☉江蘇省南通中學(xué) 李維堅(jiān)

函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)的重要問題之一，其求解方法很多.近幾年，函數(shù)解析式中含有二次根式，并求其最值的問題層出不窮.一般可采用分子（分母）有理化、平方、換元（包括三角換元，雙變量換元）、配方、導(dǎo)數(shù)、均值不等式、柯西不等式、數(shù)形結(jié)合、判別式法，構(gòu)造法（向量法構(gòu)造、幾何圖形構(gòu)造）等各種方法來解決形如等含二次根式的函數(shù).其中（fx），g（x）多以一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等形式給出.以上方法靈活解決這些函數(shù)時(shí)，無出其右.而當(dāng)這類函數(shù)中含參，已知函數(shù)最值，逆向求參數(shù)范圍時(shí)，思維角度就更廣更多樣.下面就以一道高考模擬題舉一隅而反三隅.

導(dǎo)數(shù)的引出和定義始終聯(lián)系著函數(shù)的思想，涉及數(shù)學(xué)中多種思想方法，同時(shí)又是銜接初、高等數(shù)學(xué)的橋梁，它的出現(xiàn)為解決一些數(shù)學(xué)問題提供了新的視野.導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛應(yīng)用，而導(dǎo)數(shù)又是一種特殊的函數(shù)，對加深函數(shù)的理解和直觀認(rèn)識有重要作用，所以在處理函數(shù)的單調(diào)性、圖像、凹凸性與拐點(diǎn)、極值與最值、參數(shù)等問題時(shí)作用尤為顯著.應(yīng)用傳統(tǒng)的定義法和圖像法解決這類函數(shù)問題，雖然比較突出本質(zhì)，但是若問題中函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，會(huì)加大解題者的壓力，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理則有清晰的解題思路，具有解題效率高的特點(diǎn).特別當(dāng)面對奇怪難看的函數(shù)，只要克服運(yùn)算上的畏難心理，不要畏縮不前，那么這個(gè)問題用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具還是可以化解的.

策略二、均值不等式

易知a>0，a≠1，且（fx）是定義域上的奇函數(shù)，其值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以

本題結(jié)合平方化方法，利用基本不等式局部處理變量的最值，起到了撥開云霧見晴天的作用.均值不等式在求最值，比較大小，逆向求參數(shù)的范圍，證明不等式等方面有廣泛的應(yīng)用.解題的突破口在于如何湊出定值——積定和最小，和定積最大.

策略三、構(gòu)造法之幾何圖形

設(shè)∠BAD=α，∠CAD=β.

因?yàn)?S△ABC=CB·AD=AB·ACsin∠BAC≤AB·ACsin90°，所以當(dāng)且僅當(dāng)α，β互余，即時(shí)，取等號.

一些代數(shù)問題，用代數(shù)方法求解很麻煩，甚至一時(shí)不知從何處著手.若我們通過觀察發(fā)現(xiàn)問題條件的數(shù)量關(guān)系有著明顯的幾何意義或可將該問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，這時(shí)我們就可以借助幾何圖形的性質(zhì)，從而使問題得到解決.由上面的例子我們可以看出，構(gòu)造法具有很大的靈活性和技巧性，它是多種思維方式滲透、連貫、融會(huì)的產(chǎn)物.我們解題時(shí)不是胡思亂想瞎構(gòu)造，而是依據(jù)數(shù)量關(guān)系所賦予的幾何特征而構(gòu)造出不同的幾何模型的.用構(gòu)造法解題有利于學(xué)生打破思維定勢，激發(fā)創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，提高學(xué)生分析、解決問題的能力.

策略四、構(gòu)造法之向量

一般來說，由根式的結(jié)構(gòu)形式可以聯(lián)想到距離、模長等，不難發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)與向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式特別相似，且注意到與x的平方和為常數(shù)，所以考慮構(gòu)造向量來解題.當(dāng)然向量的|m·n|≤|m||n|這個(gè)不等式其實(shí)是柯西不等式的二維形式，所以本題直接用柯西不等式也是一樣的.

當(dāng)遇到一些比較抽象的題目，一時(shí)難以下筆時(shí)，不妨考慮一下它能否在已學(xué)習(xí)的具象化概念或者我們的生活中找到原型，將問題放到我們構(gòu)造的熟悉的數(shù)學(xué)模型或者實(shí)際環(huán)境中去研究，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡單，從而達(dá)到解題的最終目的.

“構(gòu)造法”是指為解決某個(gè)數(shù)學(xué)，利用知識間內(nèi)在聯(lián)系或是形式上的某種相似性，先構(gòu)造一種數(shù)學(xué)形式（比如幾何圖形、代數(shù)式），尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系，使之簡單明了，起到簡化、轉(zhuǎn)化和橋梁的作用，從而找到解決問題的思路與方法.它重在“構(gòu)造”，深刻分析、正確思維和豐富聯(lián)想，它體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想，滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括等重要方法，是一種富有創(chuàng)造力的解決問題的方法.

策略五、化歸為二次函數(shù)的判別式法

某些極端情況下可將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過一步步變形，可以采用分離參數(shù)的方法或者當(dāng)參變糾纏不清時(shí)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立問題，利用判別式法逆向問題正向求解，對于本題而言，思維含量不大，但是有一定的計(jì)算量.

判別式法求函數(shù)的值域是易于理解的，但是當(dāng)題目中x的限制條件太多時(shí)，會(huì)陷入復(fù)雜的分類討論中.但是這種比較初等的方法在解決一些填空題的怪題時(shí)雖略顯簡單粗暴但確實(shí)有奇效.

多角度解題是開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的一種行之有效的方法，它對溝通不同知識間的聯(lián)系，開拓思路，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣都十分有益.在教學(xué)中，恰當(dāng)而又適量的采用一題多解的方法，進(jìn)行思路分析，探討解題規(guī)律和對習(xí)題的多角度追蹤，能以少勝多的鞏固基礎(chǔ)知識，提高分析問題和解決問題的能力，掌握基本的解題方法和技巧，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)精神.