☉湖北省宜昌市第九中學(xué) 竇正安

幾何綜合題是初中階段很多學(xué)生難以逾越的一大難題.究其原因，無(wú)非在于很多幾何綜合題需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力、計(jì)算能力，甚至需要借助轉(zhuǎn)化或添加輔助線.在眾多的題目中，那些基于核心素養(yǎng)的，具備一題多解的，甚至擁有拓展空間的好題常被人津津樂(lè)道.筆者從眾多中考試題中擷取一例加以剖析，以饗讀者.

題目：（2018·湖北宜昌）如圖1，在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點(diǎn)，把△PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F.

（1）若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：△AEB △DEC；

（2）①求證：BP=BF；

②當(dāng)AD=25，且AE＜DE時(shí)，求cos∠PCB的值；

③當(dāng)BP=9時(shí)，求BE·EF的值.

由于（1）、（2）①和②較為容易，過(guò)程從略.以下重點(diǎn)探析（2）③的解法.

解法1：如圖1.

由AD∥BC，得∠AEB=∠EBC.又因?yàn)椤螧EC=∠A=90°，所以△AEB △EBC，所

所以BE·EF=AB·BP=12×9=108.

點(diǎn)評(píng)：此解法的出發(fā)點(diǎn)是根據(jù)目標(biāo)聯(lián)想到了相似，通過(guò)兩次相似構(gòu)建包含目標(biāo)線段的比例式，再轉(zhuǎn)化為等積式求得結(jié)果.其優(yōu)點(diǎn)在于思路比較清晰，易于想到運(yùn)用相似，缺點(diǎn)是圖中不止兩對(duì)相似三角形，如果選擇偏差就很難得出能求出結(jié)果的比例式.事實(shí)上，我們?cè)陂喚淼倪^(guò)程中也的確發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生想到用相似，但由于選擇不當(dāng)，如證△EFC △GPC，又沒(méi)想到等量代換，最終只能望題興嘆.

圖1

解法2：如圖1，設(shè)AE=y，EF=x，則BE=x+9.

易證△BAE △EDC.

化簡(jiǎn)得：x（y2+144）=108（x+9）.

在Rt△BAE中，（x+9）2=y2+144.

所以x（x+9）2=108（x+9）.

又因?yàn)閤+9≠0，所以x（x+9）=108.

所以BE·EF=x（x+9）=108.

點(diǎn)評(píng)：此解法的思路是運(yùn)用設(shè)元法，先表示出目標(biāo)線段和所需線段，再根據(jù)相似和勾股定理列方程解決問(wèn)題.其優(yōu)點(diǎn)在于思維比較簡(jiǎn)單、直接，缺點(diǎn)在于計(jì)算較為煩瑣.事實(shí)上，在閱卷中，我們也發(fā)現(xiàn)了運(yùn)用此法的學(xué)生，但最終絕大多數(shù)人都是因?yàn)橛?jì)算問(wèn)題而擱淺，甚至發(fā)現(xiàn)少數(shù)計(jì)算能力較強(qiáng)的學(xué)生本已算到x（x+9）=108這一步了，卻選擇把x解出來(lái)，沒(méi)有運(yùn)用整體思想，無(wú)形中增加了計(jì)算量，著實(shí)令人唏噓..

解法3：如圖2.

設(shè)EF=x，則BE=x+9.

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為H.

因?yàn)镋F⊥CE且∠ECF=∠HCF，所以FH=EF=x.

易證△BAE △FHB.

所以x（x+9）=108，所以BE·EF=x（x+9）=108.

點(diǎn)評(píng)：此解法充分借助圖形的幾何直觀性，由折疊的性質(zhì)得知CP平分∠BCG，所謂“圖中有角平分線，常向兩邊作垂線”，故過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC構(gòu)造輔助線，此解法較解法2大大減少了計(jì)算量.

圖2

圖3

解法4：如圖3.

連接GF.

因?yàn)椤螱EF=90°，∠PGE=∠ABC=90°，所以∠GEF=∠PGE.

易得BF∥PG，BF=PG，所以四邊形BPGF是平行四邊形.

又因?yàn)锽P=BF，所以平行四邊形BPGF是菱形.

由BP∥GF，得∠GFE=∠ABE.

所以BE·EF=AB·GF=12×9=108.

點(diǎn)評(píng)：此解法充分地抓住了圖形的幾何直觀性，即局部對(duì)稱性.由折疊知△BPC與△GPC關(guān)于直線CP對(duì)稱，于是想到“沿軸將圖對(duì)折看，對(duì)折之后關(guān)系現(xiàn)”，F(xiàn)B對(duì)折后應(yīng)該與FG對(duì)應(yīng)，故而想到連接GF.與此同時(shí)，通過(guò)對(duì)折我們也不難發(fā)現(xiàn)：圖中缺少EF的對(duì)應(yīng)線段，這樣想來(lái)就把解法3、解法4貫通起來(lái)了.正所謂：“圖中有角平分線，常向兩邊作垂線.沿軸將圖對(duì)折看，對(duì)折之后關(guān)系現(xiàn)”.