陳 曉 周仕榮

(閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 363000)

1 前言

2017年，新修訂的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(下述簡稱為新課標(biāo))提出了六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).筆者注意到新課標(biāo)對于數(shù)學(xué)高考命題原則提出建議：“命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系，要充分考慮對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用.”并進(jìn)一步在考試命題路徑中建議：“對于每道試題，除了要給出傳統(tǒng)的評分標(biāo)準(zhǔn)外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).”可是高考命題如何處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系？如何充分考慮對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用？針對上述問題，新課標(biāo)提出了學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，即對學(xué)生在完成本學(xué)科課程學(xué)習(xí)后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)的總體刻畫，從情境與問題、知識與技能、思維與過程和交流與反思四個方面對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)進(jìn)行描述并將其劃分為三個水平”.故我們可以利用學(xué)業(yè)質(zhì)量水平這個新工具去分析近兩年的高考試題，具體從四個方面和三個水平去分析相關(guān)試題，觀察這兩年的試題反映了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的哪一種水平，并進(jìn)一步預(yù)測未來的高考命題趨勢和討論對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用.考慮到學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)主要是通過“概率與統(tǒng)計”這部分內(nèi)容知識進(jìn)行集中考查，且往年高考對于這部分知識考查要求相對簡單和考查類型相對穩(wěn)定，這里便選擇“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)去進(jìn)行分析和討論.故本文以2016-2017兩年高考理科數(shù)學(xué)全國卷的“概率與統(tǒng)計”相關(guān)試題為研究對象，從上述的四個方面和三個水平去分析相應(yīng)的試題，觀察近兩年“概率與統(tǒng)計”相關(guān)試題體現(xiàn)了“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的哪一種水平和進(jìn)一步討論未來高考關(guān)于“概率與統(tǒng)計”的命題趨勢，并討論對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用.

2 相關(guān)概念知識

2.1 “數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

數(shù)據(jù)分析，是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推理，獲得結(jié)論.數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法.數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)具體表現(xiàn)為學(xué)生通過課程的學(xué)習(xí)之后，提升獲取有價值信息并進(jìn)行定量分析的意識和能力，適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)的需要，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識，形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識事物的思維品質(zhì)；積累依托數(shù)據(jù)探索數(shù)據(jù)的本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗(yàn).

2.2 數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平

學(xué)業(yè)質(zhì)量，是指學(xué)生在完成本學(xué)科課程學(xué)習(xí)之后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn).而學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是以學(xué)科核心素養(yǎng)及其表現(xiàn)水平為主要維度，結(jié)合課程內(nèi)容對學(xué)生成就表現(xiàn)的總體刻畫.學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生自主學(xué)習(xí)與評價、教師教學(xué)活動與評價、教材編寫的指導(dǎo)性要求，也是相應(yīng)考試命題的依據(jù).數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，是指六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn).每一個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為三個水平，而這里的每一個水平都是通過四個方面進(jìn)行表述，即情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)和交流與反思：(1)情境與問題，其中情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，問題則是指在情境中提出的數(shù)學(xué)問題；(2)知識和技能，主要是指能夠幫助學(xué)生形成相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的知識和技能；(3)思維與表達(dá)，主要是指數(shù)學(xué)活動過程中反映的思維品質(zhì)、表述的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性；(4)交流與反思，主要是指能夠用數(shù)學(xué)語言直觀地解釋和交流數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、應(yīng)用和思想方法，并能進(jìn)行評價、總結(jié)與拓展.除此之外，新課標(biāo)的附錄1對“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的三個水平給出了具體表現(xiàn)的描述，分別為水平一、水平二、水平三.每一個水平均是通過上述的四個方面去進(jìn)行描述，而下面對于高考試題的分析主要是參考了新課標(biāo)的附錄1中對于“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分和附錄2中教學(xué)案例與案例評價的分析.

3 試題分析

表1 “概率與統(tǒng)計”在2016-2017兩年高考理科全國卷的題號分布情況

從表1看出，這里先對2016-2017年高考理科數(shù)學(xué)全國卷兩年的相關(guān)試題進(jìn)行編號、分類和分析，其中的相關(guān)試題指的是和概率與統(tǒng)計相關(guān)的試題，全國卷分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷三部分構(gòu)成，從表1可以看出，“概率與統(tǒng)計”的內(nèi)容知識基本是以一道客觀題(5分)加上一道解答題(12分)的固定模式去進(jìn)行考查，這里主要是分成客觀題和解答題兩部分進(jìn)行分析，以(年、卷)的形式來表示以上試題，如(17、Ⅰ)表示2017年全國高考數(shù)學(xué)理科全國卷Ⅰ中的題目.同樣，(16、Ⅱ)表示2016年全國高考數(shù)學(xué)理科全國卷Ⅱ中的題目,以此類推.

表2 (2016-2017年)高考理科數(shù)學(xué)全國卷客觀題的考查狀況分布

表2具體展示了“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的四個方面，觀察表格發(fā)現(xiàn)，從情境與問題來看，對于(16，Ⅰ)和(17，Ⅰ)這兩道題來說，16年是通過熟悉的現(xiàn)實(shí)情境來設(shè)計數(shù)學(xué)問題，17年則是通過特意設(shè)計的數(shù)學(xué)情境去設(shè)計數(shù)學(xué)問題.從知識與技能來看，這兩道題都是考查了幾何概型的知識點(diǎn)和運(yùn)用幾何概型去解決數(shù)學(xué)問題的技能，在思維與表達(dá)這方面來講，這兩道題反映了學(xué)生在體會概型模型思想之后并利用該模型思想進(jìn)行解決數(shù)學(xué)問題.

為了簡便，下面對于試題的分析直接從情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)這三個方面去進(jìn)行分析.(16，Ⅱ)和(17，Ⅱ)均是利用熟悉的現(xiàn)實(shí)情境去設(shè)計數(shù)學(xué)問題，主要是考查計數(shù)原理的分步乘法原理這個知識點(diǎn)和掌握運(yùn)用分步乘法原理去解決該數(shù)學(xué)問題的技能，同時反映了學(xué)生利用分類思想去解決復(fù)雜的計數(shù)問題.(16，Ⅲ)和(17，Ⅲ)這兩道題都是采用數(shù)學(xué)情境去設(shè)計數(shù)學(xué)問題，均考查了統(tǒng)計圖的識別和掌握從統(tǒng)計圖中獲取所需信息的技能，同時也反映了學(xué)生對統(tǒng)計模型思想的理解.從“交流與反思”來看，顯然從學(xué)生的卷面考查是無法體現(xiàn)“交流”這個過程，而按照“反思”的涵義，在做題的過程中其實(shí)有體現(xiàn)了“反思”這一個過程，比如將運(yùn)算之后的結(jié)果帶入題目中進(jìn)行驗(yàn)證，這種“回顧”過程便可稱之為反思，或者對于較為復(fù)雜的題目，在解決問題過程中反復(fù)對自己的解題策略進(jìn)行調(diào)整、運(yùn)用和再調(diào)整從而得到答案，這也可稱之為反思等等，從以上對“反思”的理解來看，這里認(rèn)為在上述題目的考查反映了“反思”這個過程.根據(jù)上述的描述和參考新課標(biāo)的附錄1中對于“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分，這六道客觀題可以劃分為“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平一.

表3 (2016-2017年)高考理科數(shù)學(xué)全國卷解答題的考查狀況分布

從表3中，首先可以看到這六道解答題均是基于現(xiàn)實(shí)情境里提出的數(shù)學(xué)問題.(16，Ⅰ)、(16，Ⅱ)和(17，Ⅲ)這三道解答題均是運(yùn)用離散型隨機(jī)變量去刻畫隨機(jī)對象，要求學(xué)生掌握求隨機(jī)變量的分布列和期望的方法，這類題目也反映了學(xué)生在一定程度上可以利用離散型隨機(jī)變量思想去描述和分析隨機(jī)現(xiàn)象.(16，Ⅲ)這道題目主要是考查學(xué)生對最小二乘法和線性回歸方程的相關(guān)知識和技能的掌握，同時也反映了學(xué)生可以利用統(tǒng)計模型去表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的思維過程.(17，Ⅰ)考查了學(xué)生對正態(tài)分布概型和求隨機(jī)變量的方差和均值等知識的理解，也反映了學(xué)生可以用概率模型去表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的思維過程.(17，Ⅱ)則考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與估計中位數(shù)的相關(guān)知識，并要求學(xué)生理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想并應(yīng)用于解決問題.在交流與反思上，和上述對客觀題的分析是一樣的，在考查過程中僅僅反映了“反思”這一過程.整體而言，根據(jù)上述描述和新課標(biāo)的附錄1中對于“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分，這六道題可以劃分為“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的水平二.

4 總結(jié)和討論

4.1 客觀題基本處于水平一，解答題基本處于水平二

根據(jù)上述對試題的分析和參考新課標(biāo)的附錄1中對于“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分得到以下結(jié)論：近兩年的六道客觀題的考查基本處于“數(shù)據(jù)分析”的水平一;近兩年的六道解答題的考查則基本處于“數(shù)據(jù)分析”的水平二.故整體而言，近兩年高考試卷關(guān)于“概率與統(tǒng)計”的命題難度基本可以達(dá)到“數(shù)據(jù)分析”的水平二.而之所以說是“基本”，則是因?yàn)閺闹R與技能方面去看，上述的解答題可以說達(dá)到了“水平二”狀態(tài)，但從客觀題和解答題這兩種題型的解題情況，無法確定學(xué)生是否在思維與表達(dá)這個方面上同樣達(dá)到“數(shù)據(jù)分析”的水平二.原因是無法確認(rèn)學(xué)生在解題過程中是否經(jīng)歷所考查的思維過程，可能僅是靠記憶和經(jīng)驗(yàn)去解決類似問題，又或者是通過一些所謂的“考試訣竅”——如對于選擇題，將選項答案代入題目進(jìn)行驗(yàn)證所得，這種做法顯然扭曲了命題人希望考查學(xué)生思維過程的最初想法，并且上述情況有可能助長消極教學(xué)的風(fēng)氣.

4.2 未來高考考查難度依然會以水平一與水平二為依據(jù)

從上述的結(jié)論中，可以發(fā)現(xiàn)往年“概率與統(tǒng)計”的高考試題難度基本達(dá)到“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平二，由于新課標(biāo)中的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平將“數(shù)據(jù)分析”劃分出三個水平，通常我們會有一個想法，既然新課標(biāo)提出了三個水平，是不是意味著未來高考命題將會出現(xiàn)處于“水平三”的試題？但根據(jù)新課標(biāo)的建議：“數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二是高考的要求，是數(shù)學(xué)高考的命題依據(jù)，學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的“水平三”則可用于大學(xué)自主招生的參考.”由于高考命題和考試大綱的制定均是以課標(biāo)為依據(jù)，我們可以預(yù)測：未來高考關(guān)于“統(tǒng)計和概率”方面的考查依然會處于“數(shù)據(jù)分析”的水平二.”但這里需要注意的是，新課標(biāo)提到：“對于每道試題，除了要給出傳統(tǒng)的評分標(biāo)準(zhǔn)外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).”基于該建議，高考命題組成員在未來的命題過程中就得從上述的四個方面去進(jìn)行綜合的考慮，進(jìn)而設(shè)計能反映“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)所需水平的高考試題.從4.1的結(jié)論來看，往年的試題僅僅是基本達(dá)到了“數(shù)據(jù)分析”的水平二，不夠充分.而新課標(biāo)明確提出利用上述的四個維度來綜合評價學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，故未來的高考試題難度則會傾向于從多個方面達(dá)到“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平二，即充分意義上的水平二.

4.3 設(shè)置開放題，綜合考查“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)

在上述對于解答題的分析當(dāng)中，我們只能根據(jù)學(xué)生的解題情況去判斷知識與技能這個方面上的水平，難以確定學(xué)生是否運(yùn)用了相應(yīng)水平的思維去解題，而上述也得到：未來的高考命題很有可能會從多個維度去綜合考查學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平.這里建議，設(shè)置合理的開放題，可以從答題情況和答題理由中觀察學(xué)生的思維和表達(dá)過程，顯然這種類型的命題形式可以從多個維度上綜合反映學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平，故筆者認(rèn)為未來的高考命題可能會出現(xiàn)這類型題目.但由于開放題是遵循滿意原則和加分原則進(jìn)行評分(達(dá)到測試的基本要求視為滿意，有所拓展或創(chuàng)新可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行加分)，由于這種評分方式往往會帶來評分的公平性問題，故命題時往往要考慮這類題目閱卷的公平性和可操作性.

4.4 設(shè)置綜合題，對不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合考查

前面提到未來的高考命題會趨向于從多個方面去綜合考查學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng).而這里講的不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合考查，則是指一道高考題目綜合考查了不同的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其中不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是指新課標(biāo)提出的六種數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

比如在一道估計總體性質(zhì)的題目中，用樣本空間的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征或性質(zhì)，是統(tǒng)計建模的基本思想和基本手法，既可以表現(xiàn)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平，也可以表現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平，像這道題目在考查了“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的同時，也考查了“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng).故筆者認(rèn)為，未來的高考命題可以對不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行綜合考查.

4.5 倡導(dǎo)積極教學(xué)，提升學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)

從上述的分析和討論中，我們可以看到近兩年高考關(guān)于“統(tǒng)計和概率”的考查難度可以說基本達(dá)到“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的水平二.照理說，相關(guān)試題的考查難度都不大，學(xué)生應(yīng)該可以很好把握這部分題目，然而考查情況卻不容樂觀，特別是不少同學(xué)反映難以理解“概率和統(tǒng)計”的思想和畏懼這部分課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從筆者看來，一方面是因?yàn)閷W(xué)生從小接受的內(nèi)容大多是確定性數(shù)學(xué)，所以學(xué)生習(xí)慣用確定性思維去理解不確定性數(shù)學(xué)內(nèi)容難免會出現(xiàn)思維混亂，另一方面是學(xué)生在“概率與統(tǒng)計”的教學(xué)中沒有很好地理解不確定思維和進(jìn)一步感受統(tǒng)計思想對現(xiàn)實(shí)生活的便利性.總而言之，上述情況啟示教師在關(guān)于“概率與統(tǒng)計”主題的教學(xué)中，要讓學(xué)生認(rèn)識到確定性數(shù)學(xué)和不確定性數(shù)學(xué)之間的差異，在新內(nèi)容的學(xué)習(xí)中理解并接受不確定性思維，并懂得運(yùn)用統(tǒng)計思想和概率模型思想去解決問題.其實(shí)早在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))中，就已經(jīng)意識到這個問題，并強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要讓學(xué)生了解統(tǒng)計方法的基本思想及其初步應(yīng)用，其理論基礎(chǔ)不作要求，避免單純記憶和機(jī)械套用公式進(jìn)行計算.新課標(biāo)提出通過四個方面去綜合評價學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)水平，實(shí)質(zhì)也是避免學(xué)生單純記憶和機(jī)械套用公式進(jìn)行計算，是進(jìn)一步對學(xué)生在思維與表達(dá)、交流與反思等方面提出具體的要求，這就要求教師在教學(xué)過程中要注意學(xué)生是否很好地理解了不確定性思維并初步運(yùn)用其相關(guān)思想去解決問題.新課標(biāo)明確提出，對于每一道試題，命題人除了要給出傳統(tǒng)的評分標(biāo)準(zhǔn)外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).從以上的分析，新課標(biāo)倡導(dǎo)積極教學(xué)，提升學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng).