☉安徽省臨泉一中 張凱華

解三角形主要通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡(jiǎn)單三角形度量問題及一些與測(cè)量和計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.該部分是每年高考中的基本考點(diǎn)之一，大都運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多，這就要求我們不僅具有較高的運(yùn)算水平、較強(qiáng)的運(yùn)算能力和較大的記憶能力，還應(yīng)善于審題，采用相應(yīng)的策略，優(yōu)化過程.特別對(duì)于解三角形中的最值問題，備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點(diǎn)題型.下面結(jié)合一道三角形面積的最值題加以多解剖析.

例題在△ABC中，若AB=1，tanB=2tanC，則△ABC面積的最大值是______.

分析：本題給出三角形的一邊AB=c=1，以及角B，C的正切值的三角關(guān)系式，解決問題的關(guān)鍵就是如何把關(guān)系式tanB=2tanC加以巧妙轉(zhuǎn)化，可以利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、直角三角形中的邊角關(guān)系等加以轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為涉及三角形的相關(guān)邊以及角的正弦值或余弦值，再代入三角形的面積公式，利用基本不等式法、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)法等來確定對(duì)應(yīng)的最值即可，進(jìn)而達(dá)到求解問題的目的.

結(jié)合題目條件tanB=2tanC轉(zhuǎn)化為正、余弦的關(guān)系式，結(jié)合正弦定理與余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，得以確定再由條件和余弦定理求出cosB，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得sinB的值，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)a的關(guān)系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法1：由tanB=2tanC，可得則有sinBcosC=2cosBsinC.

而由余弦定理可得：

根據(jù)條件過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，引入?yún)?shù)h=AD，把BD表示成h的關(guān)系式，同時(shí)利用條件把BC也表示成h的關(guān)系式，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)h的關(guān)系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法2：過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，設(shè)AD=h，則知0＜h＜1.

根據(jù)條件過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，把AD、BC表示成角B的三角關(guān)系式，同時(shí)利用條件把CD也表示成角B的三角關(guān)系式，代入三角形的面積公式，結(jié)合二倍角公式，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最值即可.

解法3：如圖1，過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D.

而AB=c=1，

可得AD=sinB，BD=cosB.

根據(jù)條件過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，引入?yún)?shù)x=BD，把AD表示成x的關(guān)系式，同時(shí)利用條件把CD也表示成x的關(guān)系式，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)x的關(guān)系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法4：如圖2，過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，而AB=c=1，設(shè)BD=x，則知0＜x＜1.

結(jié)合題目條件tanB=2tanC轉(zhuǎn)化為正、余弦的關(guān)系式，結(jié)合兩角和的正弦公式加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，同時(shí)利用三角形的內(nèi)角和公式與誘導(dǎo)公式加以轉(zhuǎn)化得到sinA=3cosBsinC，結(jié)合正弦定理轉(zhuǎn)化為a=3cosB，代入三角形的面積公式，結(jié)合二倍角公式，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最值即可.

解法5：由tanB=2tanC，可得

則有sinBcosC=2cosBsinC，

可得sinBcosC+cosBsinC=3cosBsinC，

即sin（B+C）=3cosBsinC，亦即sinA=3cosBsinC，

結(jié)合正弦定理可得a=3ccosB=3cosB（c=AB=1）.

點(diǎn)評(píng)：在解決三角形問題中，比較常見的思維方法就是正弦定理與余弦定理，這也是解決此類問題的典型方法.而涉及三角形的面積的最值問題，關(guān)鍵是通過代數(shù)運(yùn)算，將幾何模型代數(shù)化，利用正弦定理、余弦定理、三角相關(guān)公式等來轉(zhuǎn)化與解題，利用基本不等式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等來確定最值問題.

通過從多個(gè)不同角度來處理，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生所言：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”