☉江蘇省如皋市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)袁橋初級中學 陸海燕

中考復習期間學生會涉及大量習題，這些習題的來源主要是全國各地歷年來的中考試題，而有些訓練的效果好些，有些訓練的效果卻不甚如意.究其原因，當然與學生的思維水平、運算能力、記憶能力有關(guān)，但教學法上的研討與改進也是一個值得深入思考的話題.比如拋物線有很多奇異的性質(zhì)（如準線、焦點的性質(zhì)，由于多地中考試題曾出現(xiàn)過，大家現(xiàn)在已比較熟悉），初中教材上涉及不多，但通過練習不少中考試題，優(yōu)秀學生也能一眼洞察、看清問題結(jié)構(gòu)，然而也有些偶爾出現(xiàn)一次的奇異性質(zhì)，因為滿足于一題一解或一題一答，缺少對問題結(jié)構(gòu)的反思與揭示，使得優(yōu)秀學生也不能深刻認識和理解一類問題結(jié)構(gòu)，這是值得我們在解題教學中加以改進的.本文從2018年福建省中考卷第25題的思路解析說起，關(guān)聯(lián)同類、逆向拓展，并提出一些教學建議，供研討.

一、考題與思路突破

考題1：（2018年福建卷，第25題）已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2） .

①求拋物線的解析式；

②點P與點O關(guān)于點A對稱，且O、M、N三點共線，求證：PA平分∠MPN.

思路突破：

圖1

（2）①分別解讀：條件“x1＜可得在y軸左側(cè)y隨x的增大而增大；條件＜0”可得在y軸右側(cè)y隨x的增大而減小.于是可確認該拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下.可設拋物線的解析式為y=ax2+2.接下來只要畫出草圖輔助分析，如圖1.

結(jié)合等邊三角形ABC與圓O的半徑為2，可得出點B、點C的坐標分別為選擇其一代入y=ax2+2，可得a=-1，于是拋物線的解析式為y=-x2+2.

②解法1：構(gòu)造如圖2所示的草圖分析.

設點M（x1，-+2）、N（x2，-+2）.由于直線MN經(jīng)過原點，可設MN：y=kx.

圖2

由P是點O關(guān)于點A的對稱點，易得OP=4，即點P（0，4），可設PM：y=k2x+4.把M點的坐標代入，可得

解法2：為了便于對比，我們再構(gòu)造圖3所示的草圖變式（點M、N的位置發(fā)生了變化）分析.

先設直線MN的解析式為y=kx，將其與拋物線解析式聯(lián)立成

圖3

消去y，可得關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-2=0.

二 、回顧反思與同類鏈接

同類鏈接：這道考題最后一問的結(jié)構(gòu)在2016年海南省中考卷第24題曾出現(xiàn)過.

逆向思考：這道考題最后一問的逆向思考問題在2017年湖北中考卷武漢卷第24題曾出現(xiàn)過.這里不妨簡要引述一下，便于對比.

考題2：（2016年湖北武漢，第24題）拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方.如圖4，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點.當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

結(jié)構(gòu)認識：如圖5，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C，點E、F在拋物線的對稱軸上，直線y=n與拋物線交于點A、B.點P是拋物線上一個動點，連接AP，交拋物線的對稱軸于E點.

圖4

圖5

有如下“等價”信息：

①點B、P、F在同一直線上；

②CE=CF；（類似的有OE+EF=2OC）

③∠AFE=∠PFE.

從前面考題1、考題2的求解可知，上述“等價”信息可以“知一推二”.

同類跟進：（2017年江蘇泰州某校九上期末試卷）平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為A（-1，-4），且經(jīng)過點B（-2，-3），與x軸分別交于C、D兩點.如圖6，過點A的直線交x軸于點E，且AE∥y軸，點P是拋物線上A、D之間一個動點，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點.當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由.

圖6

三、教學建議

1.教師要善于歸類收集典型考題，并深入研究揭示結(jié)構(gòu)

數(shù)學教師的一個重要的日常基本功是解題，應該有自主解題的興趣與愛好，把平時業(yè)余時間常常用來解題是一個優(yōu)秀數(shù)學教師的重要特征之一.當然，僅僅有興趣解題還不夠，還需要在解題之后反思回顧，想清問題結(jié)構(gòu)，并把同類問題歸類收集整理到專用的資料夾.筆者的做法是把同類問題演算之后的結(jié)構(gòu)與素材及時保存在電腦上相應文件夾中，文件夾以關(guān)鍵詞命名，便于日后檢索、調(diào)用.比如，本文關(guān)注的主題關(guān)鍵詞可擬為“拋物線奇異性質(zhì)”，并把與之相關(guān)的考題及演算稿都存入相應的文件夾，有時網(wǎng)絡上、文獻中的類似資料也可下載保存在一起.

2.組織典型考題講評時，要引導學生回顧反思提煉結(jié)構(gòu)

教師在組織考題講評時，可檢索自己的素材庫把相關(guān)類型的問題整理出來，經(jīng)過編輯加工整合成教學設計，精選一道較簡單的考題先講評，然后變式拓展，邊拓展、邊追問，讓學生在回顧反思中提煉問題結(jié)構(gòu)，加深對同類問題的深刻理解.在講評之后還可跟進變式再練，不僅是檢測聽課效果，更主要的是通過“多題歸一”訓練鞏固學生對問題結(jié)構(gòu)的理解.