摘 要：目前，不少初中學(xué)生對函數(shù)概念的理解較為片面，把握不住函數(shù)本質(zhì)。因此，教師在教學(xué)函數(shù)概念時(shí)需要適度淡化概念的形式、定義，以生活實(shí)例導(dǎo)入，運(yùn)用變式材料和否定例證來明確函數(shù)本質(zhì)，并借助新舊知識聯(lián)系加深函數(shù)概念理解，以幫助學(xué)生掌握函數(shù)概念的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：初中函數(shù)；概念教學(xué)；策略

作者簡介：張蕓蕓，江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)丁家莊初級中學(xué)教師。（江蘇 南京 210028）

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）18-0064-03

對很多初中生來說，函數(shù)概念較難理解和把握。筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)初中生的函數(shù)概念比較模糊，把握不了函數(shù)本質(zhì)，甚至是曲解函數(shù)概念。函數(shù)概念難以掌握，除卻學(xué)生自身心理因素外，還由于函數(shù)是一個(gè)較抽象的辯證概念，而初中學(xué)生首次從常量數(shù)學(xué)引入變量數(shù)學(xué)，他們對“變量”還不習(xí)慣；此外，函數(shù)類型眾多，表示方式多樣，沒有什么固定形式。初中教材中函數(shù)的表示方法有三種：解析式法、列表法、圖象法，但課本對列表法和圖象法介紹不多，初中生對這兩種表示方法的認(rèn)知度不高，以至于不少學(xué)生理解的函數(shù)表達(dá)方式僅限于函數(shù)解析式，阻礙了他們對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。

因此，教師在函數(shù)概念教學(xué)時(shí)需要適度淡化概念的形式定義，以生活實(shí)例導(dǎo)入，在比較、變化等聯(lián)系性活動中揭示函數(shù)的內(nèi)涵，以幫助學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)。具體來說，函數(shù)概念可由以下步驟呈現(xiàn)：

一、聯(lián)系生活實(shí)例引入函數(shù)概念

弗賴登塔爾曾指出，“運(yùn)用實(shí)際生活中出現(xiàn)的函數(shù)概念，而不必先去生造或定義函數(shù)。只有學(xué)生能夠做出函數(shù)以后，再讓他去歸結(jié)出什么是函數(shù)，這才是數(shù)學(xué)活動的范例?！焙喲灾?，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要遵循學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律，從表象到規(guī)定，從具體到抽象。函數(shù)知識在社會生產(chǎn)、生活和科技中廣泛應(yīng)用，例子不勝枚舉。在函數(shù)教學(xué)中，教師要從實(shí)際出發(fā)，通過與概念有明顯聯(lián)系的實(shí)例，使學(xué)生在對具體問題的體驗(yàn)中感知函數(shù)。比如，在超市買蘋果，蘋果單價(jià)是6.5元/斤，買x斤的蘋果與需要支付的錢m之間的關(guān)系是什么？坐出租車，車費(fèi)會隨著路程的遠(yuǎn)近而不同，等等。這些實(shí)例易于理解，且易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，還讓學(xué)生體會到函數(shù)是“好用的數(shù)學(xué)”。教師充分利用學(xué)生熟悉的實(shí)例來引入函數(shù)學(xué)習(xí)，既是滲透函數(shù)思想方法的捷徑，也有助于實(shí)現(xiàn)函數(shù)“概念性的數(shù)學(xué)化”。

二、運(yùn)用變式材料和否定例證來明確函數(shù)本質(zhì)

首先，根據(jù)對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的共同屬性，給出函數(shù)概念的定義。對初中函數(shù)概念的理解，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住以下幾點(diǎn)：①在一個(gè)變化過程中；②兩個(gè)變量中一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一變量數(shù)值的變化而變化；③對每一確定的自變量值，因變量都有唯一值與其對應(yīng)；④某一類型函數(shù)所具備的獨(dú)有的特征或關(guān)系。其次，為更鮮明地解釋函數(shù)概念本質(zhì)，促使學(xué)生深化內(nèi)涵認(rèn)識，教師應(yīng)給出一些函數(shù)的變式材料和否定例證。如在八年級上學(xué)期剛教給學(xué)生函數(shù)定義時(shí)，可引入以下例子幫助學(xué)生辨析函數(shù)本質(zhì)：

（1）在彈性限度內(nèi)，某彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x滿足下表關(guān)系：

y是x的函數(shù)嗎？為什么？

（2）圖1是某地某月一天24小時(shí)中氣溫與時(shí)間的關(guān)系圖，該圖表述的是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是，請說出自變量和因變量。

（3）圖2所示，該圖中y是x的函數(shù)嗎？為什么？

（4）關(guān)系式2x+y=5表述的是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是，請說出自變量和因變量。如果不是，請說明理由。

通過這些肯定和否定例證的辨析，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)概念內(nèi)涵的深化學(xué)習(xí)，了解函數(shù)的表達(dá)方式多樣，涉及的種類繁多。

三、借助新舊知識聯(lián)系加深對函數(shù)概念的理解

在八年級學(xué)習(xí)“函數(shù)”這一內(nèi)容之前，《代數(shù)式》一章就已經(jīng)讓學(xué)生體會到字母表示數(shù)的必要，同時(shí)要求學(xué)生能結(jié)合具體問題情境列出代數(shù)式，并根據(jù)數(shù)值的不同求取不同的代數(shù)式值，這已經(jīng)滲透了初步的函數(shù)思想。同時(shí)，該章還通過找規(guī)律填圖表、“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”模式等多種形式讓學(xué)生體會變量之間存在著對應(yīng)關(guān)系。此外，《平面直角坐標(biāo)系》為與函數(shù)圖象有關(guān)的知識學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。平面直角坐標(biāo)系既是研究函數(shù)問題的有效工具，又是滲透數(shù)形結(jié)合思想、發(fā)展空間觀念的重要載體。而函數(shù)概念的學(xué)習(xí)又為后續(xù)函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。每一種類型的函數(shù)學(xué)習(xí)都將使學(xué)生對函數(shù)概念的理解進(jìn)一步加深，也使得函數(shù)概念體系結(jié)構(gòu)顯性化。

在分別學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的概念時(shí)，每一種函數(shù)概念也可與其他函數(shù)概念進(jìn)行類比，以明確不同函數(shù)概念間的各種聯(lián)系，幫助學(xué)生建立有用的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。

當(dāng)然，對于函數(shù)概念真正的認(rèn)知和理解是不容易的，要經(jīng)歷一個(gè)較長的多次接觸的過程。掌握函數(shù)概念的本質(zhì)，絕不是背誦定義；對于函數(shù)概念定義的呈現(xiàn)，應(yīng)以學(xué)生的可接受度為前提。教師在函數(shù)概念教學(xué)的過程中，要綜合考慮所教學(xué)生的知識儲備、心理水平及函數(shù)概念本身特性；對學(xué)生要有恰當(dāng)?shù)钠谕担豢杉庇谇蟪?；鼓?lì)學(xué)生對新知識產(chǎn)生探究欲望，盡力促使學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣和信心。

例如，反比例函數(shù)概念的教學(xué)根據(jù)以上策略可做如下設(shè)計(jì)：

11.1 反比例函數(shù)

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 理解反比例函數(shù)的概念，能結(jié)合具體情境理解反比例函數(shù)的意義；

2. 能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)關(guān)系式；

3. 體會反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界特定數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型；

4. 感受數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，讓學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解反比例函數(shù)的概念，根據(jù)實(shí)際問題確定反比例函數(shù)關(guān)系式。

【教學(xué)難點(diǎn)】

理解反比例函數(shù)的概念。

【教學(xué)過程】

1.回顧舊知。提問：（1）在小學(xué)里，我們學(xué)過如果兩個(gè)量x、y滿足xy=k（k為常數(shù)，k≠0），那么x、y就成什么關(guān)系？（教師板演xy=k，其中k為常數(shù)，k≠0）

同學(xué)們能舉出生活中成反比例關(guān)系的具體實(shí)例嗎？（教師可先舉例做示范）

（2）什么是函數(shù)？

一般地，設(shè)在一個(gè)變化的過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，我們稱 。其中，x是 ，y是 。

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些類型的函數(shù)？它們的一般形式是怎樣的？

設(shè)計(jì)意圖：教師通過帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)反比例關(guān)系及已學(xué)相關(guān)函數(shù)知識，為后續(xù)學(xué)生自主探究和深刻理解反比例函數(shù)的概念打好基礎(chǔ)。

2. 探索新知。

“想一想”

家住上海的姨媽邀請王明暑假去上海的迪士尼樂園游玩。王明計(jì)劃坐汽車從南京出發(fā)去往上海（全程約300千米）。全程所用時(shí)間t（小時(shí)）隨汽車速度v（千米/小時(shí)）的變化而變化。

（1）你能用含v的代數(shù)式表示t嗎？

（2）利用（1）的關(guān)系完成下表，并說說隨著時(shí)間的變化，全程所用的時(shí)間會發(fā)生怎樣的變化？

（3）時(shí)間t是速度v的函數(shù)嗎？為什么？

（4）時(shí)間t是速度v的一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：利用學(xué)生生活中熟悉的實(shí)際情境引導(dǎo)他們應(yīng)用反比例關(guān)系，初步感知反比例函數(shù)；認(rèn)識到函數(shù)類型多樣，在生活中應(yīng)用極廣。使學(xué)生易于接受新的概念，培養(yǎng)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的能力。

“議一議”

（1）用函數(shù)關(guān)系式表示下列問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系：①游泳池的容積為5000立方米，向池內(nèi)注水，注滿水所需時(shí)間t（h）隨注水速度v（立方米/h） 的變化而變化；②某市電話的月租費(fèi)是20元，每次打電話再付費(fèi)0.6元。每月電話費(fèi)y（元）隨通話次數(shù)x的變化而變化；③水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展，擴(kuò)大的圓的周長C隨著r的變化而變化；④某村有耕地面積200畝，人均占有耕地面積y（畝）隨人口數(shù)量x（人）的變化而變化；⑤實(shí)數(shù)m與n的積為-200，m隨n的變化而變化。

（2）提問：以上函數(shù)關(guān)系式中哪些是已經(jīng)學(xué)過的？剩下的函數(shù)關(guān)系式具有什么共同特點(diǎn)？你還能舉出類似的實(shí)例嗎？你能結(jié)合兩個(gè)變量之間的關(guān)系給這些新函數(shù)命名嗎？

（3）討論：什么是反比例函數(shù)？

（4）總結(jié)：一般地，形如y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量，k是比例系數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過對以上這些不同于一次函數(shù)和正比例函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式的共同特點(diǎn)進(jìn)行梳理，類比于正比例關(guān)系與正比例函數(shù)的聯(lián)系，討論得出反比例函數(shù)的定義。這樣既鍛煉學(xué)生觀察、類比和歸納的能力，也增強(qiáng)了學(xué)生的主體意識，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

“做一做”

例1. 下列關(guān)系式中的y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？

y=1-x；xy=1；y=；y=-；y=

xy+2=0；y=3；xy=0 ；y=-1；y=

總結(jié)：（1）形如y=kx-1（k≠0）或xy=k（k≠0）的關(guān)系式也表示反比例函數(shù)關(guān)系；

（2）反比例函數(shù)的自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：教師向?qū)W生提供反比例函數(shù)關(guān)系的各種變式材料及一些極易混淆的其他類型的函數(shù)關(guān)系式，讓學(xué)生去觀察、辨析，加深對反比例函數(shù)本質(zhì)的理解，明確反比例函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生掌握正確、完整的反比例函數(shù)概念。

例2. 一定質(zhì)量的氧氣，它的密度ρ（千克/立方米）是它的體積v（立方米）的反比例函數(shù)，當(dāng)v=10立方米，ρ=1.43千克/立方米。

（1）求ρ與v的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求當(dāng)v=2立方米時(shí)氧氣的密度ρ。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境感知反比例函數(shù)的意義，體驗(yàn)從實(shí)際問題中抽象出反比例函數(shù)模型的過程。進(jìn)一步讓學(xué)生感受函數(shù)中因變量隨自變量的改變而改變，體會反比例函數(shù)中蘊(yùn)藏的動態(tài)變換過程。

“練一練”

（1）課本125-126頁的練習(xí)1、2；

（2）若 是反比例函數(shù)，求此反比例函數(shù)的關(guān)系式。

設(shè)計(jì)意圖：通過這段演練，一方面加深學(xué)生對反比例函數(shù)概念的理解，另一方面讓學(xué)生不斷體會反比例函數(shù)在解決實(shí)際問題中的重要作用。

3. 拓展提升。（1）函數(shù)y=（m-1）x|m|-2，當(dāng)m=_____時(shí)，它是正比例函數(shù)；當(dāng)m=_____時(shí)，它是反比例函數(shù)。

（2）已知y=y1+y2，y1是x的反比例函數(shù)，y2是x 的正比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y=-6；當(dāng)x=1時(shí)，y= 3。求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x=-4時(shí)，求y的值。

設(shè)計(jì)意圖：拓展題（1）促使學(xué)生將正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行類比，幫助學(xué)生更好地理解兩種不同函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別。問題（2）將兩種不同種類函數(shù)組合成新函數(shù)，既拓寬學(xué)生函數(shù)認(rèn)知的視野，提升學(xué)生的解題能力和思考能力，也為高中后續(xù)相關(guān)知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

4. 歸納總結(jié)。什么是反比例函數(shù)？它的形式有哪些？

5. 課后作業(yè)。（1）課本習(xí)題11.1 1、2；（2）《數(shù)學(xué)補(bǔ)充習(xí)題》11.1

總之，函數(shù)概念的教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升發(fā)揮著重要的作用，在具體的教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生學(xué)情，對教學(xué)策略進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，以激發(fā)學(xué)生興趣，最終達(dá)到提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬等，譯.上海：上海教育出版社，1995：265.

[2] 李士锜，PME.數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：109.

責(zé)任編輯 范艷玲