☉江蘇省啟東市第一中學(xué) 朱海林

平面向量數(shù)量積是平面向量的重要知識(shí)之一，也是近年高考試卷中常見常新的考點(diǎn)之一，常見的類型是數(shù)量積的確定、最值的求解等.解決平面向量數(shù)量積的關(guān)鍵在于向?qū)崝?shù)轉(zhuǎn)化的過程，其轉(zhuǎn)化過程是解決問題的重中之重.本文就平面向量數(shù)量積的常見解題策略加以實(shí)例剖析，供大家參考.

一、定義法

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，平面向量a與b的數(shù)量積a·b=|a||b|cosθ，其中θ為向量a與b的夾角，θ∈［0，π］.

例1 （2017·全國(guó)Ⅰ理·13）已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=______.

分析：結(jié)合題目條件，通過關(guān)系式|a+2b|的平方展開，結(jié)合平面向量的模運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，利用定義法來轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的關(guān)系式的模問題.

解：由于|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，則有

點(diǎn)評(píng)：涉及平面向量數(shù)量積的問題中已知向量a與b的?；驃A角時(shí)，往往采用定義法來轉(zhuǎn)化比較簡(jiǎn)捷快速.特別需要注意的是尋找兩個(gè)向量a與b的夾角θ時(shí)，要使得向量a與b的起點(diǎn)相同.

二、投影法

平面向量數(shù)量積a·b=|a||b|cosθ的幾何意義是其中一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一個(gè)向量在其方向上的投影，即a·b=|a|（|b|cosθ）或a·b=|b|（|a|cosθ），結(jié)合向量的投影找聯(lián)系來轉(zhuǎn)化.

例2 如圖1，O為以∠BAC為鈍角的鈍角△ABC的外接圓的圓心，且AB=4，AC=2，M為BC邊上的中點(diǎn)，則______.

分析：根據(jù)三角形外心的特征知，外心O在AB，AC上的投影恰好為相應(yīng)邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，而根據(jù)投影知結(jié)合幾何性質(zhì)來分析與處理即可.

解：如圖1，分別取AB，AC的中點(diǎn)為E，F(xiàn)，則外心O在AB，AC上的投影恰好為點(diǎn)E，F(xiàn).

點(diǎn)評(píng)：涉及平面向量數(shù)量積的問題中已知幾何圖形中出現(xiàn)與之相關(guān)的垂直條件時(shí)，尤其是在垂足確定的情況下，如直角三角形，菱形對(duì)角線，三角形的外心等，往往采用投影法來轉(zhuǎn)化比較直觀可行.

三、基底法

在解決平面向量數(shù)量積時(shí)，有時(shí)無法尋找到計(jì)算對(duì)應(yīng)向量a與b的數(shù)量積的要素（相應(yīng)的模、夾角），可以考慮用合適的兩個(gè)不平行的向量作為基底將a與b表示出來，再根據(jù)條件加以分析與求解.正確且合適選擇平面向量的基底是解決問題的關(guān)鍵.

例3 （2016·天津文·7）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則的值為（ ）.

分析：結(jié)合圖形特征，選擇作為一組基底，通過向量的線性運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)量積公式加以分析與求解.

解：由于而

點(diǎn)評(píng)：涉及平面向量數(shù)量積的問題中無法直接計(jì)算對(duì)應(yīng)向量a與b的數(shù)量積，往往可以通過合適基底的選取，進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，使得相關(guān)向量的線性轉(zhuǎn)化有目標(biāo)，為進(jìn)一步的數(shù)量積運(yùn)算奠定基礎(chǔ).

四、坐標(biāo)法

平面向量的數(shù)量積a·b=x1x2+y1y2，其中向量a=（x1，y1），b=（x1，y1）.通過已知向量的坐標(biāo)，或通過巧妙構(gòu)造直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來求解相應(yīng)的平面向量數(shù)量積問題，是高考中比較常見的一類技巧策略.

例4（2016·山東文·13）已知向量a=（1，-1），b=（6，-4），若a⊥（ta+b），則實(shí)數(shù)t的值為______.

分析：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合條件a⊥（ta+b），通過數(shù)量積a·（ta+b）=0建立關(guān)系式，利用坐標(biāo)法來求解對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.

解：由于ta+b=t（1，-1）+（6，-4）=（t+6，-t-4），

而a⊥（ta+b），則有a·（ta+b）=（1，-1）·（t+6，-t-4）=t+6-（-t-4）=2t+10=0，解得t=-5.

點(diǎn)評(píng)：涉及平面向量數(shù)量積的問題中已知向量的坐標(biāo)或是易于建系并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可以采用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)法來處理.特別對(duì)于一些方便構(gòu)造直角坐標(biāo)系的平面向量問題，合理構(gòu)造直角坐標(biāo)系，結(jié)合條件建立與坐標(biāo)有關(guān)的參數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而確定向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積公式來處理，解答過程流暢，解題方法巧妙.

五、極化恒等式法

例5（2016·江蘇·13）如圖2，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，的值是______.

極化恒等式

分 析 ：根據(jù)條件均為不變的向量，通過極化恒等式的轉(zhuǎn)化即可來處理相應(yīng)的數(shù)量積問題.

點(diǎn)評(píng)：涉及平面向量數(shù)量積的問題中有關(guān)向量加、差的模問題時(shí)，可以采用與對(duì)相關(guān)的極化恒等式來處理，其是針對(duì)特殊關(guān)系式下相應(yīng)恒等式成立時(shí)的特殊方法.利用極化恒等式來解決數(shù)量積問題，可以使得問題的解決簡(jiǎn)潔、高效，但要注意使用的特殊情況.

六、三角形公式法

例6已知為邊BC的中點(diǎn)，則______.

分析：根據(jù)條件利用三角形公式加以轉(zhuǎn)化，再結(jié)合平面向量的中點(diǎn)公式來轉(zhuǎn)化即可求解相應(yīng)的向量的模問題

點(diǎn)評(píng)：涉及平面向量數(shù)量積的問題中涉及三角形的三邊的長(zhǎng)度與相應(yīng)邊的向量的數(shù)量積時(shí)，可以根據(jù)三角形公式法建立相應(yīng)的平面向量的數(shù)量積公式，結(jié)合條件來合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.利用三角形公式法來處理，思維獨(dú)特，方法巧妙.

研究平面向量數(shù)量積問題是實(shí)現(xiàn)平面向量的幾何問題實(shí)數(shù)化，根據(jù)不同的題目類型，選擇行之有效的方法與解題策略來處理對(duì)應(yīng)的平面向量數(shù)量積，使得問題的解決合理、有效、可行、正確，達(dá)到數(shù)與形的緊密結(jié)合，知識(shí)與能力的有效融合.