可得到答案

①an=1（n為奇數(shù)） （n為偶數(shù)）

②an=

③an=1+ │cos │

④an=（ ）

⑤an=（ ）

放射求異具有流暢開闊的特點(diǎn)，通過放射求異可以建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)感.

2.反向求異

給出問題的結(jié)論，并列地從多個(gè)方向追索使結(jié)論成立的條件，這就是反向求異思維。從形式上看，這是一種逆向思維，但卻不把某一已知條件作為唯一目標(biāo)，表現(xiàn)出了思維的深刻性品質(zhì).

例如，在通常情況下，都是由給定條件求出直線的某種特殊形式，再將其化為一般形式Ax+By+C=0，現(xiàn)在給出直線方程3x-y+3=0，求確定直線的條件，可沿下列四個(gè)方向進(jìn)行：

①化為斜截式y(tǒng)=3x+3，故直線由斜率k=3，截距b=3確定；

②化為截距式 + =1，故直線由橫、縱截距a=-1，b=3確定；

③化為點(diǎn)斜式y(tǒng)-0=3（x-1），故直線由斜率k=3，定點(diǎn)（-1，0）確定；

④化為兩點(diǎn)式 = ，故直線由兩點(diǎn)（-1，0）、（-2，-3）確定.

其中③、④兩種情況都有無窮多種表達(dá)式.經(jīng)過如上的反向求異，學(xué)生會(huì)對(duì)“兩個(gè)獨(dú)立條件確定一條直線”產(chǎn)生更具體、更強(qiáng)烈的認(rèn)識(shí).長期的單向思維使學(xué)生的思維呆板，要使學(xué)生由順向轉(zhuǎn)逆向，教師應(yīng)經(jīng)常提出相反思路，對(duì)學(xué)生進(jìn)行反向求異思維的訓(xùn)練.

3.對(duì)比求異

利用問題之間的正反對(duì)比和相似對(duì)比揭示知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而獲得問題的準(zhǔn)確答案的思維過程和方法就是對(duì)比求異.通過對(duì)比求異訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生克服思維的盲目和片面，克服知識(shí)和技能的負(fù)遷移.

例如，通過對(duì)以下問題的正反對(duì)比，揭露問題2的錯(cuò)誤，有利于學(xué)生形成正確的空間概念.

問題1：“平面內(nèi)過一已知點(diǎn)垂直于一已知直線的直線有且只有一條.”

問題2：“空間中過一已知點(diǎn)垂直于一已知直線的直線有且只有一條.”

通過以下問題3、4、5的相似對(duì)比，有助于加深學(xué)生對(duì)橢圓切線方程的本質(zhì)理解.

問題3：過橢圓 + =1上一點(diǎn)P（x0，y0）的橢圓切線方程為 + =1.

問題4：過橢圓外一點(diǎn)p（x0，y0）所引橢圓的兩條切線的切點(diǎn)的直線（切點(diǎn)弦）方程為 + =1.

問題5：通過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求過這兩個(gè)交點(diǎn)的兩條切線交點(diǎn)的軌跡方程為 + =1

4.分析求異

對(duì)欲證命題進(jìn)行執(zhí)果索因的分析，捕捉促成問題轉(zhuǎn)化的各種信息，沿著各個(gè)轉(zhuǎn)化方向?qū)ふ医鉀Q問題的多種途徑的思維過程就是分析求異.

例如，三角恒等式tan2α-sin2α=tan2αsin2α的證明思路可通過如下分析獲得

①tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩t(yī)an2α（1-sin2α）=sin2α

？坩t(yī)an2αcos2α=sin2α

？坩sin2α=sin2α

②tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩t(yī)an2α=sin2α（1+tan2α）

？坩t(yī)an2α=sin2α·

？坩t(yī)an2α=tan2α

③tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩 =

？坩 =

？坩 =

分析求異是數(shù)學(xué)解題的傳統(tǒng)的成功方法，對(duì)綜合能力水平不高的中學(xué)生更有不可取代的作用.

5.反饋求異

所謂反饋求異就是對(duì)理論上證明了的命題，通過列舉正面例子說明其合理性，列舉反面例子說明其不合理性.

例如，對(duì)于“若a、b、c∈R+，則a3+b3+c3≥3abc”可以從三個(gè)方面舉例進(jìn)行反饋求異：

①令a=1，b=2，c=3；

②令a=1，b=2，c=-4；

③令a=-1，b=-2，c=4.

由①知命題為真，由②知不滿足題設(shè)條件則不等式可能不成立，由③知不等式的條件可放寬為a+b+c≥0.通過反饋求異可以加深學(xué)生對(duì)定理?xiàng)l件的認(rèn)識(shí)，從而從本質(zhì)上把握定理，避免應(yīng)用定理解題可能犯的錯(cuò)誤.

從求異思維的形式和特點(diǎn)可以看出，求異思維是一種不依常規(guī)、勇于開拓的創(chuàng)造性思維，對(duì)于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才有著積極的作用，應(yīng)該予以重視.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com