何聲清

(北京師范大學教育學部 100875)

1 引言

無論是課程目標的階段劃分，還是教材內容的螺旋編排，亦或是教學過程的路徑設計，這些工作的開展都應以尊重學生的認知發(fā)展規(guī)律為前提.傳統(tǒng)的認知發(fā)展理論大都屬于某種階梯模式(staircase model)或等級模式(hierarchical model)，其關注點多聚焦于認知發(fā)展的階段性(如認知發(fā)展階段理論[1])或認知水平的層次性(如SOLO分類理論[2]).

數(shù)學問題的美常常體現(xiàn)在答案的確定性和方法的多樣性.同一個作答反應可能源自不同的解決策略，這些策略甚至有優(yōu)劣、正誤或多種層次之分.例如，新近一項有關學生概率比較策略的研究表明[3]：對于問題“不透明的盒子里有白球、黑球各2個，它們除顏色外都相同.從盒子里隨機摸出2個球，摸出‘一個是黑球而另一個是白球’和‘兩個都是白球’這兩種情況哪個可能性更大”，初中生的作答正確率為37.75%，而正確策略的使用頻率則僅為14.73%.這說明，在能夠作出正確判斷的學生群體中，有相當一部分學生使用了不當?shù)牟呗?

可見，僅僅從學生的最終答案來判斷其認知水平在科學性上尚存在局限和偏頗，我們還應該深入考察學生問題解決的策略表現(xiàn)及水平差異，分析學生持有不當策略的潛在原因并探索可行的干預手段，厘清學生策略發(fā)展的過程并據(jù)此揭示其中的規(guī)律.前研究厘清了學生概率比較的典型策略并考察了其發(fā)展趨勢，但比較遺憾的是，該研究尚未就“學生策略發(fā)展的競爭、替代機制”等問題做更深入的探索，亦沒有從這個角度對“概率比較”問題解決的教學提出更多建議.本文在前研究的基礎上，從理論層面重新審視學生概率比較策略的發(fā)展機制并據(jù)此探討其一般模型以及提出相應的教學建議.

2 問題解決策略發(fā)展的疊波模型

當代著名心理學家Siegler早在上世紀90年代就提出了策略發(fā)展疊波理論(overlapping waves theory).該理論認為，兒童在其認知發(fā)展的不同階段對于特定問題的解決一般都持有不同的策略，并且這些策略常常有對錯、優(yōu)劣和繁簡之分.學生問題解決的策略通常表現(xiàn)出情境適應性和時間適應性.情境適應性是指學生會在不同的問題情境中傾向于訴諸不同的策略.時間適應性是指學生在不同的認知發(fā)展階段運用不同策略的頻率在不斷變化，能夠越來越多地使用“好”的策略[4].

策略的“發(fā)展”主要體現(xiàn)在4個方面：接受新的策略；增加新策略的使用頻率；策略使用有效性的提高；越來越擅長使用最佳策略.不同年齡段學生都有其特定的“主打”策略和“替補”策略；隨著年級/年齡的遞增，各種策略的使用頻率呈現(xiàn)“此消彼長”的動態(tài)發(fā)展；在此過程中，新的策略被發(fā)現(xiàn)和運用，陳舊的策略被永久遺棄；策略運用的有效性、貼適性也隨年齡/年級的遞增而提升，學生的認知發(fā)展在策略優(yōu)化過程中得以實現(xiàn).

該理論與以往認知發(fā)展階段理論的最大區(qū)別是：它更多地關注到策略發(fā)展的漸進機制，認為兒童的認知發(fā)展是“漸進的”而非“突變的”，盡管新的策略不斷被采納，但這并不意味著舊的策略被隨即終止，策略的發(fā)展是在相當長的一段時間里新、舊策略的持續(xù)競爭中得以實現(xiàn)的.

3 疊波模型視角下學生概率比較策略的發(fā)展機制

在前一項研究中，研究者設計了5個有關概率比較的測試題目[3]，并從學生的判斷結果和理由解釋兩個方面收集了學生的作答數(shù)據(jù)，本文的分析正是基于該套測試題目和相應的數(shù)據(jù)庫而進一步展開的，受測被試也與上述研究一致.5個測試題目詳見表1.

表1 測試題目的結構

前研究還區(qū)分了學生概率比較的7種典型策略(表2)，并以年級為變量考察了學生各種策略使用頻率的發(fā)展狀況[3]：隨著年級的遞增，學生正確策略的使用頻率總體上呈現(xiàn)上升趨勢，部分樸素策略的使用頻率總體上呈現(xiàn)下降趨勢，而尚有部分樸素策略的使用頻率長期居高不下.

表2 學生概率比較的典型策略

然而進一步的問題是：各個年級組間正確策略的使用頻率是否存在顯著性差異？隨著年級的遞增，學生概率比較策略是以怎樣的機制進行競爭和替代的？上述策略發(fā)展機制的潛在原因是什么？教學如何適應學生的策略發(fā)展規(guī)律？本文以疊波模型為視角對上述問題進行分析，以期從理論層面進一步厘清學生概率比較策略的發(fā)展機制.

3.1 時間適應性：不同年級學生策略使用的傾向性及其差異

對不同年級學生策略使用的頻率進行了統(tǒng)計，這部分數(shù)據(jù)已在前一項研究中進行了初步報告和解讀[3]，不再贅述.進一步發(fā)現(xiàn)，學生概率比較策略發(fā)展的數(shù)據(jù)符合疊波模型的理論預期，如圖1所示.若從疊波模型的視角重新審視前文數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：策略的使用隨著年級的遞增呈現(xiàn)此消彼長的動態(tài)發(fā)展趨勢，有的策略逐漸在競爭中被替代，有的策略則逐漸成為主導.具體而言：七年級學生的“主打”策略基本是樸素策略，正確策略使用頻率不高；八年級學生策略的使用頻率相對均衡，發(fā)展呈現(xiàn)多樣化；九年級學生的優(yōu)勢策略發(fā)展強勁并開始成為主導，部分樸素策略的使用頻率趨于緩和.

以上發(fā)展特點也進一步表明：學生概率比較策略的發(fā)展是一個“漸進的”而并非“突變的”過程，即優(yōu)勢策略的發(fā)展不是一蹴而就的，即便九年級學生所使用的策略也并非全然達到了最優(yōu)水平，他們同樣持有一些頑固的、難以消除的樸素策略.

圖1 七～九年級學生“概率比較”策略發(fā)展的疊波模型

對各個年級組間正確策略(包括“基于正確的樣本空間”和“分步試驗法”)的使用頻率進行差異檢驗.結果表明，除了Q2(χ2=4.646，p=0.098)以外，七～九年級學生在其余各個測試題目上正確策略的使用頻率均存在顯著性差異(Q1：χ2=6.383，p<0.05；Q3：χ2=8.578，p<0.05；Q4：χ2=13.133，p<0.01；Q5：χ2=6.383，p<0.05).這進一步表明，除了個別測試題目以外，學生在大多數(shù)題目中優(yōu)勢策略的發(fā)展均是顯著的.那么，學生為何在Q2的問題解決中優(yōu)勢策略的發(fā)展不顯著呢？這可能與該測試題目本身的難度及學生的認知局限有關：該題目涉及的黑球和白球均是2個，摸出的2個球所有可能的結果有6種(基本事件)，其中“1個黑球和1個白球”這種情況包含了“黑1白1”、“黑1白2”、“黑2白1”及“黑2白2”4種組合.然而，學生在對所有可能結果進行組合的過程中遇到了困難，他們難于厘清“1個黑球和1個白球”的4種可能的組合，有84.8%的學生認為所有可能結果為“2個白球，2個黑球，1黑1白”，有7.8%的學生認為所有可能的結果為“2個白球，2個黑球，1黑1白，1白1黑”[5].在概率比較時，有11.8%的學生正是基于他們對樣本空間的上述錯誤理解而進行的判斷，有26.5%的學生則是源于其持有的“等可能性偏見”而進行的判斷，另有23.5%的學生從表面的數(shù)量關系出發(fā)，認為“黑球和白球均是2個，所以兩種情況的概率一樣大”.可見，各年級學生均在該問題的概率比較任務中遇到了困難，這一方面源于他們的組合知識缺乏(盡管人教版教材在九年級上冊涉及到“用列舉法求概率”，但本測試進行時他們尚未學習到該章節(jié))，一方面源于他們不良概率直覺的根深蒂固.

3.2 情境適應性：不同問題情境下策略使用的傾向性及其差異

就學生在不同測試題目中策略的使用頻率進行統(tǒng)計及差異檢驗(表3)，結果表明：

(1)學生在Q1中的主導策略是“等可能性偏見”(33.3%)和“基于精確的樣本空間”(20.6%).盡管該測試題目涉及的球個數(shù)最少，但卻給學生造成了不小的干擾.有20.6%的學生能夠通過構造樣本空間來進行概率比較，這不足為奇，甚至這個百分比還可以更高，因為它一共僅有3種可能的結果.但是更多學生的作答卻表現(xiàn)出了“等可能性偏見”，且該策略的使用頻率在5個測試題目中處于最高水平.

(2)學生在Q2中的主導策略是“等可能性偏見”(26.5%)和“基于數(shù)量或比例關系”(23.5%).“等可能性偏見”依然被學生頻繁地使用，這與該測試題目的自身特點有關：它涉及的兩種顏色球均是2個，而這種高度對等的外表特征很容易誘導學生作出“因為兩種球個數(shù)相等，所以各種情況的可能性相同”的判斷.相對于Q1而言，學生使用“基于精確的樣本空間”策略的頻率有所降低，而“基于數(shù)量或比例關系”的頻率則相對提高.這仍然與上述高度對等的外表特征有關，其次還與學生組合知識的局限有關，他們容易被“1個黑球和1個白球”所涉及的4種基本事件所混淆.事實上，學生在該題目中“基于模糊的樣本空間”策略的使用頻率確實達到了5個題目的最高水平(11.8%)，這說明學生在列舉所有可能的結果時傾向于將基本事件中相同的樣本混淆為一種情況.

(3)學生在Q3中的主導策略是“等可能性偏見”(19.1%)，另外“基于精確的樣本空間”和“基于數(shù)量或比例關系”策略的使用頻率相當(均為16.2%).

(4)學生在Q4中的主導策略是“等可能性偏見”(25%)、“基于精確的樣本空間”(22.5%)及“基于數(shù)量或比例關系”(21.1%).學生在該測試題目中的策略使用出現(xiàn)了高度的競爭關系和兩極分化：一方面，“等可能性偏見”和“基于精確的樣本空間”的使用頻率依然居高不下，其原因可能與Q2類似——高度對等的外表特征給學生的上述直覺性策略提供了土壤.另一方面，“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率處于5個題目的最高水平，甚至高于Q1.究其原因，題目要求學生“分別”從盒子里個摸出一個球，這在一定程度上提示了學生對左右兩個盒子里摸出的球進行組合.

(5)學生在Q5中的主導策略是“基于數(shù)量或比例關系”(29.4%)，而其他策略的使用頻率則均相對不高，其中“等可能性偏見”的使用頻率更處于5個題目的最低水平.這也容易理解：該題涉及的白球個數(shù)明顯多于其他顏色的球，這大大降低了題目的干擾性，并提高了“基于數(shù)量或比例關系”策略的有效性.此外，“分步試驗法”的使用頻率在該題達到最高水平，這與題目情境有關：“分別”從兩個盒子里各摸出1個球對學生的分步策略起到了一定的暗示作用.然而問題是，學生在Q4中使用該策略的頻率則很低，這正是因為其高度對稱的外表特征誘導了“等可能性偏見”和“基于數(shù)量或比例關系”策略，而這些策略在與“分步試驗法”的競爭中被采納.

(6)不同策略的使用頻率發(fā)展情況也與題目的情境有關.例如，不同年級學生在“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率上的發(fā)展一般都達到顯著，但是在Q2中卻并非如此，這再一次證實了學生在該題中的策略運用存在局限，正確策略的使用也容易在競爭中被樸素策略所替代.再例如，不同年級學生“等可能性偏見”的發(fā)展未達顯著，其使用頻率一值居高不下，這說明它十分頑固、難以消除.

表3 學生在不同測試題目中策略的使用頻率及卡方檢驗

注：*表示p<0.05，**表示p<0.01；考慮到部分年級在個別策略(“分步試驗法”和“局部的分步試驗法”)上的使用人數(shù)期望次數(shù)小于5，這不滿足卡方檢驗的前提，故沒有對這些策略的使用頻率進行卡方檢驗.

3.3 不同策略間競爭和替代的一般規(guī)律和基本機制

基于上述討論可以發(fā)現(xiàn)，學生概率比較的策略一般是按照“個別主導→相互制衡→個別主導”、“策略貧乏→策略豐富→策略優(yōu)化”的方向發(fā)展的.具體而言，可以歸納出如下的一般規(guī)律和基本機制：

(1)從“不可知論”到“可知論”.古典概率的一個鮮明特點是理論先驗性，即在試驗前能夠對事件的概率進行理論推演，通過將目標事件所包含結果的個數(shù)與所有可能的結果個數(shù)作比而計算出來.換言之，盡管最終會出現(xiàn)哪種結果不得而知，但可以事先在理論上對其進行預判.而學生往往持一種“不可知論”的觀點，認為“事情沒有發(fā)生，不能知曉哪種結果更可能發(fā)生”、“只有上帝才知道會出現(xiàn)什么”，等等.數(shù)據(jù)表明，九年級學生較七、八年級學生在“認為概率無法預測和量化”的使用頻率上有了明顯的降低，而在“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率上則達到了峰值.值得提及的是，盡管“基于模糊的樣本空間”尚不屬于正確的策略，但它至少反映了學生能夠從樣本空間的角度出發(fā)進行概率比較(這也是“可知論”的一種體現(xiàn))，而七～九年級學生關于該策略的使用頻率基本是呈現(xiàn)上升發(fā)展的.

(2)從“數(shù)量關系”的表象到“樣本空間”的實質.如前所述，古典概率計算的基本依據(jù)是“目標事件的結果個數(shù)÷所有可能的結果個數(shù)”.如果將本研究中的題設改為“摸出1個球”，那么從不同顏色球的數(shù)量或比例的角度去分析是基本合理的.然而對于復合事件的概率計算而言，其可能的結果(基本事件)是一個組合的形式，上述的有關“數(shù)量或比例關系”的解釋在這種情況下就顯得蒼白無力.數(shù)據(jù)表明，八、九年級學生較七年級學生在“基于數(shù)量或比例關系”的使用頻率上有了明顯的降低.與此同時，“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率則明顯提高，“基于模糊的樣本空間”策略的使用頻率也基本上呈現(xiàn)上升趨勢.

(3)從樸素的組合推理到精確的組合推理.從“不可知論”到“可知論”的發(fā)展是學生概率思維發(fā)展的第一步，從“基于數(shù)量關系”到“基于樣本空間”則體現(xiàn)了更深層次的發(fā)展.但是就樣本空間的認識而言，學生的發(fā)展也并非一蹴而就的——它與學生組合知識的發(fā)展有關.數(shù)據(jù)表明，八年級學生“基于模糊的樣本空間”策略的使用頻率處于三個年級的最低水平，九年級學生該策略的使用頻率反而較該年級有明顯的提高.但總體而言，“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率是逐級提高的，且發(fā)展速度高于“基于模糊的樣本空間”.需要指出的是，學生的“等可能性偏見”在很大程度上源于其對樣本空間的模糊認識：以Q2為例，當認為所有可能的結果為“2個白球，2個黑球，1黑1白”這3種情況時，他們則傾向于認為“3種結果的可能性相等”.但數(shù)據(jù)表明，學生“等可能性偏見”的頻率一直居高不下且處于一個較高的水平，這也反映了學生組合推理發(fā)展的困難性和局限性.換言之，從“樸素的組合推理”到“精確的組合推理”是學生概率比較策略發(fā)展的一個大勢，但這個發(fā)展過程是曲折和緩慢的.

4 對概率教學的啟示

4.1 尊重策略使用的局限性和樸素性，關注錯誤策略的消除

學生的策略發(fā)展與其知識發(fā)展、思維水平、生活經驗等多重因素有關，他們早期使用的策略不可避免地存在一定的局限性和樸素性.研究表明，即便成人也難免表現(xiàn)出對概率的錯誤直覺和認識[6].因此，我們應充分尊重學生的認知局限性，在策略的運用上不可有過高的要求.盡管如此，我們還應致力于通過教學系統(tǒng)地干預并糾正他們的錯誤策略.研究表明，盡管策略的發(fā)展是“漸進”的，但教學干預能夠幫助他們更快擺脫錯誤認識而產生“突變”的效果[7].

4.2 把握策略發(fā)展的漸進性和競爭性，著力優(yōu)勢策略的培養(yǎng)

如前所述，策略的發(fā)展是一個競爭、替代并逐漸適應的漸進過程，最終的結果是優(yōu)勢策略的建立與鞏固.本文中“基于精確的樣本空間”策略是一種優(yōu)勢策略，盡管它的使用頻率基本是持續(xù)上升的，但在此過程中也不可避免地面臨著來自其他策略的競爭，因而其發(fā)展的過程是漸進的.例如，七年級時主導策略是“基于數(shù)量或比例關系”，八年級時的主導策略是“等可能性偏見”，“基于精確的樣本空間”與“基于數(shù)量或比例關系”策略的使用頻率基本平分秋色，九年級時“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率才發(fā)展到頂峰.另外，“基于精確的樣本空間”策略的發(fā)展還受到學生組合知識的影響，后者的局限不僅限制了其對樣本空間的理解，還是誘導“等可能性偏見”的原因之一.因此，教學應正視學生優(yōu)勢策略發(fā)展的曲折性和漸進性，著力加強學生對組合知識、樣本空間等概念的理解，讓學生優(yōu)勢策略的發(fā)展更加順利和穩(wěn)定.