☉江蘇省宜興第一中學(xué) 陳 達(dá)

概念與正確命題的邏輯體系是數(shù)學(xué)在人們面前的最終展現(xiàn)，由此可見，嚴(yán)密論證在數(shù)學(xué)學(xué)科中是當(dāng)仁不讓的中心，不過，我們也不難發(fā)現(xiàn)圍繞猜想性命題的數(shù)學(xué)活動(dòng)始終指向了提出證明和進(jìn)行“證偽”這兩個(gè)方向.數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)方法論從不同角度對(duì)前一個(gè)方向都進(jìn)行了大量的研究并獲得了很多成果，相對(duì)而言，后一個(gè)方向的研究卻是比較鮮見的.事實(shí)上，“證偽”這一否定性思維能夠有效幫助學(xué)生科學(xué)超越自身并因此獲得新的生長點(diǎn)與突破口.

一、“證偽”思想的概述

1.來源和特點(diǎn)

證偽主義科學(xué)觀是英國哲學(xué)家卡爾·波普爾提出并發(fā)展起來的，他認(rèn)為“提出假說——證偽——再提出假說——再證偽……”這一不斷循環(huán)的過程正是科學(xué)接近真理的道路，不僅如此，他還歸納了證偽主義的兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：（1）經(jīng)驗(yàn)具備一定的個(gè)別性，但科學(xué)理論卻是一個(gè)全稱判斷的準(zhǔn)確表達(dá)，經(jīng)驗(yàn)可以用于科學(xué)理論的證偽；（2）證偽主義使人相信所有的科學(xué)都是一種猜測與假說并能避免對(duì)錯(cuò)誤理論的辯護(hù)與教條.

2.“證偽”思想在解題中的運(yùn)用

人們大膽提出假說與猜測并尋找和這一假說不符合的事例的方法就是證偽主義經(jīng)常采用的試錯(cuò)法.“證偽”思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)解題中一般遵循下圖中的流程.

二、“證偽”思想的運(yùn)用價(jià)值

1.促進(jìn)學(xué)生基本概念的掌握

反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的概念是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理與法則的邏輯基礎(chǔ)，如何提升概念教學(xué)的效果是所有數(shù)學(xué)教師都非常關(guān)注的難題，數(shù)學(xué)概念的“證偽”進(jìn)程對(duì)于概念掌握具有積極的意義.

案例1：概率的學(xué)習(xí).

教師在概率這一概念的教學(xué)中可以舉出相關(guān)內(nèi)容的正例以及容易與這一概念產(chǎn)生混淆的概念，使學(xué)生在進(jìn)行“證偽”過程中對(duì)概念外延的關(guān)鍵詞形成更好的理解.比如：①所有頻率的平均值就是概率值；②當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)夠大時(shí)，所有頻率的平均值就是概率值；③當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)夠大時(shí)，所有頻率的近似值就是概率值；④當(dāng)次數(shù)n→+∞時(shí)，頻率趨近的常數(shù)就是概率值.引導(dǎo)學(xué)生在這些實(shí)例中進(jìn)行辨析、比較，并因此對(duì)概念、概念的適用對(duì)象與范圍形成真正的理解.

2.促進(jìn)學(xué)生推理能力的提高

人們在學(xué)習(xí)與生活中經(jīng)常會(huì)使用推理和證明這兩個(gè)基本的思維方式，“證偽”思想的應(yīng)用能夠更好地鍛煉學(xué)生的推理能力.

案例2：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明任何兩個(gè)正整數(shù)都相等.

證明：設(shè)An表示命題：若a、b為任意兩個(gè)正整數(shù)，令max（a，b）=n，則a=b.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題A是真的，因若max（a，b）=1，a、b又均為正整數(shù)，故最大值是1，只能是a=b=1.

（2）假設(shè)命題Ak為真，設(shè)max（a，b）=k時(shí)，a=b為真（a、b為正整數(shù)），

考察兩個(gè)整數(shù)：α=a-1，β=b-1， ①

由于式子max（a，b）=k+1， ②

與max（a-1，b-1）=k， ③

明顯是等價(jià)的，即如果a、b的最大值是（k+1）的話，則（a-1）和（b-1）的最大值明顯就是k.因此，由①式得max（α，β）=max（a-1，b-1）=k.

而根據(jù)歸納法假設(shè)Ak為真，則得α=β.即（a-1）=（b-1），故a=B.但因?yàn)棰诤廷鄣牡葍r(jià)性，則證得Ak+1為真.

由（1）（2）可知，對(duì)一切自然數(shù)r，Ar為真，對(duì)特殊的n，An為真，因此有a=b.很多學(xué)生并不能一眼發(fā)現(xiàn)其中隱匿的問題，但也明白其中是有差錯(cuò)的，經(jīng)過仔細(xì)檢查與討論之后很快可以發(fā)現(xiàn)假設(shè)α=a-1、β=b-1時(shí)，α、β是包含零的，但要證明的起始數(shù)為1，問題也就凸顯出來了.

3.幫助學(xué)生校正問題的分析

波利亞強(qiáng)調(diào)過中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練這一觀點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)也明確提出了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力這一具體的要求.

案例3：二次函數(shù)（fx）=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），且對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，求函數(shù)（fx）的解析式.

參考答案：對(duì)x∈R，均有故可設(shè)x、為數(shù)軸上的三點(diǎn)，（fx）分x所成的比是λ（λ≥0），根據(jù)定比分點(diǎn)公式可得：

一部分學(xué)生在課余仍對(duì)此題的新穎思路驚艷不已并產(chǎn)生了這一解法是否為此類問題的普遍解法的思考.筆者趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此進(jìn)行了討論，大家很快發(fā)現(xiàn)這一解題具備一定的合理成分，最后的答案也與題目中的條件相吻合，不過并不能代表此題只有②這一個(gè)解，相對(duì)來說，有一定的失根風(fēng)險(xiǎn)，此題的唯一解也只是一種巧合.

筆者適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用反例來對(duì)這一問題進(jìn)行了驗(yàn)證，具體如下：

反例：二次函數(shù)（fx）=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），且對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，求函數(shù)（fx）的解析式.

評(píng)注：②式很明顯也是這一反例的解，不過類似的定比分點(diǎn)卻難以求出.

因?yàn)楦鶕?jù)上述解法可解得此題的答案為：

②、③兩式雖有不同但卻都符合題意，不僅如此，滿足條件的解還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這兩個(gè).另外，如果將反例中的點(diǎn)（-1，0）改成（1，1），運(yùn)用之前的解法是無法求出（fx）的，但②式明顯是符合條件的，由此可見，上述解法在邏輯上是存在一定漏洞的.

4.催化學(xué)生的思維創(chuàng)新

數(shù)學(xué)教學(xué)自然包含培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維這一重要的課題，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知并鼓勵(lì)創(chuàng)新也就變得尤為重要了，創(chuàng)設(shè)情境并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索性問題訓(xùn)練、提出命題、改變命題、嘗試多種解題都是促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知并獲得思維創(chuàng)新鍛煉的良好途徑，“證偽”思想在鍛煉學(xué)生創(chuàng)新思維的過程中也是極有意義的.

案例4：已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)之和，求證：S7，S14-S7，S21-S14成等比數(shù)列.

這是一節(jié)公開課上的例題，執(zhí)教老師在此題的解決上運(yùn)用了兩種方法并對(duì)學(xué)生提問：“能不能不改變題目的前提并將其一般化，問：如果k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k是否成等比數(shù)列呢？”

大部分的學(xué)生面對(duì)這一問題毫不猶豫：“成立！”

執(zhí)教老師：“如何解決這一問題呢？”

有學(xué)生踴躍舉手，但執(zhí)教老師感覺上課的主題還未接觸，唯恐學(xué)生的解題會(huì)耽誤課堂教學(xué)的進(jìn)程而稍有猶豫，但很快考慮到學(xué)生積極性與探求欲望的保護(hù)便請?jiān)搶W(xué)生進(jìn)行了解題描述.

該生表達(dá)比較清晰：“我認(rèn)為這三項(xiàng)不一定能成等比數(shù)列，比如以下數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，…是等比數(shù)列，不過S2=S4-S2=S6-S4=0卻不是等比數(shù)列！”

執(zhí)教老師和學(xué)生對(duì)該生的發(fā)言都很驚訝，教師對(duì)于該生的精彩發(fā)言進(jìn)行了鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生嘗試反例的列舉，學(xué)生經(jīng)過一定的討論之后仍未有所收獲，執(zhí)教老師于是給出了自己的想法：“老師倒是有一個(gè)反例，不過同學(xué)們的知識(shí)水平或許有點(diǎn)跟不上，不過有興趣的同學(xué)在課后可以嘗試著琢磨琢磨.”例子如下：

等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1=1，公比但S7=S14-S7=S21-S14=0，因此，此時(shí)S7，S14-S7，S21-S14也不是等比數(shù)列.

總之，“證偽”思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用能夠更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的探求，不過，也不是所有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都必須運(yùn)用這一思想，教師在一些較難掌握、容易混淆、容易造成迷惑的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中可以將“證偽”思想的實(shí)踐運(yùn)用引進(jìn)課堂，以促成學(xué)生更好地掌握知識(shí).