張佳琪

摘 要：平面幾何的學(xué)習(xí)貫徹整個(gè)中學(xué)階段，凸n邊形作為平面圖形的一種占據(jù)了重要地位。對于平面圖形，我們最常探討的就是邊、角、對角線的各種規(guī)律。本文就凸n邊形對角線分割規(guī)律做一個(gè)簡單論述。

關(guān)鍵詞：凸n邊形 對角線 平面多邊形

引言

凸n邊形是多邊形的一種，判斷一個(gè)多邊形是否是凸n邊形只需要把該多邊形任意一條邊向兩邊無限延長，以這條直線為界限，如果該多邊形的剩余所有的邊都在直線的同一邊，那么我們就可以判斷這個(gè)多邊形就是凸n邊形。

一、凸n邊形對角線的條數(shù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將"推理能力"列為十大核心詞之一[1]，對于凸n邊形對角線的條數(shù)問題，下面我們運(yùn)用推理能力來一步步解決。對于任意一個(gè)凸n邊形，如何判斷其有多少條對角線。首先，根據(jù)學(xué)過的知識我們知道，從任意多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，不能和該頂點(diǎn)本身還有與這個(gè)頂點(diǎn)左右相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)做對角線，且凸n邊形一共有n條邊，n個(gè)頂點(diǎn)，故從凸n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能引出（n-3）條對角線，且n應(yīng)當(dāng)為大于等于3的自然數(shù)，因?yàn)榻M成一個(gè)多邊形至少應(yīng)當(dāng)有3條邊。又因?yàn)槊恳粭l對角線都連結(jié)了兩個(gè)頂點(diǎn)，所以每條對角線被重復(fù)計(jì)算了兩次，應(yīng)當(dāng)再除以2。最后我們得到關(guān)于凸n邊形的對角線條數(shù)結(jié)論：凸n邊形對角線的條數(shù)是f（n）=n（n-3）/2，且（ n≥3，n∈N）。

二、凸n邊形對角線的交點(diǎn)規(guī)律

2.世紀(jì)80年代初，圖論專家張忠輔教授在研究工作中提出了一個(gè)關(guān)于正N邊形對角線在圖形內(nèi)交于多少點(diǎn)的問題[2]。那么在一個(gè)正n邊形內(nèi)，如果它任何兩條對角線的交點(diǎn)都不重合，一共會有多少個(gè)交點(diǎn)呢？首先，在一個(gè)平面圖形內(nèi)，只有相交的兩條線段才會產(chǎn)生交點(diǎn)，如果一個(gè)凸n邊形對角線小于兩條，那顯然不會有對角線交點(diǎn)。而如果從一個(gè)凸n邊形任取四個(gè)頂點(diǎn)，把他們交叉連結(jié)，一定可以得到一個(gè)交點(diǎn)。換句話說，就是任何一個(gè)對角線交點(diǎn)，總是由兩條交叉的對角線組成，這兩條交叉線的四個(gè)端點(diǎn)必然是凸n邊形的頂點(diǎn)。所以要計(jì)算一個(gè)凸n邊形的對角線有多少個(gè)頂點(diǎn)，就是計(jì)算在凸n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)中，任意選取四個(gè)頂點(diǎn)，一共會有多少種不同的取法。這樣，一個(gè)幾何問題就轉(zhuǎn)化成了一個(gè)簡單的統(tǒng)計(jì)與概率問題。

三、凸n邊形對角線對圖形的平面分割

通過連結(jié)對角線，凸n邊形被劃分成了若干個(gè)區(qū)域，如何計(jì)算這些被對角線劃分的區(qū)域個(gè)數(shù)呢？

例：一個(gè)任意6邊形，頂點(diǎn)相連最多可以將該6邊形劃分成多少個(gè)區(qū)域？

解析：當(dāng)n=6時(shí)這個(gè)凸多邊形一共有9條對角線，首先將每間隔一個(gè)頂點(diǎn)的6條對角線相連結(jié)，即連結(jié)對角線AC，BD，CE，DF，EA，F(xiàn)B，此時(shí)，6條對角線將在整個(gè)6邊形中間隔成一個(gè)小的6邊形（圖一），然后將每間隔2個(gè)頂點(diǎn)的對角線連結(jié)起來，得到對角線AD，BE，CF，這三條對角線兩兩相交并將圖形中的小6邊形分成了7個(gè)區(qū)域（圖二）。且內(nèi)外兩個(gè)6邊形之間的區(qū)域部分共有4×6-6個(gè)區(qū)域，所以一個(gè)任意凸6邊形的對角線把該6邊形一共劃分成了7+4×6-6=25個(gè)內(nèi)部區(qū)域。

其次，我們再討論一下特殊情況，當(dāng)這個(gè)凸6邊形是正6邊形時(shí)，那么將間隔一個(gè)頂點(diǎn)的6條對角線相連結(jié)，得到圖三。再將間隔兩個(gè)頂點(diǎn)的3條對角線相連結(jié)，得到圖四，此時(shí)就會發(fā)現(xiàn)與任意6邊形劃分情況不同的是，正6邊形的對角線AD，BE，CF相交于一個(gè)點(diǎn)0，且整個(gè)6邊形一共被劃分成了6+4×6-6=24個(gè)內(nèi)部區(qū)域。

通過該例題，我們得到的結(jié)論是，凸n邊形的對角線并非都是兩兩相交的，同一個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的間隔大于2的兩條對角線若是相交，相交一條線就會多分割出來一個(gè)區(qū)域。且想要在圖形內(nèi)劃分出來的區(qū)域最多，那么在凸n邊形內(nèi)部就不應(yīng)當(dāng)存在≥3條的對角線相交與同一點(diǎn)，只有所有對角線都排除3條及3條以上的對角線相交于一點(diǎn)的情況，所劃分出的區(qū)域才是最多的。

結(jié)語

在解決復(fù)雜問題時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)將學(xué)過的知識歸納總結(jié)起來，根據(jù)這些知識的特點(diǎn)加以綜合應(yīng)用，這樣才能在碰到復(fù)雜疑難的問題時(shí)一步一步將問題解答清楚。

參考文獻(xiàn)

[1]虞抒卉.培養(yǎng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性歸納總結(jié)能力——以“多邊形的對角線”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師.2018（Z1）.

[2]楊之.近年中國初等數(shù)學(xué)研究的若干新成果[J].數(shù)學(xué)通訊.1994.