☉江蘇省宜興市和橋高級中學(xué) 杜 健 張 菁

一、引言

很多學(xué)生往往在講過多次、練過多次的題目上還會失分，細(xì)細(xì)想來，這應(yīng)該是學(xué)生對諸多解題之法并沒有真正理解與掌握的緣故，思及至此.筆者不禁對自己的解題教學(xué)進(jìn)行了回憶與審視，對一些過于形式化、解析化的解法進(jìn)行了新的思考.本文結(jié)合實際例題對追求形式化的技巧到尋求直觀上的解法這一理解加深的過程進(jìn)行了新的審視.

二、樣例

集中體現(xiàn)教材與學(xué)生認(rèn)知水平之間矛盾與沖突的范例更加容易引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生在濃厚的興趣中獲得關(guān)于事物關(guān)系的經(jīng)驗并認(rèn)識到更加抽象或概括性的規(guī)律.

問題1A，B兩地是鐵路線上相距100km的一個路段，工廠C與A處相距20km，AC⊥AB，為了節(jié)約運(yùn)輸過程中的時間，現(xiàn)在AB線上選定一點D并從D處修出一條直通工廠的公路，鐵路上貨運(yùn)與公路上貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比是3∶5，從B處運(yùn)貨到工廠C點運(yùn)費(fèi)最少的話應(yīng)將D點選在何處？

評析：設(shè)AD=xkm，則設(shè)鐵路貨運(yùn)費(fèi)用為3k/km，公路貨運(yùn)費(fèi)用為5k/km，則運(yùn)費(fèi)為其中0≤x≤100，然后對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)并取極值求得函數(shù)的駐點，即為D點的位置.這是比較常見的，另外還能引入三角變換，設(shè)x=20tanθ，由0≤20tanθ≤100，得出則300，處理需用這一“二合一公式”，不過學(xué)生對這一公式的運(yùn)用往往不很熟練，學(xué)生對這一解法所隱含的意義也不能很好了解.因此，教師可以引領(lǐng)學(xué)生對一些富含深刻意義的直觀解法進(jìn)行探尋和理解.

解法1（折算法）：如圖1，E是C關(guān)于AB的對稱點，鐵路貨運(yùn)與公路貨運(yùn)之比是3∶5，因此可以理解成鐵路貨運(yùn)5km的費(fèi)用花在公路貨運(yùn)上只能走3km，則鐵路DB段費(fèi)用折算成陸地DF上費(fèi)用有總費(fèi)用則為y=5k·CD+3k·DB=5k（CD+DF），求出點C到直線BE的距離即為費(fèi)用的最小值.此時C、D、F三點共線且CD⊥BE，則有

解法2（物理解法）：光線在光學(xué)介質(zhì)中從A點至B點所走的實際路程是連接A，B兩點的所有曲線中最短的，光線自動選擇光程最短路徑進(jìn)行傳播的光行最速原理也可以用于本題的解決.將陸路上、鐵路上的運(yùn)輸與光行最速原理結(jié)合起來思考，借助c=vn（c代表光在真空中的光速，v代表光在折射率是n的介質(zhì)中的傳播速度）這一公式，將“費(fèi)用”看成為速度，則“一定的費(fèi)用”即可看成為光速，則鐵路每公里的費(fèi)用3k與公路每公里的費(fèi)用5k即相當(dāng)于光在其中的速度分別為3k和5k，從公路到鐵路的運(yùn)輸也就相當(dāng)于光線從某一介質(zhì)到另一介質(zhì)所發(fā)生的全折射.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)很多時候需要這一直觀解決問題的方法起到一定的支撐與指導(dǎo)作用，2003年的全國高考數(shù)學(xué)理科卷以及2007年的湖南高考數(shù)學(xué)理科卷就重復(fù)出現(xiàn)類似的問題，對當(dāng)時的考生都造成了較大的困擾.

不過，我們從上述兩種直觀解法上也不難看到數(shù)學(xué)形式化技巧背后所隱藏的豐富含義.數(shù)學(xué)形式化、符號化之后的豐富含義一旦得到揭示，數(shù)學(xué)理論與其他自然學(xué)科之間的有機(jī)聯(lián)系便能夠更好地展露出來，數(shù)學(xué)理論的普適性與有機(jī)統(tǒng)一才能在更有意義的范疇內(nèi)獲得統(tǒng)一.

問題2已知圓盤x2+y2≤a2，求其繞x=-b（b＞a＞0）旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積是多少？

評析：此題的形式化解法共有兩種，一是將兩個旋轉(zhuǎn)體的體積看成為這兩條曲線繞x=-b所旋轉(zhuǎn)成的幾何體的差，即另一解法是將該幾何體看成為“面”旋轉(zhuǎn)而成的，根據(jù)對稱性可考慮圓的上半部，則該旋轉(zhuǎn)體的上半部即可看成為很多形如圖3中DEGF的“面”旋轉(zhuǎn)積累而成的幾何體.假設(shè)點E的橫坐標(biāo)是x，EG=dx，則體積微元近似于

這是微積分在幾何中的應(yīng)用，那么此題的解決可有直觀化的解法嗎？

解：x2+y2≤a2的圓盤面繞直線x=-b旋轉(zhuǎn)一周形成了一個幾何體，其環(huán)圓心O繞直線x=-b旋轉(zhuǎn)則形成了一個周長為2πb的圓周.采取一定方式將環(huán)切開能夠得到一個直圓柱體，其底面積是πa2，高是2πb，則該直圓柱體的體積為πa·2（2πb），即該環(huán)的體積為2π2a2b.

這是一個開普勒在微積分發(fā)展之初就思考過的問題，開普勒的想法是運(yùn)用無數(shù)同維無限小元素的和對曲邊形面積、旋轉(zhuǎn)體體積進(jìn)行確定，不僅如此，開普勒將球的體積也看成為無數(shù)頂點在球心的小圓錐的體積之和，球面的一部分可以看成是底面積，則球的體積能夠看到形式背后的直觀才意味著解題者掌握這一知識已經(jīng)達(dá)到熟練化、深度理解的層面.

問題3若ξ～B（n，p），則Dξ=npq，q=1-p.

評析：二項分布方差的推導(dǎo)在一般的概率統(tǒng)計教材中都有呈現(xiàn)，有的推導(dǎo)過程相對來說稍微復(fù)雜一些，以下推導(dǎo)法是一種比較簡單的方法.在兩邊同時對x求導(dǎo)，有兩邊同乘以x可得對上式中的x同時進(jìn)行求導(dǎo)，有令x=p，有Eξ2-（Eξ）2=npq.這一推導(dǎo)法在計算上的量顯然更小一點，不過，大多學(xué)生并不容易想到這一方法，但很多復(fù)雜事件都可以理解成眾多系列性的基礎(chǔ)事件的組合，因此，在具體的解題操作中完全可以將簡單事件的性質(zhì)聯(lián)系起來并以此為基礎(chǔ)來把握復(fù)雜事件所具備的性質(zhì)，以簡馭繁的解題目的也就更加容易達(dá)成了.

解：假如隨機(jī)變量ξ～B（n，p），因此可以將ξ看成n重貝努里試驗中事件A所出現(xiàn)的次數(shù)，將A每次在試驗中出現(xiàn)的概率假設(shè)為p，則可以令在第i次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)ξi為1，令在第i次試驗中A不出現(xiàn)的次數(shù)ξ1為0，則ξ1（1≤i≤n）為服從0-1分布的隨機(jī)變量，所以另一方面則

這一分解合成法和力的分解合成相比顯現(xiàn)出了異曲同工的巧妙之處，事件的分解合成、線性微分方程解的構(gòu)造、數(shù)論中孫子定理的推導(dǎo)、某些不等式的證明、拉格朗日插值公式等內(nèi)容都可以運(yùn)用這一方法.

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)家懷特尼曾經(jīng)提倡大家對工作的研究應(yīng)盡量自然，我們在具體問題的解決中也應(yīng)該力求自然和直觀.背景、圖像等給人的感覺相對都更加直觀，值得注意的是，“圖像”并不一定就是我們通常聯(lián)想的具體畫面，很多概念的心理成像能力也包含在“圖像”的范疇之中，此處所說的心理成像能力即為解題者將某一事物想像成為其他事物或其他樣子的能力.事物復(fù)雜性的圖形得到具體有效的展露，學(xué)生對于具體事物所包含的概念才能形成充分的理解.由此可見，從某種意義來講，對所要學(xué)習(xí)或研究的事物的思考想象能力也是“圖像”的一種具體體現(xiàn).概念與事實在這一方式的展露中變得不再是外在于人的存在，學(xué)生通過心理成像便能夠更好地發(fā)揮出數(shù)學(xué)思考與想象的創(chuàng)造力.“真實的概念意味著能夠呈現(xiàn)客觀事物復(fù)雜性的圖像”，這一維果茨基的名言對于我們高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐來說存在著相當(dāng)深遠(yuǎn)的含義，我們在實際教學(xué)中應(yīng)不斷研究復(fù)雜問題的直觀化解法以幫助學(xué)生在化簡馭繁的解題中真正理解知識.