許綺菲

(北京市第一七一中學(xué) 100013)

考題再現(xiàn)

設(shè)n為正整數(shù)，集合A={α|α=(t1，t2，…，tn)，tk∈{0,1}，k=1，2，…，n}．對于集合A中的任意元素α=(x1，x2，…，xn)和β=(y1，y2，…，yn)，記

(Ⅰ)當(dāng)n=3時，若α=(1，1，0 )，β=(0，1，1)，求M(α，α) 和M(α，β)的值；

(Ⅱ)當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α，β，當(dāng)α，β相同時M(α，β)是奇數(shù)；當(dāng)α，β不同時，M(α，β)是偶數(shù)．求集合B中元素個數(shù)的最大值；

(Ⅲ)給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α，β，M(α，β)=0．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．

標(biāo)準(zhǔn)答案

(Ⅰ)因?yàn)棣?(1，1，0 )，β=(0，1，1)，

(Ⅱ)設(shè)α=(x1，x2，x3，x4) ∈B，則M(α，α)=x1+x2+x3+x4，

由題意知x1，x2，x3，x4∈{0,1}，且M(α，α)為奇數(shù)，

所以x1，x2，x3，x4中1的個數(shù)為1或3．

所以B?{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．

將上述集合中的元素分成如下四組：

(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；

(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；

(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；

(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．

經(jīng)驗(yàn)證，對于每組中兩個元素α，β，均有M(α，β)=1，

所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素，

所以集合B中元素的個數(shù)不超過4，

又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}滿足條件，

所以集合B中元素個數(shù)的最大值為4．

(Ⅲ) 設(shè)Sk={(x1，x2，…，xn) | (x1，x2，…，xn)∈A，xk=1，x1=x2=…=xk-1=0，k=1，2，…，n)}，Sn+1={(x1，x2，…，xn)|x1=x2=…=xn=0}，

則A=S1∪S2∪…∪Sn+1．

對于Sk(k=1，2，…，n-1)中的不同元素α，β，經(jīng)驗(yàn)證，M(α，β)≥1，

所以Sk(k=1，2，…，n-1)中的兩個元素不可能同時是集合B的元素，

所以B中元素的個數(shù)不超過n+1．

取ek=(x1，x2，…，xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1，2，…，n-1) ，

令B={e1，e2，…，en-1}∪Sn∪Sn+1，則集合B的元素個數(shù)為n+1，且滿足條件，

故B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合．

解法研究

本題源于2元域上n維線性空間的內(nèi)積．題目的三個設(shè)問，難度逐步遞增，但本質(zhì)上環(huán)環(huán)相扣．第二問從第一問的事實(shí)和命題出發(fā)，將問題特殊化，在具體的數(shù)字計算中進(jìn)一步尋求規(guī)律，引發(fā)大膽猜想；第三問從特殊拓展到一般，推出抽象情況的結(jié)論．問題由簡入繁、前后銜接、逐步深入，試題考查學(xué)生抽象思維能力和創(chuàng)新解題能力，保持了北京數(shù)學(xué)試卷的新定義風(fēng)格．

題目第一問幫助學(xué)生加強(qiáng)對新定義的理解，通過讓學(xué)生計算當(dāng)n=3，α=(1，1，0 )，β=(0，1，1)時M(α，α) 和M(α，β)的值引導(dǎo)學(xué)生在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到靈感為后續(xù)工作鋪墊．

破解本題的關(guān)鍵是對題目中給出的如下新定義的本質(zhì)理解：

所以我們可以更通俗化地理解M(α，β)的定義：M(α，α) 記錄了α這個n元有序數(shù)組中為1的個數(shù)；M(α，β)記錄了α，β兩個有序數(shù)組中對應(yīng)項(xiàng)同時為1的項(xiàng)數(shù)．如α=(1，1，0 )中為1的項(xiàng)的個數(shù)為2個，則M(α，α)=2，當(dāng)β=(0，1，1)時，α，β兩個有序數(shù)組中對應(yīng)項(xiàng)同時為1的項(xiàng)有一個，則M(α，β)=1．在這一“計數(shù)”視角下冗長的定義變得“親切、自然”了．

下面在“計數(shù)”視角下解答第二問：

(Ⅱ)設(shè)α=(x1，x2，x3，x4) ∈B，由M(α，α)為奇數(shù)，得x1，x2，x3，x4中1的個數(shù)為1個或3個，所以B?{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)， (0，1，1，1)}．

將上述集合中的元素分成如下四組：

(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；

(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；

(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；

(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．

經(jīng)驗(yàn)證，對于每組中兩個元素α，β，有序數(shù)組中對應(yīng)項(xiàng)同時為1項(xiàng)數(shù)均有1個，即M(α，β)=1不合題意，所以上述四組每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素，集合B中元素的個數(shù)不超過4．

又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}滿足條件，所以集合B中元素個數(shù)的最大值為4．

我們再以這一視角詮釋第(Ⅲ)問：

(Ⅲ) 給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α，β，M(α，β)=0，即對于集合B中任意兩個元素α，β，有序數(shù)組中對應(yīng)項(xiàng)不能同時為1，即任取元素α=(x1，x2，…，xn)和β=(y1，y2，…，yn)，相應(yīng)的xi，yi不能同時為1．

集合A={α|α=(t1，t2，…，tn)，tk∈{0,1}，k=1，2，…，n}，將集合A中元素分為n+1個交集不全為空的集合：

P0：{(0，0，…，0)}；

P1：{(x1，x2，…，xn) |x1=1，x2，x3，…，xn∈{0,1}}；

P2：{(x1，x2，…，xn) |x2=1，x1，x3，…，xn∈{0,1}}；

…

Pn：{(x1，x2，…，xn) |xn=1，x1，x2，…，xn-1∈{0,1}}．

對于P1，P2，…，Pn這n個集合，由集合B任意兩個元素α，β，有序數(shù)組中對應(yīng)項(xiàng)不能同時為1，故每個集合至多取一個元素：

pi=(x1，x2，…，xn)∈Pi，x1=x2=…=xi-1=xi+1=…=xn=0，i=1，2，…，n，共有n個元素．

又(0，0，…，0)∈A，則集合B的元素個數(shù)最多為n+1個．

變式思考

在解法研究過程中，我們給新定義：

賦予一個學(xué)生容易理解的“計數(shù)”情境，在這一情境下使解法生動起來．

至此我們不禁聯(lián)想到2010年高考數(shù)學(xué)北京卷20題：

已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈{0,1}，i=1，2，…，n}(n≥2)，對于A=(a1，a2，…，an)，B=(b1，b2，…，bn)，

證明：(Ⅰ)?A，B，C∈Sn，有A-B∈Sn，且d(A-C，B-C)=d(A，B)；

(Ⅱ)?A，B，C∈Sn，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；

這個題目同樣有高等代數(shù)的背景，文[1]從“距離”等角度給出了一個不同于標(biāo)準(zhǔn)答案的解法．我們再從“計數(shù)”的角度思考如下：

(Ⅰ)設(shè)C=(c1，c2，…，cn)，關(guān)注三個有序數(shù)組中的對應(yīng)項(xiàng)ai，bi，ci∈{0,1}，當(dāng)ai，bi相同時，|ai-bi|=0，而ai-ci，bi-ci也相同，即|(ai-ci)-(bi-ci)|=0；當(dāng)ai，bi不同時，|ai-bi|=1，而ai-ci，bi-ci也不同，|(ai-ci)-(bi-ci)|=1．

從“計數(shù)”視角顯然d(A-C，B-C)=d(A，B)．

(Ⅱ)?A，B，C∈Sn，不妨設(shè)A與C這兩個有序數(shù)組中不同的對應(yīng)項(xiàng)的個數(shù)為p個，即d(A，C)=p，設(shè)B與C這兩個有序數(shù)組中不同的對應(yīng)項(xiàng)的個數(shù)為q個，即d(B，C)=q，若p，q中至少有一個為偶數(shù)則題設(shè)得證．當(dāng)p，q均為奇數(shù)時，若A、C這兩個有序數(shù)組中不同的對應(yīng)項(xiàng)與B、C這兩個有序數(shù)組中不同的對應(yīng)項(xiàng)沒有“重疊”，由ai，bi，ci∈{0,1}可知，A與B這兩個有序數(shù)組中不同的對應(yīng)項(xiàng)的個數(shù)為p+q個，顯然p+q為偶數(shù)，即d(A，B) 為偶數(shù)；若A與C這兩個有序數(shù)組中不同的對應(yīng)項(xiàng)與B、C這兩個有序數(shù)組中不同的對應(yīng)項(xiàng)有k個位置“重疊”，易知A、B這兩個有序數(shù)組中不同的對應(yīng)項(xiàng)的個數(shù)為p+q-2k個，即d(A，B) 為偶數(shù).命題得證．

以“計數(shù)” 這一學(xué)生較為熟悉的情境，行云流水般地解決了2018年20題與2010年20題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的優(yōu)秀品質(zhì)和較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

試題啟示

近年來，北京高考數(shù)學(xué)試卷注重加強(qiáng)對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查，特別是理科第20題因其知識起點(diǎn)低、背景深刻、思維靈活、知識面廣，一直以來受到中學(xué)師生的廣泛關(guān)注．北京卷20題雖然所涉及的數(shù)學(xué)背景有優(yōu)化理論、數(shù)論、高等代數(shù)等，但并不需要學(xué)生掌握超出課程標(biāo)準(zhǔn)要求之外的數(shù)學(xué)知識，考查的是學(xué)生通過中學(xué)階段數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，正確理解抽象的數(shù)學(xué)概念，在邏輯推理的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)符號化表征的能力．重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力等核心素養(yǎng)．

我們并不倡導(dǎo)通過奧數(shù)及AP先修課程學(xué)習(xí)去求解高考北京卷20題．教師在教學(xué)中注重與學(xué)生一起給抽象的問題創(chuàng)設(shè)一個較容易接受的情境，使學(xué)生在與教師共同探究的過程中對一些情境留有較為深刻的印象，在思維不斷碰撞中激勵學(xué)生，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)含在其中的思想方法．教師要努力創(chuàng)設(shè)生動活潑的問題情境，揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)生、發(fā)展過程，掌握其本質(zhì)，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，使學(xué)生看到題目后能邏輯連貫地、前后一致地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，并用較嚴(yán)謹(jǐn)有序的數(shù)學(xué)語言表述其思維過程，這是破解北京高考數(shù)學(xué)20題的基本策略．