☉合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 洪 倩

“變式教學(xué)”指的是教師有目的、有計劃地對例題、習(xí)題進行合理轉(zhuǎn)換.合理轉(zhuǎn)換問題的條件或結(jié)論，保留問題的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生更好地掌握問題的本質(zhì)屬性.下面是對課本習(xí)題進行的變式教學(xué)設(shè)計.

題目：（滬科版七年級上冊數(shù)學(xué)角課后習(xí)題）如圖1是中央電視臺部分節(jié)目的播出時間，確定鐘表上時針與分針形成的最小的角的度數(shù).

思路：求時針與分針所形成的最小角，實際上求7到12之間所形成最小角度.

解析：時鐘被分成12等份，即每一大格：360÷12=30°，則5×30°=150°.

圖1

一、條件一般化，問題不變

變式1：求7：20時，分針和時針形成的最小角.

解析：分針每分鐘轉(zhuǎn)30÷5=6°，時針每小時轉(zhuǎn)一大格30°，即每分鐘轉(zhuǎn)30÷60=0.5°.因此，題中的時針與分針形成的角度由兩部分組成，即4到7的角度與時針超過7的部分的角度.

答案：3×30°+20×0.5°=100°.

圖2

變式2：求7：50時，分針和時針形成的最小角.

解析：此題中的時針與分針形成的角度由兩部分組成，即8到10的角度和時針實際位置與8相差的角度.為了方便計算，一般情況下采用：7到10的角度減去時針超過7的角度.

答案：3×30°-50×0.5°=65°.

變式1與變式2與原題的區(qū)別在于當分針不指向12點時，時針指向的不是整點數(shù)，在計算時針與分針的最小夾角時，需要考慮時針與整點數(shù)的偏角.變式1考查的是分針在時針后面的情況，變式2是分針在時針前面的情況.

圖3

二、條件與問題互換

變式3：分針在時針后面，7點多少時，時針與分針的最小夾角成100°？

解析：相對于之前的給定時間求角度問題，這是給定角度求時間問題，時針與分針的夾角由兩部分組成，即4到7的角度與時針超過7的角度.

圖4

答案：設(shè)x分鐘時，時針與分針的最小夾角成100°，則有7×30-6x+0.5x=100，解得x=20.

變式4：7點多少時，時針與分針的最小夾角成100°？

解析：此道題除去限定條件，需要分兩類情況進行解答：分針在時針前面、分針在時針后面.第一類情況與變式3解法相同，第二類情況時針與分針的最小夾角由7到10的角度減去時針超過7的角度，即求出時針超過7所形成的夾角，便可求出時間.

圖5

答案：分針在時針前：7×30-6x+0.5x=100，解得x=20.

變式3與變式4都是給定角度求時間問題，變式3有“分針在時針后面”這一限定條件，因此只需考慮一種情況，變式4未給定限定條件，需要考慮兩種情況.條件與問題互換，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維及分類討論意識.

三、問題特殊化

變式5：當前時間為7：20，再過多長時間時針與分針第一次相遇？

解析：這道題實際上是上一個變式問題的特殊化，即時針與分針的夾角成0°.

答案：設(shè)7：x時，分針和時針第一次相遇，則有6x-7×30-0.5x=0，解得（分鐘）.

圖6

［這道題是鐘表內(nèi)的相遇問題，也可以利用相遇時間=路程÷速度和來解決，路程是一開始時針與分針相差的路程即時針與分針的最小角度，速度和是時針的速度與分針的速度之和.

變式6：當前時間為7：50，再過多長時間時針與分針第一次重合？

解析：分針在時針的前面，需要注意的是時鐘是順時針轉(zhuǎn)動.

答案：設(shè)8：x時，時針和分針第一次重合.

變式7：當時間為7：20時，至少過多長時間，時針與分針在一條直線上？

解析：此類問題需要考慮兩種情況，時針和分針在同一條直線上，一種情況是時針與分針重和，另一種情況是時針與分針的夾角成180°，再比較哪種情況的時間短.此題，明顯時針、分針第一次重合時時間較短，時針、分針在一條直線上.

圖8

變式8：當時間為7：50時，至少過多長時間，時針與分針在一條直線上？

解析：此時，很明顯由觀察得時針與分針第一次成180°時，時間較短，時針與分針在一條直線上？

圖9

變式5和變式6都是時針與分針第一次相遇問題，是變式3、4的特殊化，即時針與分針的夾角為0°，區(qū)別在于變式5是分針在時針的后面，變式6是分針在時針前面，要考慮到時針、分針的轉(zhuǎn)動方向，否則易出錯.變式7和變式8需要考慮到分針、時針在同一條直線的兩種情況.

在涉及鐘表中的角度問題時，條件和問題是變動的.這時需要的是把握三個著手點：作圖、時針和分針轉(zhuǎn)動順序、時針和分針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度，把握這三個不變因素，就相當于抓住鐘表中角度問題的本質(zhì)，無論條件、問題如何變動都可以解決它.

課本例題、習(xí)題都是教材編寫者精心編寫的，課外輔導(dǎo)資料也是以課本習(xí)題為依據(jù)編寫而成的，時鐘問題是數(shù)形高度結(jié)合的范例，結(jié)合了形象思維和邏輯思維，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力一個很好的平臺.因此，教師在扎根課本的同時，理應(yīng)進行由淺入深的變式教學(xué)，通過改變條件或問題拓展學(xué)生的思路，提高學(xué)生的思維品質(zhì).