王才軍

摘 要：思想可以解釋為客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)思想是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的結(jié)果.數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想既不可分，又不是同一層面的問題.數(shù)學(xué)知識(shí)是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)方法是根本，數(shù)學(xué)思想是靈魂。

關(guān)鍵詞：中學(xué)；數(shù)學(xué)；思想方法；感想

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）18-023-01

數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)與形是事物的兩個(gè)方面，正是基于對(duì)數(shù)與形的抽象研究才產(chǎn)生了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，才能使人們能夠從不同側(cè)面認(rèn)識(shí)事物，華羅庚先生說過：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”。把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來。突出數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，達(dá)到靈活運(yùn)用的程度，然后總結(jié)歸納才產(chǎn)生記憶，這種在產(chǎn)生大量的豐富的經(jīng)驗(yàn)下形成的記憶最深刻。

中學(xué)數(shù)學(xué)中用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。主要是培養(yǎng)學(xué)生由特殊事例發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的歸納能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)方法.這里有轉(zhuǎn)化思想。即拋物線解析式中二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一般式轉(zhuǎn)化成系數(shù)為1的一般式，系數(shù)為1的一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式。

數(shù)學(xué)思想不可能象數(shù)學(xué)知識(shí)那樣一步到位，它需要有一個(gè)不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深的過程.這一個(gè)過程中是從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級(jí)到高級(jí)的螺旋上升過程.在過程中，需要我們教師做一個(gè)“過程”的加強(qiáng)者，不斷的用我們的數(shù)學(xué)思想“敲打”學(xué)生的思維、讓學(xué)生在一次次的“敲打”過程中，不斷的積累、不斷的感悟、不斷的明朗，直到最后的主動(dòng)應(yīng)用。

在解題時(shí)，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法，統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)檫@時(shí)被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個(gè)子區(qū)域，然后分別在多個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究方向基本是“分”，但分類解決問題問題之后，還必須把它們總合在一起，這種“合——分——合”的解決問題的過程，就是分類與整合的思想方法。

分類與整合的思想是以概念的劃分，集合的分類為基礎(chǔ)的思想方法，對(duì)分類與整合的思想的考查，有以下幾個(gè)方面。

一是考查有沒有分類意識(shí)，遇到應(yīng)該分類的情況，是否想到要分類，什么樣的問題需要分類？例如

（1）有些概念就是分類定義的，如絕對(duì)值的概念，又如整數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)，把三角形分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形等等；

（2）有的運(yùn)算法則和定理，公式是分類給出的，例如求一元二次不等式的解又分為及共六種情況。

（3）圖形位置的相對(duì)變化也會(huì)引起分類，例如兩點(diǎn)在同一平面的同側(cè)，異側(cè)，二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸相對(duì)于定義域的不同位置等；

（4）整數(shù)的同余類，如把整數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)等。

二是如何分類，即要會(huì)科學(xué)地分類，分類要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏；

三是分類之后如何研究；

四是如何整合。

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中占有重要地位，其原因是分類討論本身有明顯的邏輯特點(diǎn)，再之能訓(xùn)練思維的條理性和概括性.分類討論是一種“化整為零、各個(gè)擊破，再積零為整”的解題思路和解題策略.分類要求標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不遺漏，不重復(fù)，分層次，不越級(jí)討論.解題步驟大致為：

①確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；

②逐步進(jìn)行討論，獲得階段性結(jié)果；

③適當(dāng)歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。

化歸與轉(zhuǎn)化的思想是指在解決問題時(shí)，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略，是數(shù)學(xué)學(xué)科與其它學(xué)科相比，一個(gè)特有的數(shù)學(xué)思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題.事實(shí)上，解題的過程就是一個(gè)縮小已知與求解的差異的過程，是求解系統(tǒng)趨近于目標(biāo)系統(tǒng)的過程，是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過程，因此每解一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸.例如，對(duì)于多元問題，要轉(zhuǎn)換為少元問題，對(duì)于高次函數(shù)，高次方程問題，轉(zhuǎn)化為低次問題，特別是熟悉的一次，二次問題，對(duì)于復(fù)雜的式子，通過換元轉(zhuǎn)化為簡單的式子問題等等.對(duì)化歸思想，結(jié)合對(duì)演繹證明，運(yùn)算推理，模式構(gòu)建等理性思維能力，因此可以說每一個(gè)數(shù)學(xué)問題，都是化歸意識(shí)和轉(zhuǎn)化能力的體現(xiàn)。

由特殊到一般，再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識(shí)的過程是人們認(rèn)識(shí)世界的基本過程之一，對(duì)數(shù)學(xué)而言，這種由特殊到一般，再由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識(shí)的過程，就是數(shù)學(xué)研究的特殊與一般的思想。

在中學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)一些能集中體現(xiàn)特殊與一般的思想的問題，例如：

（1）由一般歸納法進(jìn)行猜想；

（2）由平面到立體，由特殊到一般進(jìn)行類比猜想；

（3）函數(shù)問題的處理；

（4）定點(diǎn)，定值問題；

（5）用特殊化方法解選擇題，如構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊序列、尋找特殊點(diǎn)、確定特殊位置、利用特殊值、特殊方程等；

（6）運(yùn)動(dòng)變化問題、不確定問題等。

“對(duì)有限的研究往往先于對(duì)無限的研究，對(duì)有限個(gè)研究對(duì)象的研究往往有章可循，并積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，而對(duì)無限個(gè)研究對(duì)象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗(yàn)不足，于是將對(duì)無限的研究化成對(duì)有限的研究，就成了解決無限問題的必經(jīng)之路，反之，當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決，這種無限化有限，有限化無限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是有限與無限的思想?！?/p>

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想在提高解題能力的重要性，有意識(shí)地在復(fù)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思想。