錢冠杰，譚躍剛

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

在約束方程中，含有系統(tǒng)位置坐標(biāo)對時(shí)間的微分且不能直接積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束，含有非完整約束的系統(tǒng)稱為非完整系統(tǒng)[1]。非完整約束會(huì)限制速度、加速度等位置坐標(biāo)的微分量，但不會(huì)限制系統(tǒng)的位置坐標(biāo)。因此，非完整系統(tǒng)的控制輸入數(shù)目可以少于廣義位置坐標(biāo)數(shù)目，系統(tǒng)具有欠驅(qū)動(dòng)特性。驅(qū)動(dòng)器的減少可以降低成本，對于開發(fā)結(jié)構(gòu)緊湊，質(zhì)量輕的機(jī)構(gòu)具有重要意義[2]。

非完整系統(tǒng)本質(zhì)上是非線性的，不存在連續(xù)時(shí)不變狀態(tài)反饋可對其進(jìn)行鎮(zhèn)定，直接對其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃很困難[3]。Murray等[4]通過坐標(biāo)變換將輪式移動(dòng)機(jī)器人轉(zhuǎn)換成一類結(jié)構(gòu)簡單的非完整系統(tǒng)——鏈?zhǔn)较到y(tǒng)。Nakamura等[5]利用摩擦球運(yùn)動(dòng)分解合成機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一種非完整多關(guān)節(jié)機(jī)械臂，并通過將機(jī)械臂系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為鏈?zhǔn)较到y(tǒng)來對其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。Tilbury等[6]將多項(xiàng)式、三角函數(shù)等作為控制輸入，可以對鏈?zhǔn)较到y(tǒng)進(jìn)行有效的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。

筆者以一種非完整四關(guān)節(jié)機(jī)械臂為研究對象，采用鏈?zhǔn)阶儞Q方法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。由于非完整機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與鏈?zhǔn)侥Ｐ筒⒉皇峭耆⒎滞叩?，?dǎo)致在鏈?zhǔn)侥Ｐ椭幸?guī)劃的路徑不能完全映射到關(guān)節(jié)空間而出現(xiàn)奇異位形[7]。利用四關(guān)節(jié)機(jī)械臂的冗余性，通過合適的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)來求解優(yōu)化運(yùn)動(dòng)軌跡，可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂有效的運(yùn)動(dòng)控制。

1 非完整機(jī)械臂結(jié)構(gòu)

非完整機(jī)械臂以一種摩擦輪盤機(jī)構(gòu)[8]作為關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)傳遞單元，其機(jī)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 摩擦輪盤機(jī)構(gòu)

(1)

式中：α為變量，會(huì)隨著機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度的改變而變化，從而改變摩擦輪盤機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比。摩擦輪盤機(jī)構(gòu)的約束是一種速度約束，因此非完整機(jī)械臂是一種一階非完整系統(tǒng)。

在非完整機(jī)械臂中布置了三組摩擦輪盤機(jī)構(gòu)，機(jī)械臂的機(jī)構(gòu)如圖2所示。其中，電機(jī)2直接驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)1轉(zhuǎn)動(dòng)?？缮炜s雙萬向節(jié)及兩端的傳動(dòng)軸連接組成一條運(yùn)動(dòng)傳遞鏈，運(yùn)動(dòng)傳遞鏈上的各傳動(dòng)軸等速轉(zhuǎn)動(dòng)。電機(jī)1驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)傳遞鏈，通過齒輪、摩擦輪盤機(jī)構(gòu)、同步帶輪機(jī)構(gòu)帶動(dòng)關(guān)節(jié)2、3和4轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖2 非完整機(jī)械臂機(jī)構(gòu)圖

機(jī)械臂的位形空間由5個(gè)狀態(tài)變量確定，即4個(gè)關(guān)節(jié)的角位移θi以及與電機(jī)1連接的運(yùn)動(dòng)傳遞鏈的角位移φ。因此，可定義機(jī)械臂系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量為q=[φ,θ1,θ2,θ3,θ4]T。根據(jù)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下：

(2)

式中：k為r/R；μ1和μ2為電機(jī)1和電機(jī)2的轉(zhuǎn)速。

2 非完整機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

2.1 鏈?zhǔn)阶儞Q

機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)之間存在運(yùn)動(dòng)耦合關(guān)系，直接進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃十分復(fù)雜。一種有效的方法是將機(jī)械臂系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，運(yùn)用鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法對機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。Sordalen在研究多掛車系統(tǒng)的鏈?zhǔn)阶儞Q時(shí)，提出了將符合三角形構(gòu)造的非完整系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的方法[9]。具有三角形構(gòu)造的系統(tǒng)如下：

(3)

根據(jù)上述方法，非完整機(jī)械臂系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)換為如下鏈?zhǔn)较到y(tǒng)：

上述系統(tǒng)是一種兩輸入四輸出的單鏈系統(tǒng)，其通式為：

(5)

式中：v1,v2為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)輸入量。

2.2 運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

運(yùn)動(dòng)規(guī)劃即求解有界的輸入，使機(jī)械臂在規(guī)定時(shí)間內(nèi)由初始位形運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位形。首先將機(jī)械臂關(guān)節(jié)的初始位形qi和目標(biāo)位形qg映射到鏈?zhǔn)娇臻g中的初始位形zi和目標(biāo)位形zg，然后以zi和zg作為邊界條件在鏈?zhǔn)娇臻g中規(guī)劃出一條運(yùn)動(dòng)路徑，再將路徑進(jìn)行鏈?zhǔn)侥孀儞Q到關(guān)節(jié)空間，即得到了機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)路徑。邊界約束方程如下：

(6)

式中：zi(T)(i=2，3，4，5)為在控制輸入作用下鏈?zhǔn)娇臻g中各個(gè)狀態(tài)變量在終止時(shí)刻T時(shí)對應(yīng)的值，是控制輸入的函數(shù)。

采用時(shí)間多項(xiàng)式輸入法對鏈?zhǔn)较到y(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，則系統(tǒng)的控制輸入為：

(7)

若知道機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)時(shí)間T以及邊界條件qi和qg，則利用邊界約束方程可以求解出控制輸入中的待定系數(shù)ai(i=1，2，3，4)。將控制輸入v1和v2帶入單鏈系統(tǒng)式(5)，即可以得到鏈?zhǔn)娇臻g中各個(gè)狀態(tài)變量zi(i=1，2，…，5)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后通過鏈?zhǔn)侥孀儞Q得到機(jī)械臂4個(gè)關(guān)節(jié)θi(i=1，2，3，4)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

3 非完整機(jī)械臂冗余特性

非完整多關(guān)節(jié)機(jī)械臂是一種四關(guān)節(jié)的平面機(jī)械臂，而確定平面中機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位置只需要兩個(gè)關(guān)節(jié)即可。因此機(jī)械臂有兩個(gè)冗余關(guān)節(jié)，這使得機(jī)械臂具有更高的靈活性。

由于機(jī)械臂具有冗余性，對于機(jī)械臂末端執(zhí)行器的一個(gè)位置P，有無數(shù)種逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。在機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中以機(jī)械臂的初始位形qi和目標(biāo)位形qg作為邊界條件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。因此，對于機(jī)械臂末端執(zhí)行器的一個(gè)目標(biāo)位置,有無數(shù)個(gè)目標(biāo)位形qg，每一個(gè)目標(biāo)位形都對應(yīng)機(jī)械臂的一種運(yùn)動(dòng)路徑。對于一個(gè)確定的末端執(zhí)行器目標(biāo)位置P,取其中3組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。其中關(guān)節(jié) 1的初始角度為5°，任取3組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解中關(guān)節(jié)1對應(yīng)的目標(biāo)角度分別為30.25°、30°、33°。運(yùn)動(dòng)規(guī)劃得到的關(guān)節(jié)1運(yùn)動(dòng)路徑如圖3所示。

圖3 關(guān)節(jié)1運(yùn)動(dòng)軌跡圖

在無數(shù)種逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡中，有很多軌跡是不可取的。由機(jī)械臂的鏈?zhǔn)阶儞Q表達(dá)式(4)可以看出，在鏈?zhǔn)阶兞縵向關(guān)節(jié)變量θ進(jìn)行鏈?zhǔn)侥孀儞Q的過程中需要進(jìn)行開方和反三角函數(shù)運(yùn)算，如果鏈?zhǔn)綘顟B(tài)變量z的值超過一定范圍，在鏈?zhǔn)侥孀儞Q求取關(guān)節(jié)變量θ時(shí)就會(huì)出現(xiàn)無解的情況，這種性質(zhì)稱為鏈?zhǔn)侥孀儞Q的奇異性。顯然，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解中這種奇異位形是不可取的，圖3關(guān)節(jié)1的運(yùn)動(dòng)軌跡1就是一種奇異位形。從運(yùn)動(dòng)軌跡3可以看出，在運(yùn)動(dòng)過程中關(guān)節(jié)1出現(xiàn)了兩次反向轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。由于機(jī)械臂中有齒輪和同步帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，關(guān)節(jié)頻繁地反向轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)引入誤差，因此運(yùn)動(dòng)軌跡3也是不可取的。而軌跡2中，關(guān)節(jié)1從5°運(yùn)動(dòng)至30°的過程中沒有出現(xiàn)反轉(zhuǎn)的情況，運(yùn)動(dòng)軌跡2是可取的。

機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解有無數(shù)種，而且其中有很多解并不可取，因此需要對逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解進(jìn)行優(yōu)化，求取最優(yōu)解。冗余解的優(yōu)化求取方法通常是基于給定的評(píng)價(jià)函數(shù)，即通過求取評(píng)價(jià)函數(shù)的最值來確定逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的最優(yōu)解[10]。

在給定機(jī)械臂初始位形qi時(shí)，對機(jī)械臂的一組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解目標(biāo)位形qg進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，可以得到機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌Pi(i=1，2，3，4)。過各個(gè)關(guān)節(jié)初始位形qi和目標(biāo)位形qg可以得到一條直線Qi(i=1，2，3，4),以曲線Pi和Qi所圍的面積構(gòu)建線性評(píng)價(jià)函數(shù)，如圖4所示。

(8)

圖4 線性評(píng)價(jià)函數(shù)圖

機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解優(yōu)化是一個(gè)二維優(yōu)化問題。確定平面機(jī)械臂末端執(zhí)行器需要兩個(gè)關(guān)節(jié)變量，以另外兩個(gè)關(guān)節(jié)角作為變量，采用遍歷的方法，通過比較線性評(píng)價(jià)函數(shù)f的大小對各組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解進(jìn)行取舍，f最小時(shí)對應(yīng)的解即為最優(yōu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。對最優(yōu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃時(shí)，機(jī)械臂不會(huì)出現(xiàn)反向轉(zhuǎn)動(dòng)和奇異位形。

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

假定機(jī)械臂的初始位形為qi=[10° 10° 10° 10°]T,機(jī)械臂末端執(zhí)行器的目標(biāo)位置為P=[80,575]T，機(jī)械臂的臂長l=180。通過評(píng)價(jià)函數(shù)式(8)求得P點(diǎn)對應(yīng)的最優(yōu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解為qg=[32.7064° 32.9134° 32.9° 32.9°]T。以qi和qg作為邊界條件建立約束方程，采用牛頓迭代法求解約束方程可以得到鏈?zhǔn)较到y(tǒng)控制輸入中的未知參數(shù)。解得a1=0.074 129 177、a2=0.007 095 292、a3=0.001 591 411、a4=-0.000 103 037。進(jìn)而可以得到各個(gè)狀態(tài)變量z的軌跡如圖5所示。

圖5 z的運(yùn)動(dòng)軌跡

狀態(tài)變量z經(jīng)過鏈?zhǔn)侥孀儞Q可以得到機(jī)械臂4個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示。

圖6 各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡

在四關(guān)節(jié)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。以UMAC運(yùn)動(dòng)控制器控制兩個(gè)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)，通過安裝在各個(gè)關(guān)節(jié)處的角位移傳感器來測量關(guān)節(jié)的實(shí)際角位移。運(yùn)動(dòng)控制試驗(yàn)平臺(tái)如圖7所示，機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示。

圖7 運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖8 各個(gè)關(guān)節(jié)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡

機(jī)械臂的理論目標(biāo)位形是qg=[32.706 4° 32.913 4° 32.9° 32.9°]T，在試驗(yàn)中機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)至qg′=[32.7° 30.9° 31.8° 29.8°]T。由于關(guān)節(jié)1直接由電機(jī)1驅(qū)動(dòng)，其轉(zhuǎn)角由電機(jī)編碼器讀出，因此關(guān)節(jié)1運(yùn)動(dòng)曲線比較光滑。關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4的實(shí)際角度和理論值相比都有一定的誤差，其中關(guān)節(jié)4的誤差最大，這是由于前面關(guān)節(jié)誤差累計(jì)影響造成的。但是總體來看，機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)趨勢與理論曲線基本相同，這表明筆者提出的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法可以對機(jī)械臂進(jìn)行有效的運(yùn)動(dòng)控制。

5 結(jié)論

筆者提出了一種非完整四關(guān)節(jié)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)控制方法。通過將機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為鏈?zhǔn)侥Ｐ停缓笤阪準(zhǔn)侥Ｐ椭羞M(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，將規(guī)劃好的路徑通過鏈?zhǔn)侥孀儞Q就可以得到機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡。對機(jī)械臂進(jìn)行了冗余性分析，根據(jù)線性評(píng)價(jià)函數(shù)對逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解進(jìn)行優(yōu)化，從而得到最優(yōu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了所提出的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法的可行性。