陳 浩 王小麗

（1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 重慶 401331；2.重慶師范大學(xué) 地理與旅游學(xué)院 重慶 401331）

在數(shù)值分析的教學(xué)中，Lagrange插值類問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn). 數(shù)值分析教材廣泛認(rèn)為，Lagrange插值公式形式優(yōu)美但其數(shù)值實(shí)現(xiàn)有一定的不足. 筆者認(rèn)為，通過(guò)引入Lagrange插值公式的一種質(zhì)心表示形式，可以克服其數(shù)值實(shí)現(xiàn)的困難. 同時(shí)，這不僅給學(xué)生們提供了解決插值問(wèn)題的一類新思路，提高了學(xué)習(xí)效率，也提高了學(xué)生的認(rèn)識(shí)，是值得嘗試的.

設(shè)(xj,yj),j=0 ,…n為n+1個(gè)橫坐標(biāo)互不相同的插值節(jié)點(diǎn). 令Pn為所有不超過(guò)n，次的多項(xiàng)式的集合. 則經(jīng)典的插值問(wèn)題為：求一多項(xiàng)式p∈Pn使其通過(guò)所有的插值節(jié)點(diǎn)，即：p(xj) =yj,j= 0 ,…n.該問(wèn)題的解是存在唯一的且其解的Lagrange形式為[1]：

Lagrange插值公式的優(yōu)點(diǎn)在于其形式優(yōu)美且利于理論分析，其不足之處主要在其數(shù)值實(shí)現(xiàn)方面[2]，如：

1.計(jì)算p(x)需要Ο(n2)次加法和乘法運(yùn)算；

2.增加一個(gè)新節(jié)點(diǎn)（xn+1,yn+1)需要重新計(jì)算；

3.數(shù)值不穩(wěn)定性.

在數(shù)值實(shí)現(xiàn)方面，數(shù)值分析教材一般建議利用Newton插值公式與秦九韶算法結(jié)合[1]來(lái)實(shí)現(xiàn)，其計(jì)算p(x)僅需要Ο(n)次加法和乘法運(yùn)算且增加新節(jié)點(diǎn)（xn+1,yn+1)不需要重復(fù)計(jì)算.

為得到Lagrange插值公式的等價(jià)形式，我們先將Lagrange插值基函數(shù)改寫(xiě).令l(x)=(x-x0)(x-x1) (x-x),并定義質(zhì)心權(quán)系數(shù)

則有ωj=1/l'(xj)，因此Lagrange插值基函數(shù)lj可寫(xiě)為

從而，Lagrange插值多項(xiàng)式可改寫(xiě)為

式（2）即為L(zhǎng)agrange插值公式的等價(jià)變形之一，為使其更加對(duì)稱優(yōu)美，我們進(jìn)一步將其改寫(xiě). 由Lagrange插值余項(xiàng)定理[1]可知對(duì)常函數(shù)1插值所得插值多項(xiàng)式即為其本身，即

求出l(x)代入Lagrange插值多項(xiàng)式（2）式可得質(zhì)心公式

此質(zhì)心公式為L(zhǎng)agrange插值公式的等價(jià)形式，但其具有特殊且優(yōu)美的對(duì)稱性. 其計(jì)算p(x)需要Ο(n2)次加法和乘法運(yùn)算且為了增加一個(gè)新節(jié)點(diǎn)（xn+1,yn+1)而更新權(quán)系數(shù)ωj僅需要Ο(n)次運(yùn)算，同時(shí)其具備優(yōu)良的穩(wěn)定性[2].

Lagrange質(zhì)心公式（3）相比Newton插值公式的好處之一是其避免了差商表的計(jì)算. 此外，Lagrange質(zhì)心公式不依賴插值節(jié)點(diǎn)的排列順序，而Newton插值公式中差商表的計(jì)算非常依賴插值節(jié)點(diǎn)的排序，尤其當(dāng)n很大時(shí)很多排序會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定性.